| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
ВСТУП |
||
|
Філософія довгий час асоціювалася з математикою, і було б дуже прикро ігнорувати це важливе історичне обставина. Справа в тому, що багато філософські аргументи, використовувані в тих областях філософії, які мають додатки, в значній мірі «прокатані» при обговоренні тих проблем, які так і чи інакше пов'язані з філософією математики. Наприклад, обговорення таких фундаментальних етичних проблем, як Форми Справедливості, Благо та інших категорій сходить до проблеми існування абстрактних об'єктів, яка найбільш успішно і конструктивно обговорювалася і обговорюється у все тій же філософії математики. З іншого боку, написання таких книг і апеляція через них до потенційного читача завжди проблематичні, оскільки сама область досліджень просто найчастіше незрозуміла. Всі знають про математику, деякі знають про філософію, але не так багато тих, хто має уявлення про філософію математики. Відомий філософ математики П. Медді, каже, що її визнання у суспільстві освічених людей у тому, що вона є філософом математики, призводить до деякого замішання - всім більш-менш зрозуміло, що таке математика, менш ясно, що таке філософія, але філософія математики ? .. Відомо, що самі працюючі математики спокійно обходяться без філософії (крім, може бути, деяких видатних, яких турбують вічні філософські питання). Відомо також, 6 що переважна кількість філософів перебувають у щасливому невіданні щодо тих проблем, які обговорюються в математиці. Так що ці проблеми можуть стосуватися тільки дуже вузького кола читачів. Ця ситуація цілком зрозуміла і на буденному рівні. Для того щоб читати роботи з філософії математики, потрібне знання не тільки філософії, а й деяке уявлення про математику, зокрема, про математичній логіці, а також здатність стежити за математичної аргументацією. Звичайному читачеві філософських книг будуть незрозумілі математичні та логічні деталі, працюючому математику буде незрозуміла метушня навколо «тривіальних» філософських положень. Необхідність розбиратися в технічних деталях представляє одну з причин того, що часто філософії математики відмовляють у статусі справжньої філософії, яка повинна займатися «реальними» і «життєвими» проблемами. Так, математик Ж-.К. Рота стверджує, що «... філософи цього століття більше, ніж коли-небудь страждали від диктату визначеності. Ілюзія остаточної відповіді, який не зміг бути отриманий впродовж двох з половиною тисяч років у Західній філософії, обернулася в нинішньому столітті рабської імітацією математики »4. Далі він каже: «Снобіческое розкидання по сторінках філософських статей символів просто дивує математиків. Ситуацію можна уподібнити тому, як якби ви розплачувалися в магазині доларами з настільної гри Монополія »5. Цьому думку протистоїть думка відомого філософа і математика X. Патнема: «Орди інтелектуалів скаржаться, що філософія стала занадто" технічною ", що вона" відреклася "від реальних проблем, і т.п. ... Але сумним фактом залишається те, що добротна філософія є і завжди була важка, і що набагато легше вивчити імена небагатьох філософів, ніж прочитати їх книги. Той, хто знаходить філософію занадто "технічної" сьогодні, не зміг би знайти часу або бажання встежити за довгим ланцюгом аргументів Сократа, або ж прочитати одну з Критик Канта »6. Чим займається філософія математики? Насамперед, такими фундаментальними питаннями, як «Що таке математика?», «Якого роду знанням є математичне знання?», «Яка специфіка математичних об'єктів?» Всі ці питання традиційні для філософії математики, але зараз на перший план виходить питання про те, яким чином люди, з їх обмеженим чуттєвим баченням світу, входять в контакт з ідеальними об'єктами математики і отримують знання математичних істин про ці об'єкти. Заздалегідь потрібно відзначити важливий факт з приводу того, як розуміється філософія математики різними науковими спільнотами. Філософи і математики, зайняті підставами математики, мають одну точку зору, а працюючі математики - іншу. Філософи зацікавлені в пошуку філософських категорій, які дозволили б пояснити природу математичних об'єктів, тобто відкрити щось більше про математичних об'єктах, ніж це робиться в математичних теоріях. Для цієї мети співвідносяться математичні об'єкти, наприклад