Оцінка програми інтуїционізма і конструктивізму

Очевидно, що акцент на інтуїції був зроблений для введення в математичні побудови допущення потенційної нескінченності і виключення можливих парадоксів в підставі математики за допомогою відсікання мови і логіки як головних джерел, так сказати, за визначенням. Але яка ціна цього рішення?

Для інтуіціоністи математичне висловлювання у своїй сутності не є висловлюванням лс ^ гікі і навіть мовною конструкцією. Воно породжується не логічної, а інтуїтивною діяльністю інтелекту. Відповідно до прийнятої класифікації, для інтуіціоністи кожне математичне висловлювання синтетичне, так як його змістом виступає конструюються об'єкт, і одночасно апріорне, тому що представляє результат виключно розумової діяльності.

Звідси випливає гносеологічна проблема інтуїционістського обгрунтування математики. Істинність математичних суджень гарантується інтуїтивної самоочевидністю математичної побудови, оформленого у вигляді певного логіко-лінгвістичного звіту. Проте багато аналітиків відразу ж звернули увагу на те, що не всі інтуїционістському конструкції, особливо пов'язані з операцією логічного заперечення, є ін-туітівно самоочевіднимі137. Наприклад, такою якістю не володіє интуиционистская теорема «квадратний коло не існує». Ніяка інтуїція не здатна навіть в уяві виконати подібне побудова, що є обов'язковою умовою виведення з нього протиріччя, як того вимагає визначення інтуїционістського заперечення.

Критерій інтуїтивної самоочевидності не є очевидним і при застосуванні до інших логічним операціям. Всі вони за визначенням пов'язані з розумовими побудовами виконують їх суб'єктів. Досить допустити існування двох інтуіціоністи з несумісними, але самоочевидними для кожного з них інтуїціями, як цей критерій втрачає свою однозначність і Інтерсуб'єктивність.

Але розглянутий критерій не менше проблематичний і тоді, коли інтуїції збігаються. Адже встановлення факту несумісності або, навпаки, сумісності двох і більше звітів про інтуїтивної самоочевидності деякого побудови вимагає зовнішнього вираження і підтвердження, т.

ке саме не є інтуїтивно ясним».

Великий резонанс і опір серед більшої частини математиків викликало бажання Брауера і наступних за ним в цьому відношенні конструктивістів обмежити застосування закону виключеного третього кінцевої областю об'єктів. Конструктивісти підтримали Брауера в цьому намірі. Однак реальна проблема не в самому законі, а в интуиционистской інтерпретації заперечення загального висловлювання. З класичної точки зору, відповідно до закону протиріччя із заперечення загального судження завжди слід існування приватного контрпримера. Причина цього також зрозуміла: альтернативами в цьому випадку є існування і неіснування об'єктів певного виду.

Тепер сформулюємо заперечення загального судження (х) Ал як інтуїционістському проблему. У цьому випадку акцент змішається з перерахування альтернатив існування об'єктів із заданими властивостями на вказівку загальних альтернатив розв'язання проблеми. Вони такі: позитивне рішення (з наведенням конкретного прикладу існування (Ех) - \ Ах), негативне рішення (з доказом, що жоден х не має властивість-А) і доказ відсутності рішення. Сформулювати альтернативи рішення згідно закону виключеного третього. Отримаємо вислів «проблема заперечення загального судження або має рішення (позитивне чи негативне), або не має його». Інтуїционістськая інтерпретація заперечення загального судження не зобов'язує закон виключеного третього стверджувати що-небудь безпосередньо про існування об'єктів. Він повинен констатувати тільки, має дана интуиционистская проблема рішення чи ні. Але саме це він і робить. Значить, незважаючи на безліч тонких зауважень, критика інтуіціоністи і конструктивистами закону виключеного третього в загальному неправомірна. Обмеження, які вони приписують цим законом, насправді є слідства інтуїционістському-конструктивістів кой інтерпретації операції.

З розглянутої точки зору конструктивна інтерпретація висловлювань існування, про значення якої з гордістю говорять всі інтуіціоністи і конструктивісти, представляє логічне звуження обсягу звичайних тверджень існування. Існування не зводиться тільки до доказу, або конструювання. Безліч доведених суджень є власне підмножина логічно допустимих суджень. Логічне, тобто можливе, існування передує всім іншим видам існування. Вимагати збіги існування з доказом як одним зі своїх видів означає вимагати сильного обмеження безлічі допустимих об'єктів математики.

Нехай КМ позначає класичну математику; ММ - конструктивну математику Маркова; БМ - конструктивну матема-тику Бішопа; ІМ - інтуїционістському математику Брауера. Співвідношення перерахованих видів математики вказано на рис. 4.3.

Згідно рис. 4.3, класична і интуиционистская математики Брауера частково перетинаються, при цьому математика Бішопа вичерпує область їх перетину. Математика Маркова частково перетинається з интуиционистской, повністю включає математику Бішопа і є власною частиною класичної математики. Математика Бішопа - класична математика, що використовує інтуїционістському логіку. Інтуїционістськая математика - математика Бішопа разом з принципом безперервності і фан-теоремою Брауера, які помилкові в класичній математиці. Математика Маркова - математика Бішопа разом з принципом Маркова, відкинутим як Брауером, як і Бішопом.

