1. Проблема прихованих суперечностей

Будемо вважати фрагмент математичної теорії приховано суперечливим, якщо в ньому не міститься явного протиріччя виду «А і не-А», але використання ув'язнених у ньому тверджень дозволяє довести два несумісних один з одним твердження, т. е. отримати в рамках суворої дедукції твердження виду «А і не-^ 4». В системі аксіом з логічної точки зору може існувати декілька істотно різних типів прихованого протиріччя, будемо називати приховане протиріччя слабо прихованим, якщо воно може бути переведено в явне допомогою простого переходу від аксіоми до її тривіального аналогу. Так, якщо хтось висловлює аксіому паралельності і одночасно твердження про те, що існують три точки, через які не можна провести коло, то ясно, що він суперечить самому собі і це протиріччя легко розкривається доказом того твердження, що теза: «Існують три точки, через які не можна провести коло »вимагає відмови від аксіоми паралельності. Ми назвемо протиріччя в аксіоматиці істотно прихованим, якщо воно не розкривається через виявлення тривіальних аналогів аксіом, а вимагає розгляду деяких похідних об'єктів в рамках визначального фрагмента теорії. Ми будемо називати протиріччя в аксіоматиці глибоко прихованим, якщо воно не може бути розкрито в межах її елементарного визначального фрагмента. Продовжуючи цей ряд, можна говорити також про недосяжних протиріччях, які виявлюваністю в кінцевому розгортанні теорії, однак практично не можуть бути виявлені внаслідок несумірності цієї кінцівки з людськими ВОЗМОЖНОСТЯМІ3.

В історичному розвитку математичної теорії ми, починаючи з деякої системи тверджень середньої складності, рухаємося у двох напрямках: у бік обгрунтування нових, складніших тверджень і в сторону редукції даних тверджень до простішим. Можна позначити ці напрямки відповідно як напрямок ускладнення і напрямок тривіалізації. І в тому, і в іншому випадку ми можемо натрапити на протиріччя. Логічна теорія показує, що в розвивається теорії не може існувати вічно прихованих суперечностей, і що кожне протиріччя, закладене в деякій системі вихідних тверджень, набуває форму явного протиріччя на деякому кінцевому етапі ускладнення понятій4. Однак питання про можливість прояву протиріччя при русі у зворотний бік логічна теорія залишає відкритим.

Очевидно, що й тут протиріччя не може зникнути. Якщо правильно побудований (відповідно до вимог аксіоматичного методу) фрагмент математичної теорії виявляється тим не менше суперечливим, то це. може бути тільки результатом логічного дефекту в самому формулюванні аксіом. Хоча принцип зворотної передачі хибності діє і в емпіричних теоріях, в математичних теоріях він діє безумовно в тому сенсі, що наявність суперечності в системі теорем не може обійтися без коригування принципів. Суперечливість висновків у фізичній теорії може бути усунена зміною деяких приватних припущень, використаних у процесі виведення, без коригування загальних принципів. У добре аксіоматизована математичної теорії, де всі об'єкти, суттєві для доказу, введені відповідно до аксіомами, це виключено: будь-яке протиріччя в теоремах означає наявність протиріччя в аксіомах, тобто в системі елементарних тверджень про вихідні об'єктах.

Суперечливість фрагмента аксіоматизована математичної теорії припускає, таким чином, як суперечливість (явну) у деяких віддалених наслідках теорії, так і суперечливість (може бути, приховану) у системі аксіом. Питання, яке для нас тут принципово важливий, полягає в тому, в якій формі система аксіом може бути суперечливою при наявності протиріччя в теорії. Більш конкретно, нас цікавить, чи може аксіоматика в цьому випадку містити глибоко приховані протиріччя? Якщо протиріччя у віддалених наслідках теорії може редукувати до глибоко приховане протиріччя в аксіомах, то воно може залишатися невловимим для нас як завгодно довго, і ми повинні будемо погодитися з позицією скептиків, які вважають, що у нас немає підстав наполягати на повній несуперечності жодної з існуючих математичних теорій. Абстрактна логіка недостатня для вирішення цієї проблеми. З чисто логічної точки зору цілком допустимо положення, що протиріччя щодо похідного об'єкта, що міститься в теорії, при редукції його до системи аксіом перетворюється на приховане протиріччя цієї системи. У цьому випадку треба визнати, що тривіалізація теорії сама по собі не виявляє містяться в ній суперечностей і, загалом разі, не просуває нас до її логічному обгрунтуванню.

Інформація, релевантна " 1. Проблема прихованих суперечностей "

1. 1.Економіка і соціальна структура
   Розвиток капіталізму в Росії та інших країнах породило проблему його типології. Сучасна методологія розгорнула цю проблему в концепцію трьох ешелонів. Відповідно до цієї концепції можна говорити про три моделі (ешелонах) розвитку світового капіталізму: - ешелон розвиненого, класичного капіталізму - Англія, Франція, США, Канада, Австралія; - ешелон становлення буржуазних відносин в переплетенні з
   
2. Драма «розселянення»
   Дослідження історії колективізації - цього драматичного повороту в житті села - протягом довгого часу грунтувалося на установках, закріплених в партійно-державних документах 30-х рр.., потім у «Короткому курсі історії ВКП (б) », а на початку 50-х рр.., доповнених роботою І.В. Сталіна «Економічні проблеми соціалізму в СРСР». Тому тематика робіт спочатку зводилася в основному до
   
3. Глава пя-тая. ПРИСТРІЙ ДЕРЖАВИ
   Поняття пристрої государ-ства. Форма правління. Поділ та об'єднання влади, функцій і праці з державного управління. Законодавча, виконавча, судова влади. «Четверта» влада - засоби масової інформації. Влада голови держави. Національно-державне та адміністративно-територіальний устрій. Політичний режим. Види політичних режимів. Після того як
   
