6. Переваги аксіоматикою

{і) У явному вигляді встановлюються певні припущення, які тим самим можна постійно контролювати. У тому вигляді аксіоматика, який відстоюється в даній роботі, передумови теорії - як формальні, так і неформальні - виявляються з самого-початку н можуть бути збережені в пам'яті для можливої критики н корекції. Приклад: іноді стверджують, що квантова механіка передбачає класичну. З дру-

1 М. У J п g е, Foundations of Physics, 1967,

гой боку, відомо, що ці дві теорії взаємно несумісні. Подібної помилки можна уникнути завдяки аксіоматизації квантової механіки, яка виключає подібну залежність.

(Іі) Референт теорії утримується в центрі уваги, Будь-яке наукове твердження, якщо воно не сформульоване в деталях, може, мабуть, не торкатися якої б то не було реальної сутності або навіть допускати довільну інтерпретацію свого змісту . Але якщо в аксіомах ясно стверджується, що всі аргументи (або індекси) функцій, які з'являються у твердженнях, реально існують, помилок такого роду, ймовірно, вдасться уникнути. Приклад: часто висловлюють думку, що квантова механіка говорить нам не про автономно існуючих фізичних системах, а про вимірювання, або про неаналізіруемих далі блоках об'єкт - прилад - суб'єкт, або про наш знанні, або навіть про висловлюваннях. Так, догматично стверджується, що кожен гамильтониан можна мислити як репрезентацію вимірювання енергії, навіть якщо очевидно, що даний гамильтониан відноситься до незалежної системі і з нього не можна витягти жодної інформації про те, як виконати подібне вимір. У будь аксіоматизована формулюванні такі ні на чому не засновані твердження виключені.

(ІІІ) Приписування значень відбувається систематично, несуперечливо і буквально, а не безладно, несумісне і метафорично. Будь-який не замкнутий контекст допускає свавілля, тому приписування значення за аналогні і є притулок для двозначностей і протиріч. У будь-якому аксіоматизована контексті подібний ризик зводиться до мінімуму за умови існування в ньому семантичних аксіом. Приклад:> бично в підручниках з квантової механіки величиною & Х 'дається безліч взаємно несумісних інтрепре-гацій: середня стандартне відхилення, суб'єктивна неточність, помилка вимірювання, ширина хвильового пакета f т. д. Причому лише деякі з цих інтерпретацій сумісні з інтерпретаціями, що приписуються іншому символам цієї теорії. Наприклад, не може бути й> ечі про суб'єктивну неточності, якщо суб'єкт не вво-рггся явним чином. Але в той же час будь-яка аксіоматична формулювання квантової механіки обмежиться одіой-єдиної інтерпретацією 'Ьх', більше того, такою інтерпретацією, яка сумісна з інтерпретацією, приписується як 'ДАТ, так і іншим символам, тобто ця інтерпретація буде випадкової грою обставин (см. гл. 5).

(V) Зводяться до мінімуму неспроможні докази. При доказі небудь теореми в незамкнутому контексті виникає спокуса (часто виправдане) спертися на будь-які передумови, які тільки можуть допомогти. Це перехресне запилення іноді дійсно виявляється плідним, приводячи до нових цінних ідей, але воно може завести в глухий кут. У фізиці, що представляє собою систему теорій, багато з яких взаємонесумісність, на цю обставину треба звертати особливу увагу. Нехтування кордонами стає особливо небезпечним, буть то у фізиці чи в математиці, коли мова заходить про перевірку метаутвержде-ний, зокрема тверджень щодо теорії в цілому, бо в цьому випадку розглянута теорія повинна бути ясно «визначена», тобто вона повинна бути сформульована аксіоматично. Приклад: всі міркування з приводу «віртуальних» процесів в атомній і ядерній фізиці, а також у фізиці елементарних частинок неспроможні, так як вони грунтуються на ти званому четвертому співвідношенні невизначеностей Д? «Д / ^ А / 2, яке беззмістовно, оскільки час в квантовій механіці є змінна без дисперсії (див. гл.% § 2). В результаті мезони теорія ядерних сил виявляється ненадійною, тому що вона припускає, що механізм сильних взаємодій полягає в обміні півоніями, який відбувається як оборотне перетворення про-

* С. TruesdeU, Six Lectures on Modern Natural Philosophy, Springer-Verlag, New York 1966; Rational Thermodtoamics, McGraw-Hill, New York, 1969.

