| Головна |
| « Попередня | ||
Емпіризм і тривимірність простору |
||
|
Успіхи емпіризму в оцінці нашого знання щодо тривимірності фізичного світу тісно пов'язані з його здатністю спростувати твердження Канта, що істота-вання таких подібних, але неконгруентних двійників, як ліва і права рука, представляє доказ на користь його трансцендентального апріорного пространства1 (1 І. К а н т, Про перші підставі сторін у просторі, «Твори в шести томах», 1964, т. 2, стор 369-379; Пролегомени до кожної майбутньої метафізики, що може з'явитися як наука, там же, т. 4, стор 101-103.). Оскільки докази неспроможності цього приватного затвердження Канта не дані навіть в послідовно (definitive) емпіричної критиці Рейхенбаха трансцен-дентальної ідеалістичної теорії простору і недостатньо відомі філософської публіці, ми наведемо їх короткий виклад. Якщо ми візьмемо два об'єкти довільної (неправильної) форми на евклідовій площині, які в метричному відношенні симетричні, або дзеркально «відбиваються» щодо прямої на цій площині, то можна буде показати, що, оскільки ми обмежуємо дані об'єкти цією площиною, їх не можна поєднати в сенсі досяг-ня конгруентності так, щоб точки одного збігалися з відповідними або уявними точками іншого. Однак така конгруентність може бути досягнута, якщо ми допустимо обертання одного з двох розкритих двомірних об'єктів навколо осі симетрії, використовуючи тим самим наступне (третє) вимір. Лешелье приписав Дельбефу встановлення наступної закономірності: якщо дано два (n-1)-мірних об'єкта, метрично симетричних щодо деякого (п - 2)-мірного об'єкта, тоді для досягнення їх конгруентності, тобто того, щоб точки одного збіглися з відповідними або уявними точками іншого, необхідно безперервне обертання в n-вимірному пространстве1 (1 G. Lechalas, L'Axiome de libre Mobilite, «Revue de Ме-taphysique et de Morale», Vol. VI (1898), p. 754. Ця властивість відображень було відзначено ще Мебиусом («Der Barycentrische Calcul», Leipzig, Barth, 1827, S. 184).). Слід зазначити, однак, що вимога обертання в гіперпросторі не є необмеженим: воно залишається справедливим для таких просторів, топологія яких є евклідової або сферичної, однак втрачає свою справедливість для двох-поверхневого стрічки Мебіуса або для одновимірного простору, топологія якого представляє собою топологію цифри 8 . Відповідно цьому за допомогою безперервного переміщення фігури як твердого тіла не можна досягти конгруентності тривимірної правої руки з тривимірною лівою рукою саме в силу того емпіричного факту, що для подібного виду обертань необхідно чотиривимірний простір, якого фізично в наявність не є. Цей же факт дозволяє нам зробити висновок про тривимірності, але не про двухмерности оптично активних молекул на підставі того, що вони обертають площину поляризації світла або вправо, або вліво. Бо, якби вони були тільки двомірними, тоді було б можливо перетворити дану правовращающую молекулу в лівообертальну шляхом тільки її повороту (flipping it over). Але цього зробити не можна. Всупереч Канту специфічне структурний відмінність між правою і лівою рукою може бути дано і концептуально, а не тільки як вказівку на інтуїтивну характе-рістіку3 (3 Див: Ф. Клейн, Елементарна математика з точки зору вищої , т. II, М.-Л., 1934, стор 61-64. Н. W е у 1, Philosophy of Mathematics and Natural Science, pp. 79-85. Більш елементарний аналіз см. в: О. Holder, Die Mathematische Methode, S. 387-389.): група рухів в евклідовому просторі, при яких тіла зберігають жорсткість, являє собою тільки власну підгрупу групи відображень подоби, в яких зберігається довжина («неудліняющіх»). Бо визначник коефіцієнтів приватних лінійних перетворень, складових останній тип відображень подоби, повинен бути дорівнює або +1. або -1. Але тільки ті відображення подоби, визначник яких («якобиан») дорівнює +1, складають групу евклідових рухів жорстких тел1 (1 Нехай F1 і F2 - дві функції від u і?. Тоді
