Аналіз ставлення арифметики до логіки

Концепція класів Фреге відрізняється від їх сучасного тлумачення тим, що класи визначаються ним як обсяги понять. Фреге спеціально підкреслює, що він використовує поняття класу так, як це прийнято в логіці, а не в математіке45. Незвична для математиків подібна інтерпретація класів знадобилася Фреге для введення логічних об'єктів, необхідних для обгрунтування арифметики. «Числа - об'єкти, а в логіці вихідними об'єктами є тільки два - істина і брехня. Нашою першою метою стало тому отримання об'єктів з понять, т . тобто визначення обсягів понять або класів ... Труднощі, які виникають при використанні класів, зникають, якщо ми маємо справу тільки з об'єктами, поняттями і відносинами, а це - можливість фундаментальної частини логіки. Клас - щось похідне, тоді як в понятті , як я його розумію, ми маємо щось вихідне »46.

Поняття - незалежні від розуму і мови сутності. Отже, об'єкти, пов'язані з ними, також будуть незалежними, що й потрібно для обгрунтування незалежності чисел . Виникає проблема бездоганного введення логічних об'єктів.

Фреге вважає, що вводити логічні об'єкти можна, якщо сформульовані умови рівності (взаємно однозначної відповідності) для них. Для класів це ставлення визначається звичайним способом за допомогою співвіднесення елементів кожного з них з кожним елементом інших. Для понять воно формулюється як вимога тотожності: (x) (Fx = Gx). В якості аксіоми, що об'єднує умови взаємно однозначного ставлення між класами і рівності (тотожності) понять, Фреге формулює наступний прінціп47: (V)

(xFx = у Gy) = (х) (Яг = Gx). Аксіома V читається так: класи, що представляють обсяги понять F і G, рівні один одному (взаємно однозначно співвідносяться один з одним) тоді і тільки тоді, коли ці поняття тотожні.

Належність елементів класу також редукується до аналізу пов'язаного з ним поняття за допомогою принципу (M)

а є xFx = (EG) [(x) (Gx = Fx) & Gal Відношення належності об'єкта класу читається так: об'єкт а є елементом класу xFx тоді і тільки тоді, коли існує щонайменше одна властивість G таке, що а виконує це властивість, тобто істинно Ga, і кожен елемент класу xFx виконує властивість F тоді і тільки тоді, коли він виконує властивість G.

ббльшая частина питань про класи за допомогою принципів (V) і (М) зводиться до питання про поняття . В системі Фреге принцип (М) представляє дефініціальное наслідок принципу (V). Отже, однієї лише аксіоми (V) достатньо для відомості теорії класів до логіки понять і тим самим просто до логіки.

Аксіома (V) - тотожність. Отже, вона може бути представлена у вигляді кон'юнкції наступних двох імплікацій:

(Va) (Vb)

(z) (Fz = Gz) z) xFx = уGy; xFx = у Gy о (z) (Fz ~ Gz).

Перша з них не викликає сумнівів, так як визначає умову рівності обсягів понять. Друга сумнівна, так як стверджує, що між множинами та об'єктами існує відношення однозначної відповідності - рівність класів однозначно обумовлює, що всі належні їм об'єкти, виконують поняття F, виконують і поняття G.

