1. Філософські програми в математиці

Філософія математики як окрема галузь філософії народилася сто років тому. Дослідження в області підстав математики і математичної логіки, розпочаті в кінці XIX? - Початку XX в., Були пов'язані з грандіозними філософськими програмами, а саме з логіцізма, інтуїционізма і формалізмом.

З тих пір традиційним описом проблем філософії математики стало опис того стану підстав математики і її філософії, яке стало природним завершенням спроб подолати кризу в підставах математики, який розвинувся на початку XX в. Цей вже майже хрестоматійний матеріал добре відомий читачеві навіть у найпростішому нетехнічних піднесенні, наприклад, через чудову книгу М. Клайна15, не кажучи вже про масу більш технічних ізложеній16. Існує багато інших книг, в яких викладається матеріал, в тій чи іншій мірі пов'язаний з досягненнями в математичній логіці і підставах математики, і у всіх цих книгах фігурують одні й ті ж імена і одні й ті ж проблеми - логіцизм Г. Фреге і Б. Рассела, інтуіціонізм Я. Брауера і А. Рейтингу, формалізм Д. Гільберта і Дж. фон Неймана.

Спочатку ця зв'язок філософії і математики здавалася необхідною, але з часом зростало розчарування в здійсненності цих програм, і до 1960-м рокам в настроях математиків і логіків стала превалювати втому. У цьому відношенні дуже симптоматично зауваження А. Мостовського в роботі Тридцять років досліджень в області підстав математики: «Філософські мети трьох шкіл не були досягнуті, і, судячи з усього, ми не ближче до повного розуміння математики, ніж засновники цих шкіл» 17. Багато дослідників вважають, що самі програми не мають і не мали прямого відношення до підстав математики і математичної логіки, а виникнення програм зобов'язане філософським талантам і інтересам засновників шкіл. Більше того, інші дослідники вважають, що самі філософські програми з'явилися в результаті випадкових історичних збігів, зокрема того, що такі люди, як Рассел, будучи однаково компетентними в математиці і філософії, зв'язали теорію типів як математичну програму з логіцізма як філософської програмою. Принаймні, серед філософів подібного роду зв'язок закріпилася надовго, і знадобилося значний час для того щоб відчути необхідність у ревізії таких «помилок». Іншим прикладом може служити інтуіціонізм Брауера, філософські підстави якого здаються дуже далекими від конструктивістській математики.

Певна стагнація в цій галузі філософії може бути оцінена в порівнянні з філософією науки. У 30-40-х роках XX в. філософія науки прямувала логічними позитивістами, вплив яких ослаб лише з появою нових ідей про вирішальну роль наукової практики та історичних розвідок у науці. Р. Херш говорить, що «філософія математики запізнилася зі своїми Поппе-ром, Куном, Лакатосом і Фейерабендом. Вона запізнилася з аналізом

1. ФІЛОСОФСЬКІ ПРОГРАМИ В МАТЕМАТИКИ

того, що роблять самі математики, і з відповідними філософськими розглядами »19.

У цитованому вище уривку А. Мостовський продовжує вже з великим оптимізмом: «Всупереч цьому, не можна заперечувати, що активність цих шкіл принесла величезне число нових важливих відкриттів, які поглибили наше пізнання математики і її ставлення до логіки . Як часто трапляється, побічні продукти виявилися важливішими, ніж вихідні цілі засновників трьох шкіл ». Але можливо, саме ця обставина стала причиною відсутності прогресу в філософії математики, тому що проблеми, колишні власне філософськими, перестали бути такими, перейшовши в розряд «технічних», чисто математичних або логічних. Бути може, дослідження в галузі філософії математики, точніше, підстав математики, дійсно повинні бути найвищою мірою технічними дослідженнями, а сама поява традиційних класичних напрямків було зобов'язане того, що «батьки-засновники» зуміли співвіднести (бути може, і не зовсім обгрунтовано) математичні та філософські проблеми, як це зробив Рассел, пов'язавши пошуки порятунку від парадоксів з логіцізма. До речі, такого роду процеси відбувалися безперервно, наприклад, в 60-і роки XX в. одним з аспектів такої технізації філософії з'явилася алге-зація логіки, пов'язана з розвитком теорії моделей, коли на подив філософів, всеща вважали логіку своєю вотчиною, багато її положення стали алгебраїчними теоремами.