Тону в нейтрон і позитивний півонія. Ці процеси неможливі, тому що вони порушували б закон збережений кия енергії. Справді, маси нуклонів приблизно однакові, а маса півонії дорівнює приблизно 140 МеВ, Але саме ці обміни і перенесення півонії розглядаються як джерело стабільності ядра. Вони іменуються віртуальними (а не фіктивними) і виправдовуються за допомогою четвертого співвідношення невизначеностей, яке саме по собі є неправомірним. Виправдання полягає в наступному: вважаючи Д? = «140 МеВ (що досить дивно, оскільки в даному випадку ніякої дисперсії немає), отримують Д />

(Vi) Вдається зменшити число непотрібних доказів. У незамкнутому контексті часто виникає з-5лаен шукати докази, які виявляються зовсім * е необхідними або, навіть більше того, не завжди мають: мислити в даному контексті. Приклад: твердження, що ні: уществует прихованих змінних, строго кажучи, не має: думки. Сенс має лише релятівізіровать утверж-іеніе, згідно з яким прихованих змінних немає в стандартній квантовій механіці, бо це твердження може 5ить перевірено (і доведено) шляхом ретельного розгляду основних динамічних змінних даної теорії, «проходження якої передбачає її аксіоматизації. Застій дискусій щодо прихованих змінних иожно було б запобігти, якщо була б досягнута юдлінная аксиоматизация квантової механіки. Тим са-іим сучасні дискусії 1 про можливість виходу за 1редели квантової механіки або в напрямів подальшого посилення стохастичних інгредієнтів, або, на-іротів, в бік їх ослаблення отримали б несом-іенную допомогу від ясною і переконливою аксіоматичної формулювання, на основі якої можна було 5и точно знати, що слід змінити для узагальнення

1 Е. W. Bast in (ed.), Quantum Theory and Beyond, Cambridge University Press, 1971, квантової механіки і які види нових змінних повинні бути для цього введені.

(Vii) Отримує відставку утопічний раціоналізм. Наївний раціоналіст прагне визначити кожне поняття і довести кожне твердження. Але це в кінцевому рахунку веде або до руху по колу, або до нескінченного регресу. Подолання раціональність вимагає прийняти, принаймні pro tempore (тимчасово), деякий безліч невизначуваних понять в недовідних тверджень, бо вони дозволять нам логічно вивести, н тим самим підтвердити, всі інші. Звичайно, ато в цілому робиться не на віру н пізніше має бути виправдане. Виправданням для введення первинного поняття служить його роль а теорії, а виправданням аксіоми будуть випливають з неї (зазвичай в сукупності з іншими передумовами) теореми, які пояснюють або пророкують щось. Приклад: звичайна починати виклад зі списку дефініцій є безсумнівне свідчення утопічного раціоналізму. Саме таким чином багато хто намагається логічно вивести квантову механіку або з класичної фізики, або з суто математичних теорій.

(Vii)) Купується евристична проникливість. Аксіоматична теорія, експонуючи свої передумови, наводить на думку спробувати усунути деякі з них, з тим щоб замінити їх на інші або обійтися без цього, з метою подивитися, що «трапиться», тобто як дана процедура впливає на безліч наслідків. Якщо якийсь постулат буде викреслять, то будуть втрачені і деякі теореми. Якщо ж він буде замінений іншим припущенням, то деякі теореми зазнають зміна. У всякому разі, буде сформульована якась нова теорія. Приклад: таким шляхом були побудовані неевклидова геометрії.

