| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
7. Справедливість пропозицій геометрії |
||
|
Тепер ми на час залишимо суто математичні міркування і поставимо питання, яке існує співвідношення між геометрією та досвідом. Те, що ми довели до цих пір, не має до досвіду ніякого відношення. Ми тільки показали, що якщо трикутники задовольняють евклідовій аксіомі, то подібні трикутники існують. Якщо ж трикутники задовольняють аксіомі геометрії Лобачевського, то подібних трикутників не існує. Ці аксіоми - тільки умовні пропозиції. З них нічого не можна вивести про властивості фізичних трикутників, зроблених з дерева або заліза. Якщо які-небудь аксіоми вірні, то вірні і деякі результати. Все, що ми приймаємо в геометрії за істинне, є тільки ці умовні становища. Що б не сталося в світі, ці положення залишаться вірними. Чисто логічні положення істинні незалежно від відбуваються у світі фізичних подій. Це ж вірно і по відношенню до геометрії, якщо ми розглядаємо її в чисто математичному сенсі. Ми можемо охарактеризувати «логічні положення», сказавши, що вони істинні за їх формою, безвідносно до значення їх термінів. Ми можемо замінити всі терміни іншими, а положення проте залишаться істинними. Найвідомішим прикладом є логічний силогізм: якщо Сократ - людина, а всі люди смертні, то і Сократ смертний. Це твердження залишається істинним, навіть якщо ми замінимо слова «Сократ», «людина», «смертний» іншими термінами. Наприклад, якщо лисиця - ссавець * а всі ссавці - хребетні, то і лисиця - хребетна. Всі положення геометрії в кінцевому рахунку відносяться до цього ж роду. В елементарних підручниках положення геометрії не є чисто логічними побудовами. Вони являють собою суміш логічних і емпіричних положень. Поняття конгруентності, наприклад, визначається за допомогою посилання на фізичну операцію переміщення твердих тіл. Однак ми з можемо звернути евклидову геометрію шляхом переформулювання її аксіом в систему чисто логічних положень. Ми обговоримо це в § 8. Поки ж приймемо за дане, що така «формалізація геометрії» можлива, і поставимо пряме запитання: яка геометрія істинна - евклидова або неевклідова? З точки зору математики ми не можемо відповісти на це питання. За допомогою математики, як ми бачили, ми можемо тільки довести, що якщо ми допустимо аксіому Евкліда, то слід, що подібні трикутники існують, а якщо ми її відкинемо, то випливає, що вони не існують. Однак ми не можемо вирішити, «чи істинно» твердження, що існують подібні трикутники, тобто «істинна чи евклідова геометрія». З іншого боку, ми звикли застосовувати геометрію до фізичних об'єктів. Ми відзначили, що всі отримані досі результати правдиві, незважаючи на «значення» геометричних термінів. Для того щоб дістатися до застосування геометрії до фізичних трикутниках, ми повинні побудувати геометрію іншого роду - таку, в якій враховуватимуться значення термінів, на зразок таких, як «точка» і «пряма лінія». Рудольф Кар-нап у введенні до своєї книги «Формалізація логіки» описав «дві тенденції в сучасній логіці». «Одна тенденція підкреслює форму, логічну структуру пропозицій і висновків, відносини між знаками і абстракціями, у відволіканні їх значення. Інша - підкреслює ті самі фактори, які виключає перше: значення, інтерпретацію, стосунки ... сумісність чи несумісність, засновані на значенні, відмінність між необхідною і випадкової істинністю і т. д. Ці дві тенденції, настільки ж давні, як і сама логіка, і виступали під безліччю найменувань. Вживаючи сучасні терміни, ми можемо назвати їх синтаксичної та семантичної тенденцією відповідно » Робилися часті спроби побудувати геометрію, суворо дотримуючись правил, не як логічну дисципліну, а як науку, яка мала б справу з фізичними тілами, наприклад дерев'яними і залізними трикутниками. Чудова спроба такого роду була зроблена видатним англійським математиком Клиффордом, який зробив набагато більше, ніж більшість математиків, для об'єднання різних галузей математики в нашу загальну систему знання. Кліффорд писав в 1875 році: «Геометрія є фізична наука. Вона має справу з розмірами, формами речей і відстанями між ними ... Ми будемо вивчати науку про форми речей і відстанях між ними, виходячи з одного або двох дуже простих і ясних спостережень. «Речі», про які тут говорить Кліффорд, є, очевидно, тим, що у фізиці називається «жорсткими тілами». Він припускає, що критерій, що вживається для того, щоб переконатися, що «річ» жорстка, є критерій, зазвичай вживається в експериментальній фізиці. «Розмір» і «форма» речі вимірюються за допомогою стандартного метра, що знаходиться в Парижі, або стандартного фути, що знаходиться у Вашингтоні, з внесенням поправок, які пропонуються законами. У такому випадку за допомогою цих стандартів можуть бути виконані дві описаних Клиффордом спостереження. Кліффорд продовжував: «Застосовуючи ці [два] спостереження до трикутниками, ми можемо довести: а) дві прямі лінії не можуть перетнутися більше ніж в одній точці; Ь) якщо дві прямі проведені на площині так, що вони зовсім не перетинаються, то кути, які вони утворюють з будь-якої третьої лінією, яка їх перетинає, будуть рівні »18. У попередніх параграфах (4, 5 і 6) ми показали, що з існування подібних трикутників ми можемо вивести аксіому Евкліда про паралельні лінії, а з цієї аксіоми - теорему, що лінія, проведена так, що вона перетинає дві паралельні, утворює з обома рівні кути. У ході математичних доказів ми зробили ці висновки з «аксіом», не користуючись при цьому значеннями геометричних термінів. Кліффорд почав з узагальнених спостережень, які були, звичайно, твердженнями про фізичних фактах і виведеними з них висновками, що містять твердження про властивості фізичних трикутників. У наступних двох параграфах ми розглянемо суворе співвідношення між висновками, виведеними з аксіом без використання значень термінів, та висновками, виведеними з тверджень про фізичних фактах, де кожен термін позначає фізичний об'єкт. У науці XX століття «аксіоми» формулюються таким чином, що при виводі з них за-винятків не користуються жодною інформацією про значення термінів; встановивши цю повністю формалізовану систему аксіом, виводять висновку про фізичних трикутниках, використовуючи особливий метод координування чисто формальних, чисто логічних висновків з твердженнями про фізичні об'єкти.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 7. Справедливість пропозицій геометрії " |
||
|
||