безлічі, і філософські категорії, наприклад універсалії. Математичні твердження про об'єкти математики аналізуються в термінах теорії пізнання, а математичні теорії оцінюються як свідчення на користь тієї чи іншої філософської концепції. При такому підході здійснюється зведення проблем про природу специфічних математичних об'єктів до загальнофілософським проблемам. Працюючі математики зовсім по-іншому розглядають проблеми підстав математики, не рахуючи важливими ті питання, які вважаються такими філософами. Тут погляди на природу математичних тверджень і математичних об'єктів у найсильнішій мірою залежать від ступеня інтересу математиків до теоретико-пізнавальним проблемам. Слід визнати, що існують дві орієнтації, які можна назвати орієнтацією працюючого математика та орієнтацією філософського логіка. Обидві позиції чудово охарактеризовано Р. Мартіном: «Увага математика прикута переважно до математичної структурі, і його інтелектуальний захват викликається відкриттям того, що дана теорія проявляє такі-то і такі-то структури, або відкриттям , що одна структура "моделюється" інший, або відкриттям деяких інших структур, і показом того, як вони співвідносяться з уже вивченими структурами ... Математик задоволений роботою з деякими "сутностями" або "об'єктами" ("множинами", "числами", "функціями", "просторами", "точками"), і він не досліджує їх внутрішній характер або онтологічний статус. Філософський логік, з іншого боку, більш чутливий до онтології і буде особливо зацікавлений в тому, якого роду сутностями вони є насправді ... Він не задовольнив ряется тим простим фактом, що такі-то і такі-то сутності проявляють таку-то й таку-то математичну структуру. Він хотів більш глибоко дослідити, що це за суті і як вони співвідносяться з іншими сутностями ... Він також хотів би знати, чи виступають ці сутності як sui generis, або ж вони в певному сенсі зводяться (або побудовані в термінах) до інших, ймовірно, більш фундаментальним »7. Враховуючи все вищесказане, ясно, що ця книга звернена до філософів, і тільки до них. Справа в тому, що багато речей, що здаються тривіальними математикам, в найсильнішої ступеня спантеличують філософів. Як типовий приклад можна вказати теорію трансфінітних чисел Кантора. У звичайному підручнику з математики, де є глава з викладом теорії множин, основні результати цієї теорії викладаються на декількох сторінках. Тим часом філософам відомо, що при створенні теорії Кантор величезне значення надавав метафізичним і навіть теологічним міркувань про нескінченність. Тому для філософа математики інтерес представляє, скажімо, логіка теорії Кантора, її генетична структура, і якщо вдатися до крайнощів, можна сказати, що філософа цікавить саме те, що зовсім не цікавить математика. Однак для розуміння проблем філософії математики та їх рішень потрібне знання деталей. Ступінь деталізації при викладі таких питань - справа тонка, і залежить від багатьох речей. Однією з тез цієї книги є те, що часто неувага до цих деталей призводить до істотним спотворень інтерпретації формалізмів, і більше того, до необгрунтованих філософським висновків. Тому технічні деталі наводяться, здебільшого, там, де слід побоюватися саме такої напасті. У книзі уникали «побиті» питання філософії математики, зокрема, обговорення тез класичних шкіл філософії математики XX в., А саме логіцизм, інтуіціонізм, формалізм, бо за висловом X. Патнема «нічого з цього вже, не працює». Більше того, зміст книги практично обмежена обговоренням проблем, що концентруються навколо двох тем. Це теорія множин Кантора та її аксиоматизация, а також теорема Левенгейма - Сколема. Хоча обидві теми добре відомі, в традиційних викладах філософії математики вони часто избегаются, поступаючись місцем таким темам, як парадокси теорії множин і способи їх вирішення в логіцізма, інтуїционізма і формалізмі, теорема Геделя про неповноту, формалізація математики та ін Тим часом показово, що теорія Кантора, яка часто розглядається в традиційних курсах лише як привід для розмови про парадокси, зовсім по-іншому розглядалася тими ж класиками в області підстав математики. Б. Рассел, який одночасно з Е. Цермело запропонував вихід із парадоксів теорії множин (Рассел запропонував в 1908 р. теорію типів, а Цермело в тому ж році - аксіоматичну теорію множин), вже після публікації Principia Mathematica, в роботі Наше пізнання зовнішнього світу 1914 значительнейшее місце приділив тим наслідкам, які теорія Кантора мала для філософії. Що стосується теореми Левенгейма - Сколе-ма, то вона взагалі обійдена увагою філософів, в той час як вона породила останнім часом ціле філософський напрямок, а саме так званий внутрішній реалізм X. Патнема, напрямок, який мав великий вплив на дискусії про природу реальності та її «схоплюванні» мовою. Нарешті, ще одне міркування, яким керувався автор книги, уникаючи «побитих» тим начебто парадоксів, їх значимості для ситуації в математиці. Поворот у філософії математики скоріше до математичної практиці, а не традиційним філософським програмами, знаменує собою натуралізацію цієї дисципліни. Поворот цей простежує-ся дуже зримо на роботах одного з провідних фахівців у галузі основ математики П. Медді. Якщо в книзі Математичний реалізм10, опублікованій в 1990 р., вона дотримується реалізму, вважаючи його домінуючим поглядом у філософії математики, то в новій книзі Натуралізм в математіке11 1997 вона відмовляється від філософських тенет і сповідує принцип «максимізації», згідно з яким математик може постулювати будь-які види об'єктів і вивчати їх, не запитуючи, «а чи існують ці об'єкти?». Так що стратегія, прийнята в нашій книзі з філософії математики, і яка полягає в тому, що ми уникаємо традиційних питань про істину математичних тверджень і про існування математичних об'єктів, має свої резони. Тим часом коротке зведення цього традиційного матеріалу можна знайти в деяких прелюдією до глав; цей нетрадиційний спосіб підношення матеріалу також має свої резони. З філософської точки зору філософія математики зазнала певною мірою «епістемологічний поворот», що нагадує «лінгвістичний» поворот в аналітичній філософії напівстоліттям раніше. Значною мірою саме ці тенденції будуть фоновими при розгляді різного роду проблем. В цілому це книга про взаємини математики та філософії (або математиків і філософів). На цей рахунок є самі різні думки. Цехові інтереси і переваги проявляються тут з дивовижним нерозумінням протилежної сторони. Так, з приводу Б. Рассела з його логіцістской програмою нині говорять, що врешті-решт Б. Рассел був все-таки філософом, а з приводу Я. Брауера говорять про його філософських «дивацтвах». Про захоплення К. Геделя останні чотири десятки років його життя філософією І. Канта і Е. Гуссерля говорять зі змішаним почуттям поваги до досягнень логіка і здивування з приводу дивацтв генія. Цей перелік можна продовжувати досить довго, і щоразу ми стикаємося з тим, що чудово висловив Ж.-К. Рота в статті Математика і філософія: історія взаємного непоніманія12. Рота говорить про те, що математика має справу, по-перше, з фактами, як і будь-яка інша наука. По-друге, математика має справу з доказами, які кодифицируются в аксіоматичних системах. У цьому, за його висловом, проявляється подвійне життя математики, цілком успішне життя, яка викликала заздрість філософії. По-перше, філософія має справу зі способами опису світу, а по-друге, філософія спирається на аргументацію. Але з приводу методів аргументації серед філософів ніколи не було згоди. «Відносини філософів з богинею Розуму завжди були ближче до вимушеного співжиття, ніж до романтичного зв'язку між богинею Розуму і математиками» 13. Спроба усунути неясності у філософській аргументації за допомогою математики давно перетворилася на потужну індустрію. Однак по ходу того, як основна «продуктивна сила» цієї індустрії - математична логіка - ставала все більш математичною дисципліною, стало закрадатися сумнів у тому, наскільки формальний апарат логіки, а також математичні теореми можуть бути правильно інтерпретовані філософськи. Саме цим питанням і присвячена ця книга. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 1 тематика не повинна, по завіреннях гуманістів, підкорятися диктату платонізму. Вона повинна жити своїм власним життям, підкоряючись лише встановленими самою правилам. З деякими помітними гуманістичними винятками (серед них Аристотель, Локк, Віт-тгенштейн, Лакатос, Кітчер) домінуюча тенденція включає традиційну і сучасну філософію математики. Р. Херш. Що ж таке математика, насправді? 14 |
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "ВСТУП" |
||
|
||