| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
VI. ПРЕДИКАТИВНО АБО НЕПРЕДИКАТИВНЕ КОНЦЕПЦІЇ «МНОЖИНИ» |
||
|
Безліч {х, у}, що містить тільки два елементи х, у називається невпорядкованою парою х і у. На основі невпорядкованих пар можна різними способами визначити впорядковані пари. Найбільш природний, хоча і не самим звичний, спосіб полягає в наступному: Візьмемо як «маркерів» два об'єкти а і Ь. Визначимо впорядковану пару х і у як безліч {{х, а}, {у, 6}}, тобто як невпорядковану пару, елементами якої є невпорядковані пари {х, а} і {у, Ь). Введемо для цієї впорядкованої пари позначення <х, у>, тобто за визначенням <х, у> є {{х, а}, {у, и}}. Тепер легко зрозуміти, що для будь-яких х, у, u, v: <х, у> = <і, v>, якщо і тільки якщо х = а і у = v. Таким чином, дві «впорядковані пари» тотожні тільки в тому випадку, якщо вони складаються з одних і тих же елементів і ці елементи однаково впорядковані - тільки це і потрібно для визначення впорядкованої пари. У математиці двомісне відношення - просто безліч впорядкованих пар. Оскільки «впорядкована пара» була тільки що визначена на основі «невпорядкованою пари», а «неупорядкована пара» - це просто безліч, то звідси випливає, що «ставлення» можна визначити на основі одного вихідного поняття множини. Нехай R відношення таке, що для всіх u, v, у якщо є R і е R, то v = у, тоді це відношення R називається «функцією». Оскільки функція була тільки що визначена на основі поняття відносини (і поняття «=«, яке ми вважаємо що належить до елементарної ло-гйке), то звідси випливає, що і функція визначається на основі поняття множини. Добре відомо, що натуральні числа 0, 1, 2, 3, ... можна різними способами визначити на основі поняття множини. Наприклад, можна визначити 0 як пусте безліч, 1 - як множе-ством {0}, 2 - як {0, 1}, 3 - як {0, 1, 2} і т. д. Крім того, і все ^ ементарние операції «скласти», «помножити» і т. п., можна визна-ділити на основі поняття множини. Раціональні числа природним чином визначаються як впорядковані пари натуральних чисел, що не мають спільного дільника (при цьому другий член впорядкованої пари не дорівнює нулю); дійсні числа можна, наприклад, визначити як ряди раціональних чисел, де «ряд» - функція, областю визначення якої є натуральні числа. Таким чином, всі «об'єкти» чистої математики можна побудувати, спираючись на поняття безлічі; і саме так вважають за краще робити всі сучасні математики. Таким чином, якщо в попередньому розділі ми говорили, що фізика не може обійтися без посилань на функції і дійсні числа, то тепер ми можемо просто сказати, що фізики необхідно лише таке поняття як безліч, оскільки поняття чісда і функції можна побудувати на основі поняття множини. У справжньому розділі ми дамо побіжний огляд поняття множини. Найбільш відома трудність щодо поняття безлічі така. Припустимо, що: (1) Множини - це самостійні сутності (тобто сутності, за якими ми можемо квантифікувати 56), (2) Якщо 0 - будь-яке точно певну умову, то існує безліч всіх сутностей, що задовольняють умові 0. Тоді (допускаючи також, що умова «~ х є х» точно визначено) ми виводимо, що існує безліч всіх множин х таких, що х не належить до х. (х) (х є у = ~ х є х). Потім, підставляючи у замість х, отримуємо (4) у є у = ~ у є у, а це - протиріччя! Очевидно, що одне з наших припущень було помилковим. Яке ж? Ми могли б сказати, що «~ х є х» не є точно певною умовою. Однак, якщо х є у точно певне ставлення для будь-яких довільно вибраних множин х і у, то зраджу 'ставляется, що і х е X, і ~ х є х повинні бути точно визначені (в тому сенсі, що вони мають певне істиннісне значення) для будь-якого безлічі х. Відмова вважати, що х е у - точно визна 'ленное відношення або что1 безлічі - це самостійні сутності, означав би відмову від самої теорії безлічі. У такому випадку єдина альтернатива - це відмовитися від (або, принаймні, обмежити) умова (2), яке сильно розходиться з нашими цнтуіціямі. Одним із способів вирішити цю трудність є так звана теорія типів. Відповідно до цієї теорії, «х е у» точно визначено, якщо і тільки якщо х і у відносяться до відповідних типів; при цьому вважається, що індивідуальні об'єкти належать до типу 0, безлічі індивідуальних об'єктів - до типу 1, безлічі множин індивідуальних об'єктів до типу 2 і т. д. Відповідно до цієї теорії, вираз «~ х є х» не можна навіть вважати граматично правильним, оскільки ні про один безлічі ми не можемо сказати, що воно є або не є власним елементом. Можна говорити про те, чи належить безліч до будь-якого безлічі більш високого типу, але не можна говорити про те, чи належить безліч до самого себе (чи до іншої безлічі, що не відноситься до більш високого типу). Нехай Д - деяке відношення між індивідуальними об'єктами. Назвемо R-ланцюгом така безліч а, що для будь-якого х, якщо х є а, то існує хоча б один у такої, що Rxy і у є а. Припустимо, є деяка Д-ланцюг, що містить індивідуальний об'єкт U. Тоді запишемо: (5) (3 а) (а є Д-ланцюг. U е а), де «а є R-ланцюг» є короткою записом для «(х) (хєаз (Зу) {yea-Rxy)». Нехай р - безліч всіх U таких, що деяка Д-ланцюг містить U. Це безліч абсолютно законно з точки зору теорії типів, і його приймає більшість математиків. Однак окремі математики і філософи заперечують проти ідеї такого Множини. На їх думку, визначення безлічі /? як множини всіх U таких, що існує Д-ланцюг, що містить [/, «хибно», оскільки «сукупність (totality), в термінах якої визначається тобто сукупність а, що містить всі Д-ланцюга могла б містити ** саме безліч Д Як правило, ці математики і філософи заповідають визначати безліч в термінах «сукупності», якщо т ° лько ми не впевнилися, що ця сукупність не здатна з-тримати це безліч або будь-яке інше, визначене за допомогою 1Г-69Е6 цього першого множини. Звичайно, в цьому багато неясного. Однак представляє інтерес мотив, обусловивший таке рішення. Припустимо, я взагалі не розумію слово «безліч» І, По суті, використовую тільки деякий номиналистическую МОВУ N. Одного разу я приходжу до висновку, що знаю два поняття, які не є номиналистическую або, у всякому разі, мають спірний номиналистическую статус, а саме: поняття «формула» і «істина». yea, якщо і тільки якщо а істинно відносно у, тобто якщо і тільки якщо «Червоне (х)» істинно відносно у, тобто якщо і тільки якщо у є червоне. Тому «Красне (х)» виявляється «безліччю всіх червоних речей», як це і повинно бути. Це поняття безлічі я називаю «слабким», оскільки воно забороняє говорити про всі множинах індивідуальних об'єктів, а тим більше - про множини, що мають тип вище, ніж 1; звичайно, можна говорити про всі формулах, але це означає лише - говорити про всі множинах індивідуальних об'єктів, визначених у мові N. Якщо в N будуть введені нові вихідні вирази, то в цілому сукупність множин, як вони були щойно визначені, збільшиться. Однак, можна повторити вищеописану процедуру-Нехай N / - мова, одержуваний з N, якщо дозволити квантіфікацйЮ по всіх множинам індивідуальних об'єктів, визначених в М N "- мова, одержуваний з N ', якщо дозволити квантифікацію всім множинам індивідуальних об'єктів, визначених в N 'і т> д. Тоді всі ці множини індивідуальних об'єктів, определіми * в N, N \ N "t ... являють собою приклади «предикативних» мН ° 'дружність: кожне з цих множин передбачає «сукупність», кот0' раю визначена «раніше» (починаючи з сукупності індивідуальні * об'єктів), але що не припускає самого цієї множини. (Можна також ввести предикативні безлічі більш високого типу на основі поняття формули про формули, але ми не будемо цього робити.) Для нас тут важливо підкреслити наступне: предикативное поняття безлічі можна роз'яснити стосовно до будь-якої мови з серії N, N "..., використовуючи поняття квантифікації, застосовне тільки до тих множинам, які були раніше визначені в вказаної серії, і в цілому цю термінологію - «безлічі, визначні в Л /», «безлічі, визначні в N '» і т. д. - можна вважати, якщо завгодно, просто fagon de parler 57, який можна пояснити на основі понять формули і істини. Якщо на противагу сказаному раніше ми продовжуємо говорити не тільки про всі множинах, визначених в деякій мові серії N, N ', N ", ..., а й про всіх множинах індивідуальних об'єктів як про точно певної сукупності, то вважається, що ми використовуємо непредикативне поняття безлічі.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " VI. Предикативно АБО непредикативне КОНЦЕПЦІЇ «МНОЖИНИ» " |
||
|
||