(Jx) Полегшується можливість аналізу. Як правило, в контексті, який чітко не фіксується, якої-небудь аналіз фізичних 'ідей просто відсутня. Відсутня навіть звичайна для аксіоматичного контексту дискусія щодо визначених. При такому підході нічого не можна привести в порядок, бо цілком можливо. що одне поняття буде невизначуваним в одній системі і визначеним в іншій. Точно так само деякі гіпотези можуть передбачатися в одній теорії і ви-водитися в іншій. Аналіз незамкнутого контексту по необхідності є неповним і неточним. Він нехтує основними ідеями і вводить не стосуються справи поняття, і в усякому випадку виявляється не в змозі виявити точну форму і значення символу, гак як, щоб добитися цього, необхідно побудувати, котя б начорно, систему аксіом. Приклад: можна було 5и обійтися без непорозумінь з приводу визначення поняття часу за допомогою необоротних процесів, зслі була б побудована аксіоматична теорія часу або принаймні виконана аксиоматизация теорії необоротних процесів. Перша теорія продемонструвала б, що універсальне поняття часу, яке застосовується в будь-якій області фізики, не слід прив'язувати до якого-небудь спеціальному процесу. А друга котя б начорно, систему аксіом. Приклад: можна було написати рівняння необоротних процесів, необхідно 5ило б мати деяке поняття часу

(х) Зникає звичка вносити зміни в окремі формули поза контекстом. Згадаймо про твердження «яких авторів, що спеціальна теорія щодо відповідності-4ості нібито санкціонує гіпотезу про існування іастіц, що рухаються зі сверхсветовой швидкістю (тахіон). Ці твердження висуваються на тій підставі, ІТО подібне припущення узгоджується з визначенням імпульса в релятивістській механіці. Заперечення, яке напрошується тут з точки зору аксіоматики, со-: тоит в наступному.

1 М. Bunge, Studium Generate, 1970, vol. 23. p. 562.

1 К. H. M ar и wa 11 a, American-Journal of Physics, 1969. vol. 37,>. 1281.

Теорії, вони не змогли б взаємодіяти зі звичайними зарядженими частинками і були б не в змозі випромінювати електромагнітні хвилі. Взагалі кажучи, в той час як будь-яка дана формула (якщо вона береться ізольовано) може бути модифікована ab libitum (як завгодно), теорія в цілому не може бути змінена з тією ж легкістю, оскільки вона являє собою систему взаємопов'язаних компонент. Саме тому цілком виправдано приписувати теоріям в цілому або гіпотетнко-дедуктивним системам велику ступінь правдоподібності, ніж випадковим припущеннями.

№,) 'Дає можливість скасувати числову еквілібристику. За допомогою чисто формальної гри з фізичними константами та іншими числами цілком можливо отримати безліч чисел, які виглядають так, як якщо б вони мали важливе фізичне значення. Пифагорейские ігри такого роду були популярні в 30-х роках нашого століття, і ми можемо знову до цього повернутися, якщо не навчимося мислити в термінах теорій в цілому. Справді, вимога аксиоматизации виявляє відсутність сенсу в таких іграх, оскільки показує: (а) що вони навряд чи призводять до яких-небудь твердженнями про закони і (Ь) в них не вдається ясно вказати референти використовуваних символів. (Щодо тривіальності гри з числами див. гл. 3.)

(Xii) Робить можливою метаматематичних перевірку. Поки теорія не аксіоматизована, не можна бути впевненим, чи володіє вона-якими метаматематичних властивостями (наприклад, непротиворечивостью), які їй приписують, чи ні. (Аксіоматизації в цьому випадку необхідна, але недостатня. Навіть у математиці зазвичай вдається в кращому випадку одержати доказ лише Відносній несуперечності. Так, можна довести, що евклідова геометрія є несуперечливої, виводячи її з передбачуваної несуперечності системи дійсних чисел.) Приклад: існуючі доведення еквівалентності (ізоморфізму) матрічйой і хвильової механіки є евристичними, а не строгими за наступними двох причин. ** Перше, саме визначення ізоморфізму має бути побудовано ad hoc для кожного виду теорії. Так, визначення ізоморфізму для теорії, базис первинних понять якої складається з безлічі і відносини, відрізняється від аналогічного визначення для теорії з базисом з двох множин. По-друге, в той час як це доказ було дано, аксіоматичної формулювання квантової механіки ще не було. Отже, можна сумніватися разом з Дираком в тому, чи є обидві формулювання насправді еквівалентними. Іноді щось подібне затверджується і в зв'язку з Фейнмановские формулюванням квантової механіки за допомогою поняття інтегралів по шляхах в її відношенні до стандартних формулювань.