Наведена на рис. 4.3 схема залишає відкритим питання, чи існує математика, що не є ні класичної, ні интуиционистской. Ствердну відповідь на нього слід тільки при допущенні, що класична і интуиционистская математики разом не вичерпують клас всіх можливих математик. Це питання, наскільки відомо, у філософській та методологічної літературі не тільки не обговорювалося, але навіть і не ставилося.

Рис. 4.3. Співвідношення класичної, конструктивної (Маркова і Бішопа) і интуиционистской математики Брауера

Інформація, релевантна "Оцінка програми інтуїционізма і конструктивізму"

1. Програма конструктивізму: математика як створення потенційно доказових конструкцій
   Конструктивізм виник в останній чверті XIX в. в якості реакції на швидке поширення в цей період завдяки зусиллям Г. Кантора і Р. Дедекинда теоретико-множинних методів в математиці, заснованих на припущенні актуальної нескінченності. З самого початку конструктивісти відстоювали ідею про те, що це незаконно, протиприродно і що математичні об'єкти повинні бути
   
2. Москва.
   Археологічні розкопки в Москві мають давню традицію. Великі розміри середньовічного міста, збіг сучасного центру з найдавнішою територією Москви і значні масштаби будівництва визначили необхідність охоронних археологічних розкопок. У 80-90-ті роки археологічні розкопки і розвідки в Москві вели експедиції Музею історії та реконструкції Москви, Державного
   
3. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
   Реальна картина суспільно-політичному житті Росії 60-90-х років XIX в. була до невпізнання перекручена і в історичній науці, і в шкільних підручниках, і в громадській думці. Це відбувалося від того, що революційний рух, революційна боротьба показувалися, по-перше, єдино вірним напрямком суспільно-політичного життя, а, по-друге, превалюючим над іншими напрямками,
   
4. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
   Тема, якій присвячено цей параграф, воістину неосяжна. Можна досить впевнено сказати, що серйозних, об'єктивних, вільних від кон'юнктури досліджень не так багато. У дореволюційній історіографії переважала, як правило, апо-логетіческая або вкрай негативна точка зору, причому консерватори піддавалися запеклої критики як з боку лібералів, так і з боку революціонерів всіх
   
5. 2. Революція 1905-1907 рр..
   Так що ж таке революція? Яке її вплив на життя суспільства? Сучасне, на наш погляд, досить змістовне визначення революції як суспільно-історічес-кого феномена дано в філософській праці М.Л. Тузова «Революція і історія» (Казань, 1991). Виходячи з досягнутого у вітчизняній і зарубіжній революціологіі і враховуючи наявні різночитання у визначенні революції, автор під
   
6. 3. Початок II російської революції. Лютий 1917
   Перебудова нашої історичної науки в світлі нових можливостей для історичних досліджень дала чимало підстав для критичної оцінки праць радянських істориків з названої проблеми. Визначився цілий ряд «білих плям», догматичних уявлень і застарілих схем, низький теоретичний рівень багатьох робіт, прагнення згладити гострі кути в історії другої російської революції. Було б
   
7. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
   Жовтневі події 1917 року стали подіями світового значення, але історики ще довго будуть сперечатися і розходитися в їх оцінках. Жовтень 1917 опинився в центрі гострої ідейної та політичної боротьби, що розгорнулася зараз в нашій країні. Більшість дослідників представляє жовтня 1917 революцію * не тільки як найважливіша подія XX століття, відбивало вікові устремління людства до свободи,
   
8. 5. Громадянська війна. Політика «воєнного комунізму» (1917-1921 рр..)
   До середини 80-х років у радянській історіографії історія громадянської війни незмінно розглядалася з позицій звитяжних переможців - «червоних» над «білими» та іноземними інтервентами . А в сталінський час вона була наповнена чималим числом міфів і легенд і одночасно умовчаннями про дійсні події, полководців і воєначальників. У військово-історичних дослідженнях, як правило, не
   
9. 2. Проблеми науки і культури
   У роки панування марксистсько-ленінської ідеології духовність розумілася як особливий вищий результат суспільно-історичної практики людей, як відображення буття, а головним завданням соціалістичної культури оголошувалося формування нової людини, будівника комунізму. Тому все духовне життя суспільства була ідеологізована і політизована. Особливо яскраво ця тенденція проявилася в післявоєнні
   
10. Микита Сергійович Хрущ єв (1894-1971 рр..)
    Після відходу з політичної сцени двох вождів (Леніна і Сталіна) ще близько 40 років країною керуватимуть лідери, яким влада дістанеться в результаті вирішення вузького кола осіб - Політбюро правлячої партії. Так отримав всю повноту влади і Микита Сергійович Хрущов у вересні 1953 року народження, ставши Першим секретарем ЦК КПРС, а в 1958 році Головою Ради Міністрів СРСР. Хрущов належав до другого,