є функціональним визначником , або якобіаном Ft і F2 відносно і і о. У разі тривимірності,. до якого належить неконгруентність рук, ми маємо справу з трьома функціями F,, Fz іРдОті, v і w і відповідний якобиан являє собою визначник трьох рядів і трьох колонок.) , сталеві є відбитками, їх якобиан дорівнює -1, і вони включають в себе кантовский випадок з правого і лівого рукой2 (2 Вимога збереження розмірності при перетвореннях полягає в тому, щоб якобиан ні дорівнює нулю; остання умова є необхідною і достатньою для того, щоб перетворення було взаємно однозначним. Див; RS Burington and С. С. Т о г г а п с е, Higher Mathematics, New York: McGraw-Hill Book Co., 1939, pp . 132-142.). Але саме існування останньої пари фізичних об'єктів в нашому фізичному тривимірному просторі, де реалізуються формальні перетворення, якобиан яких дорівнює -1, є емпіричним фактом, як і неіснування фізичного чотиривимірного гіперпростору, в якому їх можна було б в іншому випадку розгорнути з метою досягнення конгруентності. Оскільки тривимірність фізичного простору являє собою з логічної точки зору випадковий емпіричний факт, то, природно, виникає бажання дізнатися, чи не є тривимірність автономним, що не зводиться ні до чого емпіричним фактом стосовно стандартним формулюванням фізичної теорії чи ні. В оптиці принцип Гюйгенса говорить нам, що, якщо одинична сферична світлова хвиля породжується в деякій точці обуренням, яке триває протягом дуже короткого проміжку часу між t = t0 -? і t = t0, тоді ефект, викликаний нею в точці Р на відстані сТ (де с = швидкість світла), дорівнює нулю аж до миті t = to -? + Т і знову дорівнює нулю після миті t = to + Т. Таким чином, згідно з принципом Гюйгенса, одинична сферична хвиля не залишає ніякого залишкового післядії в точці Р. Далі, Адамара показав, що цій вимозі, вираженому в принципі Гюйгенса, задовольняють тільки хвильові рівняння , мають парне число незалежних змінних. Всупереч широко поширеною інтерпретації пояснення Пуанкаре тривимірного статусу простору цілком сумісне з тією емпірико-реалістичної концепцією даних атрибутів фізичного світу, яка викладається тут. У своїх запереченнях Расселу Пуанкаре, не розвиваючи далі своєї думки, каже: «Я розглядаю аксіому трьох вимірів як конвенціональну точно так само, як і аксіоми Евкліда». Однак у своїй посмертно виданої кніге1 (1А. Пуанкаре, Останні думки, Пг., 1923, стор 34.) Він пише, що, оскільки його рання трактування цієї аксіоми була «дуже короткою», він тепер хотів би роз'яснити її. Потім, пояснивши, що при класифікації елементів різноманіття як тотожних в деякому відношенні ми користуємося «фундаментальним угодою» про абстрагуванні від інших якісних відмінностей між ними, він відзначає, що тривимірність перцептуальной локалізації фізичних подій виходить в результаті абстрагування від безлічі якісних непозиційних відмінностей між ними. Однак «угоду» в цьому сенсі не позбавляє тривимірність об'єктивності, так само як і посилання на деякі події не перетворюють конкретні причинні затвердження в істинні тільки за угодою. Те, що для Пуанкаре це було, по суті, ясно, стає очевидним з наступного його затвердження: «У цьому короткому викладі ми показали, які ті експериментальні факти, які змушують нас приписувати простору три вимірювання. Враховуючи ці факти, нам більш зручно приписати йому три, а не чотири або два виміри; але слово «зручний», мабуть, в даному випадку недостатньо строго; істота, яка приписало б простору два або чотири виміри, виявилося б у світі, подібному нашому , менш пристосованим до боротьби за існування ». Пояснивши, які перешкоди для нас будуть виникати при інтерпретації простору, як дво-або чотиривимірного, він показує на основі теоретико-групових аргументів, що в разі причинних зв'язків фізичні факти призводять до тривимірності фізичного простору точно так само, як і структура перцептуальних даних. І він закінчує свої міркування твердженням, що оскільки ми маємо здатність побудови математичного континууму з довільним числом вимірів, то «ця здатність могла б розвиватися в різних напрямках; вона могла б нам дозволити побудувати простір чотирьох вимірів так само добре, як і трьох вимірів. Тільки зовнішній світ, тільки досвід спонукають нас розвивати цю здатність в одному напрямку, а не в іншому ».