 (Xiii) Сприяє кращому запам'ятовуванню. Психологи-експериментатори показали, що добре організована система знання набагато легше запам'ятовується, ніж безліч термінів без всякої очевидної зв'язку. Дійсно, у недавній експериментальній роботі Міллера було показано, що «наше запам'ятовування обмежена кількістю одиниць, або символів, якими ми повинні опанувати, а не кількістю інформації, яку ці символи представляють. Тому корисно організувати матеріал у формі, доступною розумінню, перш ніж намагатися його запам'ятати. Процедура організації дозволяє нам упакувати те ж саме кількість інформації в набагато менше число символів і тим самим сильно полегшує завдання її запам'ятовування »До По * скольку наша здатність запасати і зберігати інформацію досить-обмежена, слід було б скористатися психологічними перевагами, зберігаючи в пам'яті лише центральні аксіоми і мало типові теореми тієї чи іншої теорії замість строкатого конгломерату різних висловлювань. Педагогічні можливості аксіоматичного підходу розглядаються в § 8. 

 Звернемося тепер до претензій, які зазвичай висловлюються стосовно аксіоматиці. 

 Інформація, релевантна "6. Переваги аксіоматикою"

1. Несуперечливість завершеною аксіоматики
     аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
   
2. Які переваги та пільги для працівників, які успішно і сумлінно виконують свої трудові обов'язки?
     переваги та пільги для працівників, які успішно і сумлінно виконують свої трудові обов'язки, викладені у ст. 145 КЗпП. Вони мають право на першочергове надання пільг та переваг в галузі соціально-культурного та житлово-побутового обслуговування (путівки до санаторіїв та будинків відпочинку,. Поліпшення житлових умов і т.д.). Таким працівникам надається також перевага при просуванні
   
3. 5. Ідея системного аналізу несуперечності
     аксіоматики, яке ми вводимо тут, є методологічним, оскільки воно передбачає констатацію якостей, невимовних в логічних поняттях. Повнота арифметики в методологічному сенсі, звичайно, не може бути обгрунтована логічно. Такі всі властивості завершеною аксіоматики, про які йде тут мова: вони загальнозначимі і Фиксируемое математичним співтовариством, але разом з тим вони невимовно
   
4. Контрольні питання по § 3 1.
     аксіоматика? 4. Яке співвідношення раціонального та ірраціонального в проблемі сенсу життя людини? 5. Що означає «трансцендирование до змісту»: його експлікація, розуміння або «буття в
   
5. 3. Властивості завершеною аксіоматики
     аксіоматики ми будемо розуміти тут достатність її для логічного представлення визнаного змісту теорії. Таке розуміння повноти, звичайно, не тотожне логічному або метатеоретіческіе визначенню цього поняття. У логічному визначенні повнота аксіоматики в більшості випадків принципово недосяжна і ми можемо говорити про повноту в цьому сенсі тільки щодо самих
   
6. 4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії
     аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії. Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії.
   
