Приклади аксіоматики та її переваги

Зараз ми розглянемо два порівняно простих ірімера фізичної аксіоматики. Слід підкреслити, гго вони в одному важливому відношенні повинні відрізнятися> т систем аксіом в чистій математиці. Справді, и той час як останні визначають цілі сімейства Ьормальних об'єктів або структур, такі, як, наприклад,> ешеткі або топологічні простори, мета наших метем аксіом полягає в характеристиці (а не визначенні-ши) видів конкретних об'єктів, а саме фізичних : истем, які, за припущенням, мають незалежне уществованіе. Тому, якщо фахівець з матема-іческой аксіоматиці будує свою мережу аксіом безотно-мон до реального світу, то фахівець з фізичної іксіоматіке зобов'язаний залишатися в межах земного.

Тобто, хоча фізичні аксіоматики і будуть за-їмствовать всі необхідні для них математичні Ідей, вони не можуть до кінця дотримуватися аксіома-іческого стилю чистої математики, яка зводить ксіоматізацію до визначення деякого складного редіката, зазвичай споруджуваного на безлічі тео-ких компонент. Так, наприклад, було б невірно вводити онятіе електричного кола за допомогою умови на зразок наступного:

Визначення: структура I ~ {G> Т, V, е% i, R% С, L, Af) , де О і Т-множини; Vf е і і - функції від GX Т \ С, L - функція від Gt а М - функція від GXG, перед-тавляет собою деяку електричну ланцюг, якщо, і

тільки якщо (тут слід список аксіом, що характеризують математичний статус і взаємні відносини перерахованих первинних термінів G, Т і т. д.).

Таку аксіоматичну дефініцію можна було б кваліфікувати і як математичну теорію, хоча і не дуже цікаву. Але її не можна кваліфікувати як фізичну теорію, тому що їй може задовольняти будь-яке число об'єктів, як формальних, так н конкретних, тоді як електричні ланцюги - речі у своєму роді єдині і, крім того, що знаходяться поза нами і не в нашій голові. Ми не можемо будувати фізичні системи на основі одного лише уяви, як це роблять математики, винаходячи ті нлн інші математичні простору. На відміну від гильбертова простору будь-яка електрична ланцюг будується не з безлічі теоретичних понять, вона не визначається в рамках теорії множин і не конструюється з її допомогою, вона будується з джерел електричної енергії, проводів і т. д. Найкраще, що ми можемо зробити, це дати правильний опис деякої ланцюга за допомогою ретельно розроблених понять і тверджень. Математикам, які іноді претендують на роль верховних законодавців, можливо, не сподобається ця процедура, і вони зажадають, щоб ми визначили фізичну систему в чисто математичних термінах без будь-яких домішок семантичних припущень, що прив'язують її елементи до зовнішніх об'єктів Але це чисто платоністская позиція. Крім того, вона грунтується на повному нерозумінні справжньої мети фізичної аксіоматики. Навпаки, метою фізичної аксіоматики є роз'яснення особливостей фізичної теорії взагалі і головних характеристик приватних фізичних теорій. І для цього вона використовує формальні інструменти, які створені зовсім в іншому місці-а саме в чистій математіке2.

Отже, за роботу!

- Див, наприклад: Н. Freudental, Synthese, 1970, vol. 21, p. 93.

* Подальший розгляд цього питання див: D. Salt, Foundations of Physics, 1971, vol. 1, p. 307,

1. Перша вправа в аксиоматизации.

Теорія кіл.

Ми зараз займаємося Аксіоматизації теорії елек-рических ланцюгів Кірхгофа - Гельмгольца. Почнемо перерахування припущень або передумов, пер-ічних понять або будівельних блоків, а також ксіом або постулатів.

Формальні передумови: звичайна логіка (ісчіс-ение предикатів з рівністю), теорія графів, еле-; ентарний математичний аналіз, а також теоретико-божественні, алгебраїчні, арифметичні та топо-огіческіе теорії, передбачувані аналізом .

Філософські передумови: семантика (теорія зна-ення та істини) і метафізичні припущення аучного дослідження (наприклад, незалежність і нтеллігібельность зовнішнього світу).

Протофізіческіе передумови: елементарна теорія истем, елементарна теорія універсального часу, нализ розмірностей.