Математична безперервність, яка приписується фізичного простору, є топологічним властивістю так само, як і його тривимірність. Тому ми завершимо наші міркування про філософські проблеми топології часу і простору в II частини даної книги дослідженням питання про те, чи може безперервність мати який-небудь емпіричний статус. У першому розділі ми говорили про те, що безперервність, яка постулюється для фізичного простору і часу, виражається в метричній аморфності цих різноманіть і визначає тим самим конвенціональний характер конгруентності приблизно так само, як конвенціональний характер нелокальної метричної одночасності в спеціальній теорії відносності є наслідком аксіоматичних положень, згідно з якими поширення світла у вакуумі являє собою найбільш швидку причинний ланцюг і що годинник при транспортуванні не визначають абсолютної метричної одночасності. Однак проти цього заперечують, кажучи, що існує важлива епістемологічної розходження між по-останньої постулатом Ейнштейна і постулированием саме безперервної, а не дискретної структури (в математичному сенсі) фізичного простору і време-ні: постулат безперервності є справедливим, за визначенням, і він не може навіть у принципі розглядатися як фактуальное затвердження в сенсі перевірки його істинності чи хибності. Бо, згідно з цим запереченню, не існує ніяких емпіричних підстав для допущення, що геометрія, яка постулює безперервні інтервали, має перевагу перед геометрією, що постулює дискретні інтервали, складені, скажімо, тільки з алгебраїчних або тільки з раціональних точок. Возражающий, отже, стверджує, що заперечення лічильної геометрії останнього типу на користь незліченну геометрії, яка проголошує безперервність, не має жодних фактуальних гарантій і грунтується тільки на міркуваннях арифметичного зручності в рамках аналітичної геометрії. І тому стверджують, що топологія в такій же мірі, як і метрика, повинна бути насичена властивостями, які визначаються конвенціональним вибором. Відповідно до цього прихильники подібних критичних зауважень роблять висновок, що помилково не тільки підкреслювати, а й взагалі говорити про виділення конвенціональних геометричних елементів тільки в метризації топологічного субстрату, виходячи з припущення про те, що безперервність цього субстрату повинна бути фактуальной. Однак це виправдання конвенціоналістской концепції безперервності непереконливо. Загальновизнано, що підтвердження точки зору на безперервність як на широкий індуктивний схематизируется принцип фізичної геометрії не можна отримати безпосередньо, оперуючи вимірювальними стержнями, які дозволили б точно встановити, що кількість точок на лінії незліченно. Що ж ми знаходимо, провівши цю перевірку? Виявляється, не доведено, що будь-яка альтернативна система перериваних в математичному сенсі теорій настільки ж життє-здатна, як і системи, засновані на безперервності, тобто не доведено, що ці два види теорій мають бути в принципі емпірично не відрізняються один від другого1. (1 Файєрабенд висловив думку («Comments on Griinbaum's" Law and Convention in Physical Theory "» в Н. Feigl and G. Maxwell (eds.), Current Issues in the Philosophy of Science, pp. 160-161], що experimentum crucis між непрерив-ним та переривчастим описом природи логічно можливий, і дав короткий опис такого експерименту.) Коль скоро не доведена емпірична адекватність хоча б однієї реально завершеною альтернативної теорії, яка була б перериваної, звинувачення в тому, що топологічний компонент безперервності є в геометрії не менше конвенціональним, ніж сама метрика, видається необгрунтованим. Оскільки успішна розробка гіпотези, яка є альтернативою