Більш істотне заперечення проти редукції класів до логіки понять являє парадокс Рассела, що стосується також і аксіоми (V). Рассел , зокрема, повідомляє у своєму знаменитому листі до Фреге: «Уже півтора року, як я познайомився з Вашими" Основними законами арифметики ", але тільки тепер мені вдалося знайти час для того, щоб здійснити свій намір і ретельно вивчити Ваші роботи. Я виявив, що повністю згоден з Вами у всіх головних питаннях, зокрема, в тому, що Ви повністю відкидаєте в логіці будь-які психологічні моменти, а також у Вашій високій оцінці записи в поняттях для підстав математики і формальної логіки, які, втім, навряд Чи можна розділити. У багатьох окремих питаннях я знаходжу у Вас аналіз, розрізнення та дефініції, які марно було б шукати в інших логіків. Зокрема, в тому, що стосується функції (параграф 9 Вашого "Числення понять") * я самостійно прийшов до поглядів, що збігається з Вашими навіть у деталях. Тільки в одному пункті я зустрівся з трудністю. Ви стверджуєте (с. 17), що функція може бути невизначеним (що відноситься до довільних об'єктам. - В. С) елементом. Я теж раніше так думав, але зараз цей погляд викликає у мене сумнів через наступного протиріччя. Нехай w є предикат «бути предикатом, яка не докладемо до самого собі ». Докладемо чи предикат w до самого себе? З будь-якої відповіді на це питання випливає його протилежність. Тому ми повинні укласти, що н> не їсти предикат. Точно так само не сущест-яття класу (як цілісного утворення) тих класів, які - як цілісні освіти - не містять самих себе. Звідси я укладаю, що за певних умов поняттю класу не відповідає чого-небудь цілісного »48.

Лист Рассела справило на Фреге гнітюче враження. У відповідному листі Расселу Фреге повідомляє: «Ваше відкриття протиріччя ввергло мене в сильний шок, близький до повного сум'яття, бо воно похитнуло базис, на якому я мав намір побудувати арифметику ... Я повинен поміркувати над цією темою далі. Все виявилося набагато серйозніше, оскільки з втратою аксіоми V не тільки підстави моєї арифметики, а й єдино можливі підстави арифметики, по всій видимості, валять ... У кожному разі Ваше відкриття надзвичайно цінно і, можливо, призведе до значного прогресу в логіці, яким би небажаним воно не здавалося на перший погляд » 49.

У Післямові до другого тому «Основних законів арифметики», написаному у зв'язку з виявленим протиріччям, Фреге констатує: «Навряд чи є що-небудь більш небажане для автора наукового твору, чим виявлення по завершенні його роботи, що одна з основ спорудженого ним будівлі виявилася похитнулася. - У такий стан я потрапив, отримавши лист від пана Бертрана Рассела, коли друкування цього тому наближалося до кінця »68.

Причиною виник протиріччя Фреге назвав допущення, згідно з яким кожне поняття має обсяг, що виділяється за допомогою «принципу абстракції». «Ще й тепер, - каже Фреге в" Післямові ", - я не бачу, як можна науково обгрунтувати арифметику, трактувати числа як логічні предмети і вводити їх таким чином в розгляд, якщо неможливо - за певних умов хоча б - переходити від поняття до його об'єму.

Якщо відкинути імплікації (Vb), щоб уникнути парадоксу Рассела, тоді доведеться зробити висновок про те, що можливе існування равнообьемних понять, які застосовуються до різних об'єктів. Але це означало б повну відмову від інтерпретації обсягів понять як класів. Крім того, як показав аналіз цієї проблеми, дане рішення все одно не дає бажаних результатов51.

