Можливості та кордону формалізації (філософський сенс теорем Геделя, Тарського)

Давид Гільберт (1862-1943), засновник формалістичною школи в математиці, припускав, що все наше знання, і насамперед математичне , може бути повністю формалізовано. Ідеї Гільберта прийняли багато талант-лівие математики, серед яких П. Бернайс (1888-1977), Дж. Гербрандта (19081931), В. Аккерман (1898-1962), Дж. фон Нейман (1903-1957).

Однак в 1931 р. Курт Гедель241 у статті «Про формально нерозв'язних пропозиціях« Principia Mathematica »і споріднених систем» довів відому теорему про неповноту формалізованої арифметики. Він довів, що в системі «Principia Mathematica »і в будь-який інший формальній системі, здатної виразити арифметику натуральних чисел, маються нерозв'язні (тобто недоведені і разом з тим неспростовні в даній системі) пропозиції. Теорема Геделя свідчить про те, що арифметика натуральних чисел включає зміст, який не може бути виражено виключно на основі логічних правил освіти і перетворення відповідної формальної системи. Більше того, формула логічного числення, здатного формалізувати елементарну арифметику, недовідна як формула, що виражає її послідовність. Таким чином, несуперечності не можна досягти, використовуючи інструменти, що належать до тієї ж формальної системі.

Неповнота формалізованих систем, що містять арифметику, означає, що у змістовній математичної теорії завжди можна знайти істинне речення, яке не можна довести за допомогою аксіом формальної теорії, що формалізує цю змістовну теорію. Крім того, в більш багатій формальній системі, до якої недовідне пропозицію приєднано в якості аксіоми, його можна тривіально довести, але проте і в новій системі є можливість побудувати аналогічне недовідне пропозицію і, таким чином , завжди залишається якийсь «формалізації залишок». Ця теорема показала неможливість дати в рамках формального побудови підставу всієї як сьогоднішньої, так і майбутньої математіке242. Гедель показав нездійсненність в цілому програми Гільберта, яка передбачала повну формалізацію істотної частини математики. Вона обмежила саму ідею, яка виходить від робіт Лейбніца, про формалізацію всієї раціональної думки у вигляді синтаксичних структур і розумінні мислення як ігри символів безвідносно їх значення. Тому теорема Геделя часто розглядається як досить суворе обгрунтування принципової неможливості повної формалізації наукових міркувань і наукового знання в цілому.

Таким чином, Гедель дав строго логічне обгрунтування нездійсненності ідеї Р. Карнапа про створення єдиного, універсального, формалізованого «фізикалістськи» мови науки. Тобто з геделевской теореми «про неповноту» випливає, що точна формалізована система, яка виступає в якості мови науки, не може вважатися абсолютно адекватною системі об'єктів, бо деякі змістовно істинні пропозиції не можуть бути отримані засобами даного формалізму, а це означає, що формалізація мови науки не знижує, а навпаки, передбачає змістовні моменти в побудові мовної системи.

Результати робіт Геделя викликали інтенсивні дослідження обмеженості формальних систем (роботи А. Черча, С. Кліні, Тарського та ін.) Теореми Альфреда Тарського (1902-1984) про неформалізуємим поняття істини для досить багатих формалізованих теорій виявили обмеженість дедуктивних і виражальних можливостей формалізмов252. Тарський довів внутрішню обмеженість виразних можливостей формалізованих теорій - неможливість строго формальними методами передати все те пізнавальне зміст, який виражається досить багатими змістовними науковими теоріями, що зазнали формалізації. Таким чином, так звані обмежувальні теореми Черча, Тарського і Геделя переконливо показують, що зі складу математики і формальної логіки не можна виключити пропозиції, які в силу певних змістовних мотивів, не можна не визнати істинними, але які проте нерозв'язні на основі правил побудови відповідних формальних систем.

У філософському плані ці теореми означали твердження принципову неможливість повної формалізації наукового знання. Застосування аксіоматичних і формальних методів дослідження має свої межі.

Інформація, релевантна "Можливості та межі формалізації (філософський сенс теорем Геделя, Тарського)"

1. Оцінка програми Гільберта
   Як і всі розглянуті раніше програми обгрунтування математики, програма Гільберта цікава не стільки заявленими цілями, скільки безпосередніми і віддаленими наслідками своєї реалізації. Її цілі полягали у формалізації і фінітізаціі всієї класичної математики, позбавленні її від парадоксів, в наближенні формалізованого математичного доказу до рутинним розумовим
   
2. 2. Захист фінітізма
   Метод абсолютного обгрунтування несуперечності формалізованої теорії реалізується для простих обчислень,-таких, як числення висловів, обчислення предикатів і абстрактна теорія груп, але він виявляється непридатним для основних теорій, з якими має справу математика. Нерозв'язною виявилася вже завдання обгрунтування несуперечності формалізму арифметики. Прийнято вважати, що причини
   
3. ассерторіческіе і аподиктичні очевидність
   Ключовим питанням всієї проблеми обгрунтування математики є питання про надійність математичного докази. Якщо допустити, що всі докази в якійсь мірі ненадійні, то проблема обгрунтування математики, принаймні як проблема внутріматематіческіе, втрачає сенс, бо обгрунтування математичної теорії має бути результатом безумовно надійного докази . Ми віримо
   
4. ЛОГІКА І Божественне видіння
   Наступний мій приклад взятий з області логіки, точніше, з відповіді сучасної логіки на найдавніший логічний парадокс - парадокс Брехуна. Замість розгляду судження «Все крітяни - брехуни» (висловленого критянином) 114 сучасний аналіз починається з висловлення типу: (1) Висловлення (I) помилково. Припускаю, що хто-небудь може подумати, що не є законним використовувати «(I)» для
   
5. Виявлення принципових кордонів програАлми формалізації математики Гільберта
   У 1931 р. була опублікована стаття 25-річного австрійського математика Курта Геделя (1906-1978) «Про нерозв'язних висловлюваннях Principia Mathematica і споріднених систем », яка до цих пір вважається однією з найвидатніших робіт в області обгрунтування математікі115. Стаття Геделя містить два результату. Спочатку Гедель доводить, що будь-яка формальна система типу Principia Mathematica,
   
6. Формалізація сучасної науки
   Формалізація сучасної
   
7. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
   Науковість позитивної теоретичної метафізики обумовлена не тільки реальним існуванням об'єктів, які вона описує . У ній є ефективна процедура обгрунтування необхідної істинності вихідних принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів,
   
8. 1. машина Тьюринга
   У цій статті нам буде потрібно поняття машини Тьюринга 6, яке я і хотів би зараз роз'яснити. Двома словами, машина Тьюринга - це пристрій з кінцевим числом внутрішніх конфігурацій, кожна з яких характеризується тим, що машина знаходиться в якомусь одному стані з кінцевого безлічі станів 1 і сканує стрічку, на якій з'являються певні символи. Стрічка
   
9. 9. Формалізація конгруентності
   У традиційному викладанні геометрія до цих пір підноситься майже в тому ж вигляді, як вона була написана Евклидом. У самому строгому сенсі вона тільки частково є логічною системою, оскільки в ній користуються деякими емпіричними поня-тиями. Серед основних понять самим «фізичним» здається поняття «конгруентності». Традиційне визначення свідчить: дві фігури «конгруентний», якщо
   
10. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 с., 2002