4. Праксеологічне обґрунтування вихідних принципів

Ситуація, однак, не є зовсім безнадійною. Загалом, вона аналогічна тому, що ми вже мали в разі виявлення абсолютно надійних доказів. Як ми з'ясували, невизначеність у розрізненні аподиктической і ассерторіческіе очевидності, взагалі кажучи, не є перешкодою для винесення цілком певних рішень про завершеності конкретних доказів.

Аналіз статусу предметної онтології дозволяє висловити тут два положення, на перший погляд, суперечать один одному. По-перше, ми повинні прийняти як безумовно обгрунтоване те положення, що різниця між аподиктической (онтологічної) і ассерторіческіе очевидністю є фундаментальним, що лежить в основі всіх інших відмінностей і тому свідомо не піддається адекватному визначенню в приватних поняттях. Брауер абсолютно справедливо наполягав на тому, що сфера інтуїтивно ясних побудов не може бути визначена в логіці або в будь-яких математичних поняттях. Фінітними як математичне поняття в принципі також не може бути привести нас до точного визначення сфери онтологічно істинності. Всі такого роду критерії можуть розглядатися тільки як деякі наближення до поняття онтологічної істинності, корисні для вирішення приватних завдань. Ми повинні стверджувати, таким чином, що система онтологічної істини в принципі невизначена в строгих математичних поняттях.

Але тут є інша, більш позитивна сторона справи. Загальна ірраціональність, що міститься в понятті аподиктической очевидності, не виключає того положення, що в окремих випадках ми можемо строго довести приналежність того або іншого математичного твердження до сфери онтологічно істинної математики. Вище були сформульовані аргументи, покликані обгрунтувати те положення, що закон виключеного третього є онтологічно істинним і, отже, вільним від дефектів, про які говорили прихильники інтуїционізма. З'ясування генези законів логіки, їх обумовленості діяльнісної орієнтацією свідомості є одночасно і їх обгрунтуванням в якості гранично надійних.

У цьому полягає суть праксеологічного обгрунтування математичних та логічних істин: аналіз генезису математичного принципу може бути одночасно і обгрунтуванням його абсолютної надійності. Ця обставина відкриває нам перспективу раціонального виправдання обгрунтовуючих шару. Виходячи з онтологічного статусу математичної істини, ми можемо по відношенню до будь-якого спірного принципом поставити питання про його приналежність до сфери онтологічно істинної математики або до онтологічної ядру математики. Ми отримуємо тут підхід до раціонального виправданню самоочевидних принципів, який дає можливість критики існуючих програм обгрунтування, а також і можливість їх вдосконалення через розширення обгрунтовуючих шару.

Як приклад, прояснює цю загальну установку, ми можемо розглянути положення про нескінченність натурального ряду. Логічно це твердження, очевидно, неможливо довести. Якщо ми істолкуем його натуралістично як можливість до нескінченності збільшувати сукупність матеріальних тіл або частинок, то істинність його буде проблематичною внаслідок того, що фізична нескінченність для нас недоступна. Ясно, що загальзначимість і аподиктичні очевидність цього положення спочиває не на логіці і не на досвіді, а на ідеалізованих і необхідних для людської свідомості уявленнях про реальність.

До такого роду категоріальним твердженнями повинна бути віднесена також і аксіома безперервності. Математична безперервність не може бути виправдана досвідом і не може бути введена на основі яких-небудь більш приватних математичних істин. Ми задаємо її, зрештою, як безсумнівною істини, відповідає нашому уявленню безперервної величини. Важливо зрозуміти, що тут ми маємо справу не з досвідченою ідеалізацією і не з довільним угодою, але з експлікацією категоріального підстави математичного мислення. В основі математики лежить не тільки ідея предметності, а й ідея екстенсивної величини, що володіє однорідністю, нескінченної делимостью і безперервністю.

Філософи початку XX століття хотіли повністю звільнитися від поняття величини при обговоренні підстав математики, вказуючи на те обставина, що це поняття не володіє ясністю без попереднього визначення його на основі понять числа і порядка5. Внутрішні визначення величини, звичайно, мають сенс, але усунення ідеї величини як випереджає математичне мислення позбавляє нас можливості зрозуміти справжній статус цього поняття. Аналіз статусу аксіом нескінченності і безперервності дозволяє зрозуміти, що ми маємо тут справу з уявленнями, що фіксують категоріальні, а отже, непорушні основи математики.