7. 4. Фактуальная істинність аксіом
     аксіоматики дозволяють зрозуміти основну якість завершеною аксіоматики, яке полягає в її ідеальною істинності щодо фактологічної основи теорії. Характеризуючи аксіоматичний метод, ми зазвичай підкреслюємо можливість використання різних аксіоматикою для подання змісту однієї і тієї ж теорії. У етрм затвердження є певний сенс. Варіації у виборі окремих аксіом і
   
8. Поняття завершеною аксіоматики
     Ми розглянемо тепер проблему обгрунтування математики, виходячи з логіки її розвитку. Цей підхід буде методологічним в тому сенсі, що ми будемо спиратися тут, в основному, на якісні характеристики математичного знання, вироблені в історії математики і в філософії науки. Його можна назвати також системним, оскільки математика розглядатиметься тут як історично розвивається
   
9. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
     аксіоматики є разом з тим і повним усуненням суперечностей цього виду. З міркувань про елементарності аксіоматики випливає, що другий випадок суперечливості практично рівнозначний перший, бо всі прості аналоги аксіоми А виявляються разом із самою аксіомою вже на початковому етапі розвитку теорії. Як аксіома або як частина аксіоми твердження В не може бути пов'язано зі складними
   
10. 1. Проблема прихованих суперечностей
      аксіоматики. Першим і природним визначальним фрагментом математичної теорії є сукупність її найбільш простих і відомих теорем, з якими ми пов'язуємо саме її існування. Набір цих теорем для конкретної теорії, як показує практика, не особливо великий: перші два десятка теорем, як відомо, вимагають використання всієї системи аксіом планіметрії і, таким чином, в
    
11. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
      аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії. Всі ці аксіоми як би стягуються у факті, вираженому в теоремі Піфагора. Інша чудова особливість теореми Піфагора полягає в тому, що вона може бути обгрунтована у своїй істинності поза
    
12. 2. Неминучість стабілізації
      аксіоматики слід певну безліч теорем і, навпаки, прийняття як істинних певного числа теорем вимагає однозначного визнання певної аксіоматики. Якщо теорема Піфагора визнана, то і аксіома паралельності Евкліда визнана і т.д. Тобто в математичній теорії ми можемо говорити як про суворе виведення теорем на основі аксіом, так і про суворе виведення аксіом на базі
    
13. Несуперечливість змістовної теорії
      аксіоматики ми повинні перейти тепер до несуперечності змістовної теорії в цілому. Так як змістовно аксіоматизована теорія залишає відкритим питання про прийнятну логіці, то тут виникають проблеми, які стосуються прийнятності деяких типів визначень, що мають суто логічну природу. Такі, наприклад, непредикативні (самопріменімості) визначення. Системний підхід дозволяє
    
14. 3. Редукція прихованих суперечностей до доступним для огляду
      аксіоматиці є в деякому сенсі осяжними і, отже, практично усуненими в процесі її становлення. Припустимо, що система аксіом суперечлива в тому сенсі, що щодо деякого похідного об'єкта в теорії можна довести одночасно як Р (а), так і не-Р (а). Інакше кажучи, ми розглянемо той випадок, коли суперечливість системи аксіом виявляється через явне
    
15. 2. Уроки Евкліда, Гільберта і Геделя
      аксіоматикою завжди захоплювалися як парадигмою формулювання теорій - і до такої міри, що Спіноза, Ньютон та багато інших намагалися сформулювати свої основні теорії як можна більш геометрично, тобто аксіоматично, - все ж аксіоматика була в основному не у справ аж до початку нашого сто летня . Вона була відроджена в свій час двома групами математиків: тими, хто почав усвідомлювати
    
16. 6. Загальні зауваження та висновки
      аксіоматиці є певним для математичної спільноти нітрохи не в меншій мірі, ніж уявлення про аподиктичні очевидною аксіоматиці або про закінченість конкретного математичного докази. Ми не сумніваємося в стабільності аксіом арифметики, геометрії, топології, теорії ймовірностей та інших математичних теорій, безсумнівно досягли стану зрілості. Емпіріцісти
    
17. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
      аксіоматика апелює до інтуїтивної або дослідної очевидності аксіом. Формальна аксіоматика теж потребує очевидності, але особливого роду, властивої не окремої конкретної галузі математичної науки, а всієї математики в цілому. - Кожна теорія - спрощує ідеалізація, екстраполюється свої базисні поняття за межі готівки даних досвіду. Тому для встановлення несуперечності