Труднощі, з якою зіткнувся Фреге, обумовлена частково його власними семантичними ідеями. Він вважав, що ми живемо в світі одних тільки об'єктів і понять (відносячи до останніх відносини і функції). Існує тільки одна модель для наших міркувань - світ, в якому ми живемо. Фреге приймає його за абсолютний універсум. Щодо кожного об'єкта а і довільного поняття F, вважає Фреге, справедливий закон виключеного третього: вираз Fa завжди або істинно, або хибно. Іншими словами, будь-який об'єкт в абсолютному универсуме повинен вважатися аргументом даного поняття. Об'єкт (конкретний або абстрактний) - будь-яка річ, що позначається одиничним (власним) ім'ям. Навпаки, поняття - будь-яка річ, що позначається загальним ім'ям. Коли допомогою одиничного терміна необхідно позначити об'єкт, то це можнр зробити, лише вказавши умови його рівності і тим самим нерівності з іншими об'єктами. Оскільки існує тільки одне безліч об'єктів, які можна порівнювати один з одним, то відношення рівності, а й пов'язана з його застосуванням операція квантіфіцірованія, також є універсальним, що належать до всіх об'єктів універсуму. Наприклад, універсально квантифікувати вираз «для всіх чисел п істинно F» має розшифровуватися як «для всіх об'єктів абсолютного універсуму х, якщо х є число, тоді істинно Fx». Необмежена квантификация і стала семантичної причиною парадоксальності аксіоми (V). Останнім часом з'явилися свідчення, що найважливіші результати Фреге, пов'язані з виведенням аксіом Пеано, за допомогою яких доводяться всі теореми арифметики, незалежні від аксіоми (V) 52. Як виявилося, для їх докази досить так званого принципу Юма (число речей, що виконують поняття F, дорівнює числу речей, що виконують поняття G, якщо і тільки якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність), прийнятого також і Фреге, а цей принцип непротиворечив. Сказане дозволяє укласти про правильність напрямку, обраного Фреге, і якби не шок, випробуваний їм від повідомлення Рассела, він, поза всяким сумнівом, продовжив би розпочату роботу в колишньому напрямі і знайшов би правильне рішення, як виявилося, цілком приватної проблеми.

Інформація, релевантна " Аналіз ставлення арифметики до логіки "

1. 1. Витяги з теорії імен і понять, необхідні для обговорення проблем наукової метафізики
   аналізу розвиваю також окремі положення цієї теорії. Витяги та уточнення здійснюються щодо концепції одиничних і загальних імен, а також понять і їх визначень. Почнемо з характеристики одиничних імен. Під одиничними іменами природної мови розуміються слова або словосполучення цієї мови, що виділяють зі світу речей окремі предмети або шляхом їх прямого називання, або
   
2. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
   аналізу аргументації Канта. Слідуючи порівняльному методу Канта, я проаналізую і зіставлені методи, застосовувані в математичному та метафізичному знанні. Аналіз показує, що предметна область елементарної математики, як і метафізика, містить не тільки чуттєві, а й надчуттєві об'єкти (сутності). Розум при цьому, виробляючи судження про них, не виходить за межі можливого
   
3. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
   аналізу виявляється неможливим. Цей чудовий результат, продовжує він, є наслідком ще більш вражаючою теореми, також доведеною Геделем. Значення останньої теореми (званої зазвичай теоремою Геделя про неповноту) виключно велике. Вона показала нездійсненність програми Гільберта в її повному вигляді, так як стверджує по суті, що будь-яка несуперечлива теорія,
   
4. 5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
   аналіз функціонального призначення віри і знання в механізмі поведінки людини. Віра і знання, приводячи в дію волю людини в поведінковому процесі, виконують функцію орієнтації в світі, планування його життєвих устремлінь. Виявляється, однак, що орієнтація людини у світі на основі віри зручніша, ніж орієнтація на основі знання. Вдаючись до технічних аналогій, можна сказати, що
   
5. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
   аналізу - функції, ^ операції над ними, властивості функцій і операцій. До названих операціями vjy додалися нові: граничний перехід, диференціювання, vP інтегрування. Предмет всіх розділів геометрії (які розрізняються тільки методами) - геометричні тіла і фігури. Таким чином, предметом математики в цілому є математичні структури, їх елементи, операції над ними і властивості
   
6. Теоретичні методи.
     аналіз і синтез, індукція і дедукція, ідеалізація, аналогія, формалізація, моделювання, методи гіпотез і аксіоматичний, системний метод і підхід та ін Сутність абстрагування полягає в уявному відволіканні від несуттєвих властивостей, відносин і зв'язків в об'єкті і між ними за одночасної фіксації окремих сторін, аспектів цих предметів у відповідності з цілями пізнання і завданнями
   
7. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
     аналізу, за допомогою яких доводиться несуперечливість всіх інших частин математики. - Несуперечність всієї математики не може бути дедуціровать з аксіом логіки або даних інтуїції. Всі спроби вивести математику з логіки виявилися неспроможні, тому що засновані на проблематичному уявленні про натуральному ряді чисел як завершеної сукупності. Ще більш проблематичними
   
8. 4. Філософія і медицина Нового часу
     аналізу, порівняння, експерименту. Процес узагальнення знань є індукція. Індукція виходить з відчуттів, з окремих фактів, поступово піднімаючись до самих загальних положень. Суть цього методу, на думку Бекона, утворює: 1) спостереження фактів, 2) їх систематизація і класифікація; 3) відсікання непотрібних фактів; 4) розкладання явища на складові частини; 5) перевірка фактів на досвіді і 6) узагальнення
   
9. Філософія метаматематики Гільберта
     аналізуватися тими ж методами, що і кінцеве. У цьому полягала суть рішення, що розробляється Гильбертом. «Але існує цілком задовільний шлях, по якому можна уникнути парадоксів, не змінюючи при цьому нашій науці. Ті точки зору, які служать для відкриття цього шляху, і ті побажання, які вказують нам напрямок, суть наступні: 1. Ми будемо дбайливо стежити за
   
10. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
      аналіз економіки Росії з марксистських позицій не завжди був вдалий через те, що росіяни-марксисти прагнули показати, як повинен був розвиватися капіталізм, а не як справа йшла в дійсності. Якраз народники-економісти 1880-х рр.., Особливо - Н. Ф. Так-ніельсон і В. П. Воронцов, дали реальну картину становища російського села, зубожіння селянства в результаті реформи 1861
    
11. 1.Економіка і соціальна структура
      аналіз найскладніших економічних, соціальних і політичних процесів доби, а на вишукування і обгрунтування об'єктивних і суб'єктивних передумов Жовтневої революції 1917 року. Тим самим ігнорувався багатофакторний підхід до історії, що призводило до деформації зображення її реальних процесів. Укорінився стереотип прирівнювання і підтягування Росії за рівнем капіталістичного розвитку до
    
12. 2. Революція 1905-1907 рр..
      аналізувати, оцінено в спеціальній літературі, а так само в опублікованих тисячах історичних документах та інших матеріалах. Крім фахівців-істориків про революцію писали публіцисти, письменники, журналісти, мемуаристи. Природно припустити, що історія цієї революції досить добре вивчена, об'єктивно проаналізована і оцінена. На жаль, це не зовсім так. Справа в тому, що деякі
    
13. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
      аналізу, вільного від політичної кон'юнктури та емоцій моменту. Між всіма трьома російськими революціями існувала глибока зв'язок. Найважливіший урок всіх революцій: вони відбуваються тоді, коли суспільство втрачає надію на еволюцію. Революція - це величезна ціна тільки за можливість прогресу. «Її виправдання, вища і безперечне в тому, що вона є єдиним способом руху вперед
    
14. 58. Поняття і призначення тлумачення права. Прийоми тлумачення права.
      аналізу тексту будь-якого нормативного акту. Таке тлумачення передбачає, перш за все, з'ясування значення окремих слів як в загальновживаним, так і в термінологічному сенсі (епідемія, епізоотія, рецидив і т.д.). Головне - зрозуміти всього слова, який вкладав у нього законодавець. При логічному тлумаченні закони логіки використовуються самостійно, окремо від інших способів.
    
15. Основні види злочинних організацій, принципи їх організації та механізми життєстійкості та пріоритетні напрямки протиправної діяльності в галузі економіки.
      аналіз. М., 1997. С. 287 - 288; Максимов С.В. Організована злочинність в Росії: Стан і прогноз розвитку / / Кримінальне право. 1998. N1. С. 9.3 - 94; Айдинян Н.Р, Гилинский Я.І. Функціональна теорії організації та організована злочинність / / Організована злочинність в Росії: Теорія і реальність. Спб "1996. С. 3-4. 36 Ісмагілов Р.Ф. Економіка і організована злочинність: Монографія.