гіпотезі безперервності, не завершена, то виникають такі підозри: в наших найбільш точних і добре обгрунтованих фізичних теоріях емпіричні факти наведені в систему за допомогою апарату класичної математики, що і говорить на користь гіпотези про безперервність, яку в широкому индуктивном сенсі слід розглядати як основоположний (framework) принцип на відміну від її prima facie конкурентів. Було б помилкою вважати, що цей висновок потребує серйозних застережень у світлі недавніх ідей про квантуванні простору (або часу). Бо, як зазначає Вейль, до цих пір вона [тобто атомістична теорія простору] завжди залишалася тільки спекуляцією і ніколи не досягала достатнього контакту з реальністю. Як на основі цієї ідеї слід розуміти метричні відносини в просторі? Якщо квадрат побудований з мініатюрних цеглинок, тоді уздовж його діагоналі буде стільки ж цих цеглинок, скільки і вздовж його боку; таким чином, довжина діагоналі повинна була б дорівнювати довжині його боку. Ейнштейн також зазначав, що: З квантових явищ, мабуть, слід, що кінцева система з кінцевою енергією може повністю описуватися кінцевим набором чисел (квантових чисел). Це, здається, не можна поєднати з теорією континууму і вимагає для опису реальності чисто алгебраїчної теорії. Однак зараз ніхто не знає, як знайти основу для такої теорії 2. (2 А. Ейнштейн, Релятивістська теорія несиметричного поля, «Збори наукових праць», т. II, стор 873.) Маючи намір встановити необгрунтованість конвенції-налістскіх концепції безперервності, ми аж ніяк не стверджуємо, що довели її помилковість. Файєрабенд вважав, що відсутність у даний час перериваної альтернативи сучасної фізичної теорії «нічого не доводить», оскільки «врешті-решт повна теорія безперервності була розроблена аж до другої половини дев'ятнадцятого століття». Однак Файєрабенд упустив тут з уваги, що наша аргументація встановлює необгрунтованість конвенціоналістской концепції безперервності, показуючи, що в кращому випадку її захисники пропонують тільки програму. Чи можна підсилити нашу аргументацію посиланням на невдачу спроб неоінтуітівістов обійтися без континуальної геометрії та аналізу, запропонувавши їм всюди в класичній математиці відповідну заміну? Ці зусилля неоінтуітівістов обгрунтувати класичну математику на більш обмежених підставах зазнали невдачі у зв'язку з введенням процедури обрізання в математичній фізиці, сферу напрями якої Френкель охарактеризував таким чином: интуитивистской обмеження поняття континууму і його застосування в аналізі і геометрії, хоча і виконувалося абсолютно різними методами в різних интуитивистской школах, завжди проводилося лише остільки, оскільки виключало життєво важливі розділи цих двох областей. (Це ж відноситься і до специфічного методу Брауера, який допускав континуум per se як «середовище вільного зростання».) 1 (1 AA Fraenkel and Y. У a rH i 1 січня е 1, Foundations of Set Theory, Amsterdam: North Holland Publishing Co., 1958, p. 200. Глава четверта цієї роботи дає вичерпний нарис того, в яких відносинах неоінтуітівістскіе обмеження тягнуть за собою спотворення системи класичної математики, (є рос. перев., «Мир», 1966).) Однак, як правильно відзначає Файєрабенд, невдача неоінтуітівістов не може розглядатися як посилення нашої аргументації. Бо ми не прагнемо до повторення в нових термінах класичної математики в цілому; те, чого ми добиваємося, являє собою нову математичну систему, яка могла виявитися адекватною для опису всесвіту, що представляє собою також досить певну систему, щоб був можливий вирішальний експеримент. |
||
| « Попередня | ||
|
|
||
Інформація, релевантна "Емпіризм і тривимірність простору" |
||
|
||