Програма конструктивізму: математика як створення потенційно доказових конструкцій

До конструктивістам XIX в. відносять Е. Бореля, JI. Кронекера і А. Пуанкаре. Починаючи з 1907 р. конструктивізм у формі интуиционистской програми обгрунтування математики систематично розвивався голландським математиком JL Е. Я. Брауера і продовжує модернізуватися його послідовниками і в даний час. Згідно Брауер, математика - наука про інтуїтивно очевидних конструкціях і в своєму розвитку повністю звільняється від диктату логіки та мови. Твердження класичної математики «існує об'єкт Л: з властивістю Р» не конструктивні і повинні бути замінені твердженнями типу «я виконав побудова К, що доводить наявність об'єкта jc з властивістю Р». Будь-яке математичне судження затверджується тільки тоді, коли є його доказ. Твердження згідно закону виключеного третього «або число х має властивість Р, або х не має властивість Р» незаконні, поки не будуть побудовані докази обох альтернатив.

Логіка ніяк не пов'язана з математикою і тому нічого не говорить і не може сказати про неї. Логіка - механічна по своїй суті імітація реального математичної мови, її стенографічний звіт. Сам мова не належить математиці, він усього лише недосконале засіб спілкування між математиками, збереження отриманих результатів. Використання математиками мови і логіки може бути виправдане тільки практичними, але не теоретичними міркуваннями.

Центральне місце в интуиционистской математики займає ідея нескінченної послідовності вільних виборів і заснована на ній теорія континууму. Поняття нескінченної послідовності вільних виборів означає можливість у довільному порядку приписувати кожному члену деякої послідовності певний предикат (наприклад, натуральне число в якості номера члена послідовності). Брауер доводить фундаментальну теорему интуиционистской математики, що вказує умови, при яких можна побудувати континуум дійсних чисел.

У 40 рр.. XX в. роботи А. А. Маркова та його учнів поклали початок вітчизняної версії конструктивізму. Марков відкинув ідею Брауера про математику як вільному творінні людського розуму, але зберіг допущення про потенційну нескінченності її об'єктів, необхідності кінцевих і ефективних доказів згідно особливої конструктивної (фактично интуиционистской) логіці.

У 40-50 рр.. XX в. сформувалася ще один напрямок конструктивізму, альтернативне інтуїционістському, яке пов'язане з ім'ям американського математика Е. Бішопа. Замість нескінченної послідовності вільних виборів Бішоп воліє говорити про послідовності, що генеруються яким-небудь об'єктивним випадковим процесом, наприклад, киданням монети або гральної кістки. Інша відмінність пов'язано із зростаючим інтересом до обчислювальних процедурам математики, комп'ютерному розв'язання математичних проблем, до створення програм, що дозволяють отримувати нове математичне знання.

Наступні положення є загальними для некласичних математиків всіх різновидів: -

Об'єктами математики повинні бути тільки кінцеві структури, що робить математичні операції на них ефективними (вичіслімих). Допущення і поняття, що не задовольняють даній вимозі финитности, слід виключити з математики. Це стосується насамперед до абстракції актуальної нескінченності, прийняття якої стало причиною теоретико-множинних парадоксів класичної математики. -

Визначення математичних об'єктів не повинні містити посилання на ті безлічі, елементами яких вони є (тим самим забороняються так звані непредикативні, тобто містять порочне коло, визначення). -

Теореми, які стверджують існування певних математичних об'єктів, повинні бути доказами, що містять способи їх побудови. Істинно те, що доказово; ложно то, з передбачуваного побудови чого випливає протиріччя (абсурд, безглуздість). Значить, щодо довільного математичного судження не можна a priory стверджувати, що воно або істинно, або хибно. Отже, закон виключеного третього в загальному (в нескінченній області об'єктів) не вірний. -

Інтуїционістськая версія некласичної математики Брауера і його школи додатково відстоює наступні тези:?

Об'єкти математики - ментальні конструкції, безпосередньо схоплює розумом і інтуїтивно очевидні для нього. Мова і мислення - підлеглі і другорядні засоби математичного мислення, необхідні лише для вираження і трансляції результатів інтуїції. ?

Математика - вільне творіння розуму, засноване на інтуїції часу. Її основу складає єдність базисної інтуїції часу, абстракції потенційної нескінченності і принципу повної індукції. Інтуїционістськая математика багато в чому несумісна з класичною. ?

Математика не залежить від досвіду, логіки та мови. Логіка - частина математики і не має прямого відношення до розумових процесів. -

Теорія нормальних алгорифм Маркова - вітчизняна

версія некласичної математики - додатково включає

наступні тези:?

Об'єкти математики - «слова» певного кінцевого алфавіту знаків і алгорифм (точні приписи) з їх трансформації в інші «слова» цього ж алфавіту. Довжина послідовностей знаків, з яких будуються «слова», не обмежена, але завжди кінцева. ?

Алгоріфміческое обчислення звичайно, якщо доведено, що воно не може тривати нескінченно («принцип Маркова»). Незавершаемие алгоріфміческіе побудови забороняються. ?

Поняття послідовності вільного (тобто не алгорифм-чеського) вибору Брауера відкидається. -

Конструктивна математика Бішопа додатково включає

такі положення:?

Усі математичні твердження повинні інтерпретуватися в термінах теорії натуральних чисел. Математика в цілому - «мова високого рівня програмування»,?