Інформація, релевантна " 4. праксеологіческая обгрунтування вихідних принципів "

1. 2. Предмет, структура і функції сучасної філософії
   З позицій сучасної філософії об'єктом філософського знання є все різноманіття буття, весь світ як багаторівнева система, що характеризується складністю, невизначеністю, нелінійністю, динамічністю. Зміст сучасного філософського знання відображає розширюються можливості управління багатьма природними і соціальними процесами, а також стан суспільства, становище людини в
   
2. Введення
   Після знаменитих теорем Геделя проблема обгрунтування математики зайшла в ідеологічний глухий кут. Коли стало ясно, що логічні методи не досягають тут своїх цілей, математики і філософи зробили висновок, що ця проблема нерозв'язна взагалі і що математика в сенсі обгрунтування не відрізняється принципово від досвідчених наук. У філософії математики стало переважати думка, що віра в надійність
   
3. Висновок
   Проблема обгрунтування математики в сучасній формі була поставлена на початку XX століття у зв'язку з появою парадоксів у логіці і теорії множин і містила в собі дві основні завдання: у вузькому сенсі вона полягала в тому, щоб знайти спосіб позбутися від наявних парадоксів, а в більш широкому - знайти загальні принципи побудови математичних теорій, що гарантують їх несуперечливість. В
   
4. Література і примітки
   Введення 1. See: Husserl Є. The Origin of Geometry / / In: Husserl E. The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology. Northwestern University Press, Evanston, 1970 P. 377. 2. Grassmann H. Die Ausdehnunglehre. Gesammelte Mathematische und Physicalische Werke, Band 1, Theil 1, Leipzig, 1894. S. 22. 3. Див: Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. М., 1998. С. 461-462. 4. Кант І.
   
5. 3. Кантовский інтуіціонізм
   праксеологіческая концепція математичної очевидності вказує нам два шляхи трансформації интуиционистской програми, виправдані з точки зору зазначеної мети обгрунтування та забезпечення його надійності. Перше можливе її зміну відноситься до сфери логіки і пов'язане з відмовою від обмежень встановлених тут Брауером. Інтуїционістськая математика відкидає чисті докази існування і
   
6. 5. Обмеженість фінітізма
   Сучасні уявлення про суворість обгрунтування істотно пов'язані з ідеями конструктивізму і фінітізма. Бажаючи встановити гранично строгі підстави математичної теорії, ми не хотіли б мати в якості вихідних ніяких принципів, які не виправдовуються простими і, по можливості, кінцевими процедурами і конструкціями. Ця установка, як здається, підтримується всією практикою математики.
   
7. 4. Аналітичність і реальність логіки
   Логіка як особливий тип знання може бути зрозуміла через розкриття таких її характеристик, як універсальність, апріорність, аналітичність, реальність, нормативність і самоочевидність. Логіка універсальна в тому розумінні, що її закони відносяться до понять взагалі і не мають яких-небудь змістовних обмежень для свого застосування. Як форма мислення, що виникає з його загальної мети, вона єдина
   
8. 3. Про кітчеровской критиці априоризма
   Деякі загальні аргументи на захист математичного релятивізму були приведені Ф. Кітчером в його книзі «Природа математичного знання» (1984). Якщо Лакатос спростовував строгість математичного докази, виходячи з його будови і логіки становлення, то Кітчер націлений скоріше на загальне філософське виправдання релятивізму: він має намір довести неможливість будь-якої стоїть альтернативи емпіризму
   
9. 2. Поняття онтологічно істинної математики
   Поняття істини в математиці є досить складним. Ми повинні відокремлювати один від одного, принаймні, п'ять значень цього поняття, які так чи інакше використовуються в загальних характеристиках математичного мислення. Це формальна істина, яка тотожна виводимості судження з принципів, семантична істина, бпределяемая через здійснимість принципів даної теорії на об'єктах інший
   
10. 4. Слабкість традиційного априоризма
    Поняття a priori по відношенню до логічних та математичних істин систематично став використовувати Г.В. Лейбніц. Він вважав, що всі математичні істини вроджені («потенційно знаходяться в душі людини») і що вони аналітичне в тому сенсі, що їх можна звести до системи простих самототожності утвержденій20. Подібно Платону Лейбніц вірив у те, що принципи математики відносяться до справжньої
    
11. 5. Реальність математичних об'єктів
    праксеологіческая розуміння інтуїтивної основи математичного мислення дозволяє нам по новому подивитися на стару суперечку про реальність математичних абстракцій: чи є ці абстракції фікціями, винаходом людського розуму, або вони містять в собі деякий містять, зумовлене структурою світу, в якому ми існуємо. Викладені міркування дають нам можливість захистити
    
12. 2. Апріорність вихідних уявлень математики
    Апріорність математики потребує особливого обгрунтуванні, навіть якщо наявність апріорного знання у вигляді логіки і категорій прийнято. Здоровий людський розум може примиритися з апріорно логічних принципів, але закони арифметики є більш змістовними, тісно пов'язаними з операціями досвіду і, внаслідок цього, мало узгоджуються із загальною ідеєю позадосвідне знання. Непряме