Первинні поняття Т (час), G (граф), V (потен-йал), е (електрорушійна сила), ((сила струму), I (омічний опір), С (ємність) , L (само-ндукція) і М (взаємна індукція).

Аксіоми часу la) Т є деякий інтервал дійсної число-ої осі - [fd],

lb) Кожен член t безлічі Т являє мгновено-ие часу, а ставлення <»яке впорядковує (ча-тично) 7 \ представляє відношення« бути раніше »або одночасно» - [& 4].

2. Аксіоми ланцюгів 2а) {0} є непорожнє сімейство орієнтованих рафов - [FA].

2Ь) Для кожної електричної ланцюга існує член G емейства {G}, який представляє (моделює) її таїмо чином, що кожній клемі або з'єднанню стаітся в. відповідність вершина G і кожному елементу ріпісивается певне ребро графа G - [S / 4]

Аксіоми потенціалу та струму За) е, V та І є дійсними обмеженими пункціями на безлічі упорядкованих пар (ребро рафа, t) і безперервними по t - [Л4].

(Зь) Якщо n є ребро графа оє {G}, що представляє яку-небудь електричну ланцюг, тоді єп (*) - підведене напруга, V "(t) - електричний потенціал, а МО- силу електричного струму в п-й гілки ланцюга, представленої я-им ребром графа G - [5Л].

4. Аксіоми параметрів (4а) /?, С і L є дійсними обмеженими функціями на Ge {G}, а М є симетрична квадратна матриця, кожен елемент якої - дійсна обмежена функція на GXG - [FA], (4Ь) Якщо п і р - ребра графа G ^ {G), що представляє деяку електричну ланцюг, тоді /? "представляє собою омічний опір, Ся - ємність і Ln - самоіндукцією л-й гілки ланцюга, тоді як Мпр представляє взаємну індукцію між я-й і р-й її гілками -

Аксіоми законів Якщо Ge {G} представляє ланцюг в рівновазі (стійкий стан), тоді:

(5а) на кожній вершині G сума струмів вздовж гілок, представлена ребрами графів, що зустрічаються на даній вершині, дорівнює нулю - (РА); (5Ь) для будь-якого контуру G сума потенціалів в гілках цього контуру прагне до нуля (РА); (5с) для будь-якого ребра п між двома вершинами а н b графа G

LMJdt) 4 - Rnin + (1 ICn) J dtin +

+ (dip / dt) + en = V «(a) - Vn (b) - [PA],

*

Коментарі, (і) Наша система аксіом містить чотири нових постулату, крім звичайних трьох тверджень від (5а) до (5с).

Іменованими SA (семантичні припущення). У евристичному підході ці додаткові припущення лише маються на увазі, але експліцитно вони не формулюються. (Ii) Іноді теорія дає лише зручний (точний або наводить) мова-як у випадку теорії інформації в генетиці. Якщо це так, то така теорія не буде передумовою даної наукової теорії, за винятком, мабуть, евристичного аспекту. У нашому випадку теорія графів забезпечує як мова, так і систематизацію теорем, полегшуючи пошуки і докази тих чи інших тверджень щодо ланцюгів. Звідси випливає, що теорія графів є невід'ємною частиною передумов теорії кіл. (Ш) Другі члени кожної аксіоми групи з 1-го по 4-ю містять ключове в семантичному відношенні слово «представляти». Так, аксіома (2Ь) аж ніяк не стверджує, що будь-яка електрична ланцюг безпосередньо є орієнтованим графом, а говорить про те, що вона подається або моделюється останнім. Підстави для цього наступні: (а) графи не є речами, а ідеями та (Ь) будь-який даний граф може представляти цілий клас еквівалентних реальних ланцюгів, (iv) Якби це було не так, то параметри ланцюга в аксіомі 4 варто було б розглядати як числа. Ці аксіоми стверджують, що параметри ланцюга є її фізичними властивостями. Оскільки це феноменологічна теорія, тобто теорія чорного ящика, остільки вона не говорить нам нічого про те, як і звідки виникають R, С, L і М. Це завдання хутра низ міче-ських теорій, таких, як теорія Максвелла, електрохімія і теорія твердого тіла, (v) Два закону Кирхгофа соче-, тануть два різних аспекти теорії кіл: топологічну сторону і фізичну. Ще краще це видно з точки зору матричного подання. У цьому поданні струми і потенціали різних ребер зводяться в матричні стовпці І і V, на які діють так на-»зване вершинна матриця А і матриця ланцюга В відповідно. У цьому формулюванні закони Кірхгофа записуються: Аі = 0 і BV - 0, де Л і В підсумовують топологічні характеристики ланцюга, тоді як І і V є фізичними змінними 1.