Конструктивна математика вільна від філософських догм щодо природи своїх об'єктів (припустимо будь-який конструктивний об'єкт). ?

Інтуїционістськая концепція континууму, заснована на понятті послідовності вільного вибору, помилкова, інша частина математики Брауера може бути прийнята. ?

Усі твердження конструктивної математики є теоремами класичної (зворотне вірно тільки при відмові від закону виключеного третього).

У подальшому викладі головний акцент зроблено на поясненні основних положень інтуїционізма Брауера. Це пов'язано зі значним впливом цієї програми на хід дискусії з підстав математики. Інші програми, незважаючи на велику продвинуто сть у вирішенні спеціальних завдань, такого значення ще не набули.

Інформація, релевантна " Програма конструктивізму: математика як створення потенційно доказових конструкцій "

1. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
   Праобразом і первофеноменом людської культури є міфологія. Властиве їй поетично-казкове сприйняття світу зберігається і в раціонально-умоглядних системах ранньої філософії, на що не раз вказували дослідники. Але вже в первісній науці, зазначає А.Ф. Лосєв, «є деяка сума цілком певні устремлінь свідомості, які активно не хочуть бути міфологією, які
   
2. § 5. Особливості політичного та духовного життя в другій половині 1960 - початку 1980-х р.
   Духовне життя в другій половині 60-х - початку 80-х років характеризувалася складними, суперечливими процесами. Одночасно існували офіційна ідеологія і інакомислення. Офіційна ідеологія проголошувала, що в Радянському Союзі побудовано суспільство розвинутого соціалізму. Правлячі кола тим самим хотіли підкреслити, що до комунізму ще далеко, що потрібно пройти тривалий етап зрілого
   
3. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
   . Проти цієї тези можна сформулювати такі типи аргументації. А. Аргументація від здорового глузду. Ймовірно, тільки живі істоти, що не мають другої сигнальної системи - мови, - такі, як риби, миші, ящірки та інші тварини, живуть у світі твердого, сухого, гарячого, холодного і т.д., тобто живуть лише у світі емпіричних предметів, а людина вже в звичайному житті визнає
   
4. «Механізм» вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
   Проаналізувавши докладно особливості екологічного підходу Дж . Гібсона і припустивши існування механізму екологічного компоненту в соціальній установці, ми повинні обгрунтувати способи аналізу та вилучення можливостей навколишнього світу механізмом екологічного компоненту. Цей компонент повинен мати здатність аналізу можливостей і вибору можливостей для формування соціальної
   
5. Теоретичні методи.
   Методи теоретичного пізнання - це абстрагування, аналіз і синтез, індукція і дедукція, ідеалізація, аналогія, формалізація, моделювання, методи гіпотез і аксіоматичний, системний метод і підхід та ін Сутність абстрагування полягає в уявному відволіканні від несуттєвих властивостей, відносин і зв'язків в об'єкті і між ними за одночасної фіксації окремих сторін, аспектів цих
   
6. 2. «Так чи знаєте Ви, що таке Росія?»
   Проблема держави, форми політичної влади, характер взаємини його з суспільством в цілому та окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
   
7. А. Теоретичні основи охорони авторських прав
   Процес історичного розвитку авторського права в країнах континентальної Європи і в англомовних країнах йшов по-різному. Континентальна європейське право розвивалося в напрямку охорони прав авторів. У XIX в. такі автори, як Віктор Гюго, очолили рух за ефективну охорону прав авторів не тільки всередині країни, а й за її межами. Авторське право в англомовних країнах
   
8. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
   Виникнення Російської держави. Різні типи і форми держави в історії Росії. Поняття російської державності, основні характеристики. Соціально-політичні та ідеологічні передумови виникнення Радянської держави. Етапи розвитку радянського суспільства і Радянського дер-жави. Радянська форма правління та її еволюція на сучасному етапі. Основні зовнішні та внутрішні
   
9. 2. «Так чи знаєте Ви, що таке Росія?»
   Проблема держави, форми політичної влади, харак-тер взаємини його з суспільством в цілому та окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
   
10. ФІЛОСОФСЬКІ ПІДСТАВИ АНАЛІЗУ ДОСВІДУ
    Досвід є традиційним об'єктом філософського дослідження, однак у різних філософських системах йому відводилася різна роль і приписувалося то більш широке, то більш спеціальне значення. Найпримітивніше розуміння досвіду склалося в рамках тих форм натуралізму, які весь досвід, в тому числі соціальний, духовний і творчий, зводили до психофізіологічних реакцій. Згідно
    
11. 4.1. Конституція Росії про розвиток народовладдя, демократичної державності і цивільних ініціатив
    Чи стане Російська Федерація демократичною державою? Сформуються у нас в країні ефективні інститути громадянського суспільства, контролю виборців за діями влади? Відповіді на ці питання досі залишаються відкритими. І справа тут зовсім не в тому, що за кілька останніх років у Росії знову посилилися авторитарні тенденції. Коріння проблеми набагато глибше. Через десять років після
    
12. ЗМІНА ВМІСТУ ОСВІТНЬОГО ПРОЦЕСУ
      Зміна змісту освітньої діяльності суб'єктів освіти припускає проектування змісту процесу навчання як процесу вирішення завдань. Відомо, що зміст освіти, яке надає школяреві необхідний і доступний йому мінімум коштів індивідуального розвитку як базову основу для самостійного освоєння культурно-історичних цінностей, зафіксовано в