4. Глава шоста. ФУНКЦІЇ І забезпечує їх СТРУКТУРНА ОРГАНІЗАЦІЯ ДЕРЖАВИ
   Поняття, зміст і ознаки функції держави. Общесоциальное, класове і національне у функціях держави. «Вічні питання» життя суспільства і функції держави. Еволюція функцій держави. Класифікація функцій. Структура держави, що забезпечує виконання функцій. Система органів держави. Державний апарат. Бюрократія і функції держави. Функції держави,
   
5. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
   Теорія права і теорія держави. Предмет і методологія теорії права. Теорія права в системі суспільних наук. Загальна теорія права. Спеціальні теорії права. Теорія права і галузеві юридичні науки. Функції теорії права. У другій частині, присвяченій теорії права, розглядаються з урахуванням сучасного рівня юридичного знання функціонування та розвиток такого яскравого і складного соціального
   
6. Глава сімнадцята. РЕАЛІЗАЦІЯ ПРАВА
   Поняття, форми, методи реалізації права. Застосування права: суб'єкти та стадії застосування права. Прогалини в праві. Аналогія закону і аналогія права. Пряма дія Конституції. У попередній темі про правовідносинах підкреслювалося, що мова йде про юридичній формі втілення права в життя. Наділення учасників суспільних відносин правами, обов'язками, перетворення їх на суб'єктів правовідносин,
   
7. ГЛОСАРІЙ
   Адамецкі Кароль (1866 - 1933) - закінчив Технологічний інститут у Петербурзі; в лютому 1903 року, на місяць раніше Ф. Тейлора, виступив з публічною доповіддю застосування наукового методу у виробництві (в Південно-російському центрі гірничометалургійної промисловості). Адаптація працівника (в управлінні персоналом) - процес пристосування працівника до нового місця роботи (при переході в нову фірму, на
   
8. § 1. Розвиток науки і культури в першій половині ХХ в.
   На початку XX в. значно прискорюються культурні процеси. Виникають нові наукові теорії, художні напрями. Стрімко змінюється повсякденне життя людей. На зорі нового століття всі колишні істини в області людських знань і практичної діяльності піддалися перегляду. У сфері науки значно розширилася здатність людини розуміти і контролювати навколишній світ. На рубежі
   
9. ЛЕКЦІЯ 5ПОЛІТІКО-ПРАВОВА ДУМКА ВІДРОДЖЕННЯ ТА НОВОГО ЧАСУ
   Н. Макіавеллі і Ж. Боден. Т. Гоббс. Дж . Локк. 1. У період формування національних держав перед політичною теорією стали цілком нові завдання. У культурно-історичному плані нові проблеми були зумовлені Відродженням і Реформацією. Гуманістичний ідеал самодостатньої особистості в галузі політичної думки виражається в ре-шітелиюм розриві з середньовічною традицією, в пошуку нових
   
10. 2.1.1. Причини створення служб зайнятості
    Протягом багатьох десятиліть економічна наука не визнавала наявності у нас в країні ринку праці. Зі сфери товарних відносин виключалася робоча сила, що аргументувалось відсутністю в країні безробіття і наявністю соціалістичної (загальнонародної) власності як економічної основи держави. Вважалося, що в умовах соціалізму людина не відділений від засобів виробництва, і саме
    
11. О. Т. ЕрмішінВ. С. Соловйов і С. Н. Трубецького - ІСТОРИКИ давньогрецький філософ
    В. С. Соловйов проявив себе не тільки оригінальним філософом, а й видатним істориком філософії. Давньогрецькі мислителі, особливо Платон, мали для нього дуже велике значення. Саме давньогрецьке філософський світогляд, що знайшло оформлення в платонівської картині світу, використовувалося російським філософом в якості основи для побудови власної системи. Про це можна судити, в
    
12. 1.Економіка і соціальна структура
    Розвиток капіталізму в Росії та інших країнах породило проблему його типології. Сучасна методологія розгорнула цю проблему в концепцію трьох ешелонів. Відповідно до цієї концепції можна говорити про три моделі (ешелонах) розвитку світового капіталізму: - ешелон розвиненого, класичного капіталізму - Англія, Франція, США, Канада, Австралія; - ешелон становлення буржуазних відносин в переплетенні з
    
13. 3.Драма «розселянення»
    Дослідження історії колективізації - цього драматичного повороту у житті села - протягом довгого часу грунтувалося на установках, закріплених в партійно-державних документах 30-х рр.., потім в «Короткому курсі історії ВКП (б)», а на початку 50-х рр.., доповнених роботою І . В. Сталіна «Економічні проблеми соціалізму в СРСР». Тому тематика робіт спочатку зводилася в основному
    
14. 8.3. Реалізація основних принципів правової держави в Російській Федерації
    Всі вищеназвані принципи правової держави закріплені в Конституції РФ в ст. 1, яка проголошує Росію демократичною правовою державою. Необхідно підкреслити, що в ній говориться не про прагнення до правової держави, а про наявність його в РФ вже нині, точніше, з моменту прийняття Конституції в 1993 м. Однак принципи правової держави в РФ реалізуються з настільки
    
15. 17.1. Основні проблеми екологічного права
      Основне призначення екологічного права - забезпечення конституційного права кожного на сприятливе навколишнє середовище (ст. 42). За рахунок природи людство активно задовольняє свої численні потреби в продуктах харчування, енергії, середовища проживання. При цьому людство активно використовує природні ресурси, вільно чи мимоволі завдаючи їм шкоди своєю діяльністю. З метою обмеження