Сучасними свідоцтвами втоми і невдоволення можуть служити визнання двох провідних філософів математики. Нещодавно видатний філософ і математик X. Патнем опублікував статтю з характерною назвою Чому нічого з цього не працює (маючи на увазі традиційно головні напрямки у філософії математики). Далі, видатний логік Я. Хінтікка зазначає, що «подібно Дерріда, я вірю, що сучасна філософія ... дозріла для деконструкції »20. Немає жодних сумнівів, яку частину сучасної філософії Хінтікка хоче деконструювати, якщо мати на увазі що вийшла роком раніше його книгу Принципи математики ревізією-рованние1, назва якої, за його визнанням, є алюзія до роботи Рассела Принципи математики 1903 р., в якій викладено багато програмні ідеї в області підстав математики.

Відомий математик Ж-.К. Рота йде ще далі і дає пояснення тому факту, що філософія пішла по невірному шляху взагалі, асоціювати себе з математикою. Філософія, подібно математиці, спирається на аргументацію, оскільки обидві науки використовують логіку. Але на відміну від загальноприйнятих стандартів у математиків стандарти аргументації у філософів виявилися дуже різними. Рота стверджує, що висновки філософів часто диктуються емоціями, і розум в цих висновках відіграє лише допоміжну роль, а пошуки філософією остаточної відповіді на свої питання вилилися в рабську імітацію математики. Апеляція до математичної логіки, яка і представляє собою головну основу філософії математики, виявилася неспроможною, тому що логіка більше не є частиною філософії. Математична логіка є процвітаючою частиною математики, і вона припинила свої зв'язки з основами математики. «Ціною допущення логіки в математичну область було гігієнічне очищення навіть від слідів філософії» 21.

Іншими словами, філософія математики опинилася в глибокій кризі, починаючи з 50-60-х років XX в., Коли були вичерпані ресурси традиційних підходів до розуміння основ математики. І хоча традиційне вручення проблем цієї галузі філософських досліджень спиралося (та й спирається зараз) на три великих напрямки, існує глибокий скепсис щодо можливостей самої дисципліни. І проте, на думку ряду авторитетних дослідників, дисципліна вижила, оскільки старі проблеми були замінені новимі22.

Інформація, релевантна " 1. Філософські програми в математиці "

1. Передмова
   До предмета філософії математики прийнято відносити питання, що стосуються обгрунтування математики як науки. XX століття було унікальним часом, коли проблема обгрунтування математики вважалася однією з найбільш пріоритетних, і кращі математичні уми витратили чимало часу на пошуки її адекватного рішення. У результаті були отримані фундаментальні результати, що мають видатне філософське значення.
   
2. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002
   
   
3. Несуперечність логістичних систем
   Логіцістскій підхід до обгрунтування математики виникає з ідеї сводимости математики до логіки, яка була сформульована ще Лейбніцем і отримала підтримку в розвитку методів математичної логіки в XIX столітті. Логіцизм виходить з припущення, що всі поняття математики можуть бути визначені на основі понять, що відносяться до логіки, і всі теореми математики можуть бути представлені у вигляді
   
4. Асмус В.Ф.. Проблема інтуїції у філософії та математики. (Нарис історії: XVII - початок XX в.) М.: Думка - 315 с., 1965
   
   
5. Реалізація кантівського інтуїционізма
   Основні принципи інтуїционістського обгрунтування математики, в тому вигляді, як вони були намічені Брауером, можуть бути сформульовані в наступних трьох положеннях: 1. Вихідні математичні об'єкти визнаються як існуючих тільки на основі безпосередньої інтуїції. 2. Нові об'єкти можуть бути введені на основі вихідних тільки за допомогою інтуїтивно ясною конструкції. 3.
   