1 S. Seshu and М. В. Reed, Linear Graphs and Electrical Net-Works, Addison-Wesley Publtching. Co., Reading, Mass., 1961.

Інформація, релевантна " Приклади аксіоматики та її переваги "

1. 5. Ідея системного аналізу несуперечності
   наприклад, припущення про стабільність системи математичних фактів або твердження про мінімальності завершеною аксіоматики. Наші міркування будуть включати в себе і телеологічні передумови, оскільки ми розглядаємо тут математичну теорію як еволюціонує систему, націлену на вирішення зовнішніх завдань. Мета обгрунтування математичної теорії полягає в обгрунтуванні її
   
2. Несуперечність завершеною аксіоматики
   аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
   
3. 9. Заключні зауваження
   аксіоматика взагалі не потрібна, але ті, кому цей Питання представляється дуже важливим, не заспокояться на малому, вони будуть принаймні терпимими до спроб внести організацію в досить безладні результати первинного дослідження. Звичайно, не слід ставити аксіоматику вище створення нових плідних теорій. Проте відповідна аксиоматизация хорошою, але суперечливою теорії
   
4. Які переваги та пільги для працівників, які успішно і сумлінно виконують свої трудові обов'язки?
   Переваги та пільги для працівників, які успішно і сумлінно виконують свої трудові обов'язки, викладені у ст. 145 КЗпП. Вони мають право на першочергове надання пільг та переваг в галузі соціально-культурного та житлово-побутового обслуговування (путівки до санаторіїв та будинків відпочинку,. Поліпшення житлових умов і т.д.). Таким працівникам надається також перевага при просуванні
   
5. Контрольні питання по § 3 Розділ 1.
   Аксіоматика? 4. Яке співвідношення раціонального та ірраціонального в проблемі сенсу життя людини? 5. Що означає «трансцендирование до змісту»: його експлікація, розуміння або «буття в
   
6. Несуперечність змістовної теорії
   наприклад, непредикативні (самопріменімості) визначення. Системний підхід дозволяє вирішити цю трудність на основі уявлення про системної детермінації визначень. Ми можемо поставити також питання про несуперечності звичайного змістовного математичного міркування, яке умовно можна назвати міркуванням математичних підручників, яке виходить з відомих принципів, але не
   
7. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
   прикладу ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії. Всі ці аксіоми як би стягуються у факті, вираженому в теоремі Піфагора. Інша чудова особливість теореми Піфагора полягає в тому, що вона може бути
   
8. 8. Місце аксіоматики в процесі викладання
   прикладом догми. І до всеціло цього (тобто критичному аналізу деякої системи аксіом) при сприятливому випадку можна додати трохи методології, трохи філософії і стільки ж історії. Оскільки все це так чи іна ^ е робиться, то вже краще це робити явним чином н в t1 I повному світлі аксіоматичної системи, ніж таємно н в * півтонах евристики. [Одним словом, якщо освоєні
   
9. 2. Пояски порядку і переконливості
     приклади з сучасної фізики будуть достатні, щоб показати, як невеликий ступінь аксиоматизации може допомогти виявити самозванців, які не виконують ніяких функцій - ні обчислювальних, ні вимірювальних - і тримаються винятково силою авторитету. Нашим першим прикладом буде псевдопоняттями маси фотона. Коли який-небудь ентузіаст формули E * fc2 «тос2 4 - р2 говорить про масу фотона,
   
10. 3. Властивості завершеною аксіоматики
      аксіоматики ми будемо розуміти тут достатність її для логічного представлення визнаного змісту теорії. Таке розуміння повноти, звичайно, не тотожне логічному або метатеоретіческіе визначенню цього поняття. У логічному визначенні повнота аксіоматики в більшості випадків принципово недосяжна і ми можемо говорити про повноту в цьому сенсі тільки щодо самих
    
11. 4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії
      аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії. Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії.