| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
6. Неевклидова геометрія |
||
|
Тепер ми подивимося, чи можливо обійтися без аксіоми Евкліда. Чим вона повинна бути замінена? Якщо ми приймаємо евклидову аксіому, то побудована на цій аксіомі геометрія називається евклідової геометрією. Якщо ж ми відкинемо аксіому Евкліда і замінимо її іншою аксіомою, то побудована на цій аксіомі геометрія називається неевклідової. Якщо відкинути аксіому Евкліда, то будуть дві можливості. Ця аксіома стверджує, що пряма лінія, яка має хоча б найменші відхилення від g '(рис. 18), з тієї чи іншої сторони перетнеться з g. Одна можливість полягає в тому, що
може зовсім не бути такої лінії g ', яка ніколи не перетне g. Іншими словами, всі існуючі лінії перетинаються. Є також можливість і того, що якщо пряма лінія відхиляється від g 'з кожного боку на досить малий кут є, то вона не перетне g. Інакше кажучи, може бути «пучок» ліній - симетричних відносно g 'і обмежених лініями, що відхиляються від g' на кут г з кожного боку, - які не будуть перетинатися (рис. 19). Це другий тип неевклідової геометрії, і яку ми будемо тільки тут розглядати. Подивимося, як виглядав би світ, якби це твердження замінило аксіому Евкліда. Одне вірно: сума кутів трикутника не була б дорівнює 180 °. Перший тип неевклідової геометрії, який стверджує, що не існує паралельних ліній, відомий під ім'ям «геометрії Рімана»; в цій геометрії аксіома, що тільки одна пряма лінія з'єднує дві точки, також не має сили. Відповідно до іншої геометрії, побудованої російським математиком Лобачевським, а також, майже в той же час, угорцем Больяи, існує нескінченна кількість прямих ліній, що не перетинаються з g та ув'язнених в деякому h
вугіллі з прямою gf. Аксіома Евкліда замінюється аксіомою Лобачевського. Висновки, виведені з цієї аксіоми, можуть бути описані таким чином: накреслимо пряму лінію g і точку А поза g (рис. 20). Потім проведемо через А поперечну Л, нормальну
Рис. 20. По відношенню до g, і пряму лінію gf під кутом 90 ° до Л. Тоді й ^ ніколи не перетнуться. Якщо ми будемо проводити прямі лінії з точки А, весь час збільшуючи кути по відношенню до h, то спочатку ці лінії будуть перетинати лінію g. Зрештою, однак (якщо ми виключимо положення, що всі пря-мі лінії перетинаються один з одним, - «аксіому Рімана»), ми прийдемо до лінії, яка має якийсь граничний кут а * з поперечною h і є першою лінією, яка НЕ буде перетинати g. Таким чином, для геометрії Лобачевського характерно, що є не одна паралельна лінія, а дві. Всі лінії між ними - непересічні, тобто вони не перетинаються з g. Розглянемо, що являє собою сума кутів трикутника в геометрії Лобачевського. Якщо ми візьмемо лінію від А, що робить з лінією АВ кут, менший ніж а *, то ця лінія буде перетинатися з g. Ми можемо, однак, взяти лінію, яка робить кут а = а *-г] трохи менше, ніж а *. Така лінія перетне g під дуже малим кутом є - настільки малим, наскільки ми хочемо. Таким чином, ми бачимо, що існують трикутники, в яких сума кутів менше 180 °, оскільки а * <90 °, а є може бути як завгодно мало. Це зрозуміло з самого початку, якщо ми говоримо виходячи з існування дефекту. У трикутнику, який розглядався вище, дефект дорівнює 180 ° -90 ° - (а + 90 ° - (а + є). Беручи до уваги, що ми провели з А лінію, майже паралельну g, г і т [будуть нескінченно малими та ми можемо вважати дефект рівним позитивному числу (90 ° - а *). Яким чином ми знаємо, яке велике число (90 ° - а *)? Аксіома Лобачевського ясно не визначає кут а *, який , «паралельна лінія» утворює з цією лінією. Під назвою «аксіома Лобачів-ського * ЯЗ БАМом справі ховається нескінченне число аксіом. Лінія g1, паралельна g (рис. 21), може бути майже нормальної до АВ або може мати з АВ будь-який кут . Для будь-якої відстані точки А від g (AB) кут а * може мати довільне значення. Будь-якому значенню а * відповідає спеціальна форма аксіоми Лобачевського. Якщо нам потрібна геометрія, лише трохи відрізняється від евклідової, то ми вибираємо варіант, в якому дефект (90 ° - а *) малий; якщо А т * - В "--- _ SO'-a * 90 ° Рис. 22. ж інам потрібна сильно відрізняється від евклідової геометрія, ми вибираємо варіант, для якого дефект великий (рис. неевклідовим? Коли ми досліджуємо фізичні трикутники, зроблені з жорсткого матеріалу, начебто стали, ми ніколи не помічаємо, що сума кутів по вимірюванню менше 180 °, але це нічого не доводить. Всі виміряні трикутники можуть бути занадто малі для того, щоб можна було помітити дефект. Можна тільки сказати, що всі виміряні нами трикутники були «малими». Можна визначити поняття «малий трикутник» як малий у порівнянні з певним трикутником, прийнятим за одиницю виміру. В якості останнього можна обрати трикутник, в якому дефект дорівнює 1 °. Замість того щоб задавати значення кута а *, можна також визначити конкретний вид геометрії Лобачевського, задаючи площа «одиничного трикутника». Якщо розмір останнього порівняти з розмірами Галактики, то всі фізичні трикутники будуть «малими» і ми не помітимо дефекту ні в одному з вимірюваних нами трикутників. Чим більше площа трикутника, порівнюваного з «одиничним трикутником», тим більше буде дефект. Тому сума кутів у великому трикутнику менше, ніж у невеликому. Трикутник з площею, дуже маленькою в порівнянні з площею «одиничного трикутника», має дефект, майже рівний нулю, а суму кутів, майже рівну 180 °; із збільшенням дефекту сума кутів зменшується. Якщо ми маємо малий трикутник, подібний великому трикутнику, то обидва мають одну і ту ж суму кутів, рівну 180 °. Оскільки в геометрії Лобачевського великі трикутники мають великі дефекти, ніж малі трикутники, остільки великий і малий трикутники ніколи не можуть бути подібними. Тому не існують трикутники однієї і тієї ж форми, але різних розмірів. Звідси легко зробити висновок, що не буває геометричних фігур-якого роду, які мали б однакову форму, але різні розміри. Через форму визначається і величина. Трикутник з сумою кутів, що наближається до 180 °, можливий тільки в тому випадку, якщо він має дуже маленьку величину. |
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "6. Неевклидова геометрія " |
||
|
||