6. Істина і несуперечливість
   Проведений аналіз сутності математичного докази і витоків надійності класичної логіки дозволяє нам перейти до розгляду проблеми обгрунтування математики, яка в своїй основі складається в обгрунтуванні несуперечності математичних теорій . Перш за все слід розділити математичний і філософський підходи до проблеми, що розрізняються за своїми цілями і засобам. Математичний
   
7. Шляхи розширення метатеоріі
   Ми обговоримо тепер можливості формалістской програми обгрунтування математики, яка була запропонована Д. Гильбертом. Метою обгрунтування математики є тут не редукція до логіки або до арифметики, а обгрунтування несуперечності кожної теорії окремо. Оскільки ми прийняли, що таке розуміння обгрунтування математики є найбільш відповідним суті проблеми, то мова повинна йти
   
8. IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
   У світлі наших попередніх міркувань зрозуміло, чому вкрай важко уникнути довільності при проведенні кордону між логікою та математикою. На думку деяких мислителів, цей кордон слід провести між логікою першого порядку і логікоІ другого порядку. Однак, як ми тільки що бачили, це має те незручне наслідок, що поняття коректності і імплікації 52 виявляються що належать не
   
9. Передмова
   Строгість і непорушність тверджень математики завжди привертала філософів і філософськи мислячих вчених. Довгий час в математиці хотіли знайти ідеал теоретичної науки, канон для побудови всякого доказового (у тому числі і філософського) знання. Ідея математики як строгої науки знайшла вираження у філософських вченнях минулого: у Платона, Августина, Декарта, Лейбніца, Канта. Проте вже з
   
10. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
    На початку 20-х рр.. XX в. німецький математик Давид Гільберт (1862-1943), підштовхуваний власними дослідженнями, а також суперечками з логицистами і інтуіціоністи, запропонував нову програму обгрунтування класичної математики, що отримала назву програма Гільберта. Інші назви цієї програми, прийняті в літературі, - теорія докази, метаматематика. Її метою були формалізація всієї
    
11. Математична програма
    Греки вперше стали строго виводити одні математичні положення з інших. Математика була зведена ними на щабель чистою, абстрактно-теоретичної науки. Історики науки пов'язують становлення предмета теоретичної математики (арифметики і геометрії) та формулювання дедуктивного методу докази, що припускає систематичну зв'язок математичних висловлювань, строгий перехід від одного
    
12. 3 - Природа обгрунтовуючих шару
    Онтологически справжня математика займає особливе місце в структурі математики і в тому сенсі, що вона становить останню інстанцію надійності математичного мислення. Аналізуючи логіку математичного докази, ми з'ясували, що доказ, до якої б галузі математики воно не ставилося, приймається як надійного тільки в тому випадку, якщо його кроки виправдані в сфері
    
13. 42. Предполаганіе і передування
    Розглянуте вище поняття предполаганія теорії пов'язано з більш слабким поняттям передування тео-7іі, коротко змальованого Черчем До Так, логіка передує математики в слабкому сенсі, оскільки вона за «* ає лінгвістичні рамки для математичних рассу-кденій і контролює математичні висновки. Однак-раси (з дозволу) логіцізма-логіка не передує математики в сильному сенсі, то
    
14. 2. Зведення напрямів у філософії математики
    Дійсно, не все так безнадійно, і у вже цитованій вище роботі X. Патнем дає короткий перелік застарілих і нових поглядів у філософії математики: логіцизм (математика є логіка в чужому вбранні); 2. ЗВЕДЕННЯ НАПРЯМІВ У ФІЛОСОФІЇ МАТЕМАТИКИ логічний позитивізм (математичні істини суть істини завдяки правилам мови); формалізм (теорія множин і неконструктивна
    
15. 6. Принципи онтологічного обгрунтування математики
      Поняття онтологічної істинності дозволяє нам намітити нову методологію обгрунтування математики, що відрізняється від існуючої більшою спільністю і послідовністю аргументації. Програми обгрунтування математики відрізняються один від одного об-грунтовної завданням (метою обгрунтовуючих дослідження), вибором обгрунтовуючих шару і прийнятною логікою. Завдання методології обгрунтування