Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера

Л. Е. Я. Брауер.

Про обгрунтуваннях математики

Філософські принципи інтуїционізма Брауера

Одне з ключових положень интуиционистской філософії математики полягає в тому, що математика представляє повністю автономну і самодостатню діяльність. Вона не потребує ніяких зовнішніх гарантії; все, що їй необхідно, міститься в ній самій.

Логицистами і формалісти бачили в парадокси класичної математики захворювання, яке вимагає лікування і яке можна вилікувати, якщо підібрати слушно логічне ліки. Интуи-ціоністи вважали парадокси симптомом хвороби, лікування якої вимагає повної перебудови всієї математики. Найбільш радикальна програма такої перебудови була запропонована голландським математиком Л. Е. Я. Брауера (1881-1966).

На його думку, стан справ в обгрунтуванні математики на початку XX в. представляє наслідок змін провідних філософських установок на ставлення математики до досвіду, мови та логіці. Основний тренд цих змін - зрушення інтересу від об'єкта до суб'єкта і, як наслідок, поступове звільнення математики від диктату досвіду, мови і логіки.

Переконання в безумовній точності законів математики, вважає Брауер, було предметом дискусії багато сотень років і зрештою призвело до виникнення двох конкуруючих шкіл - інтуїционізма і формалізму (до якої Брауер зараховує і логіцизм). Йнтуіціоністи визнають як джерело точності математики людський інтелект, формалісти - папір. «У філософії Канта ми знаходимо стару форму інтуїционізма, нині майже відкинуту, в якій час і простір вважаються апріорними формами чуттєвості, природженими людському розуму. Для Канта аксіоми арифметики і геометрії - апріорні синтетичні судження, тобто судження, незалежні від досвіду і недоведені аналітично; саме цим пояснювалася їх аподиктичні точність у світі досвіду і в абстракції. Тому для Канта можливість експериментального спростування арифметичних і геометричних законів не тільки виключалася твердим переконанням у їх істинності, але й була просто немислима.

Діаметрально протилежна точка зору формалізму, який стверджує, що людський розум має у своєму розпорядженні образів прямих ліній або чисел, скажімо, не більше десяти, і тому джерело цих математичних об'єктів знаходиться не в нашому уявленні природи, а в самій природі ... Для формаліста, отже, математична точність зводиться до створення методу виведення одних відносин про об'єкти з інших і не залежить від значення, яке можна приписати цим відносинам або пов'язується ними об'єктам »9 ®.

Однак точка зору Канта на апріорний характер простору виявилася поколебленной відкриттями Лобачевського, Больяи, Рі-мана, Гільберта, Ейнштейна. Стало ясно, що геометрія більш не є наукою про властивості одного єдиного, саме реального простору.

Підбадьорені цими відкриттями формалісти припустили, що математичні формалізми, як і логічні істини, не є абстракціями досвіду і спробували взагалі усунути всяке розходження між логікою та математикою, довести їх повну єдність. Ними рухало бажання довести несуперечність всієї математики, позбавити її раз і назавжди від парадоксів. Але теореми Геделя про неповноту поховали цю надію остаточно. Всього лише кілька математиків, саме Пуанкаре, Борель і Лебег, яких Брауер називає своїми прямими попередниками, спробували відстояти незалежність деяких базисних розділів математики від логіки, хоча й визнавали роль останньої в математичних доказах.

В цілому стан справ в області обгрунтування математики, що передувала виникненню інтуїционізма, згідно Брауер, виглядало так. Доінтуіціоністская математика виявилася розділеною на автономну і неавтономних частини. До автономної математики належали: елементарна теорія чисел, принцип повної індукції, значна частина алгебри і теорії чисел. Надійність і несуперечливість положень цієї частини математики не залежали від мови і доказів. Неавтономна математика, чиї істини, як вважав Брауер, залежали від логіки і мови, включала теорію континууму дійсних чисел. Доказ його несуперечності Брауер вважав тому самої невідкладної завданням. «Що стосується континууму, питання про його існування, незалежному від мови, був проігнорований. З'явилися спроби обгрунтувати континуум логічними засобами як безліч дійсних чисел з певною на ньому позитивної мірою, але без будь-якого докази його несуперечності »65.

Для створення нової математики, вважає Брауер, об'єднуючою автономну і неавтономних частини, докази її незави но від досвіду, мови і логіки, обгрунтування внутрішнього критерію достовірності всіх її істин, необхідно відновити в правах ідею Канта про інтуїції часу як апріорної формі чуттєвості, що обгрунтовує істинність арифметичних істин.

Власне філософська частина цієї програми складається з двох тез, названих Брауером «двома актами (прийняття) інтуїционізма». З їх допомогою він пояснює, чому математика повинна бути автономною від мови і логіки, і розкриває сенс математичного конструювання з интуиционистской точки зору.

Перший акт інтуїционізма вимагає «повного відділення математики від математичного мови і, отже, від феномена мови як такої, що характерно для теоретичної логіки, усвідомлення того, що интуиционистская математика в своїй основі - незалежна від мови діяльність розуму, що бере свій початок у сприйнятті руху часу. Це сприйняття часу можна описати як роздвоєння життєвого моменту на дві якісно різні частини, одна з яких відкриває шлях інший, але зберігається тільки в пам'яті. Якщо народжену таким чином двоічкость позбавити якості, вона перетвориться на порожню форму загального субстрату для всіх двоічность (тобто перетвориться на правило переходу від числа л до числа п + 1. - В. С.). І саме цей загальний субстрат, ця загальна форма являє базисну інтуїцію математики »66.

Математична інтуїція Брауера - інтуїція породження натурального ряду чисел, безперервного потоку становлення, який ніколи не може завершитися. В іншій роботі Брауер пояснює цю думку наступним чином. «Ця інтуїція, будучи базисною інтуїцією математики, створює не тільки числа один і два, але також всі кінцеві порядкові числа, оскільки один з її елементів можна мислити як нове два в одному, причому цей процес може повторюватися невизначено довго ... Нарешті, ця базисна інтуїція, яка об'єднує разом пов'язане і окреме, безперервне і дискретне, породжує інтуїцію лінійного континууму, тобто відносини 'між', яке не можна вичерпати введенням нових одиниць і яке з цієї причини ніколи не може розглядатися як проста сукупність одиниць » 67.

Первісна інтуїція обгрунтовує не тільки елементарну теорію чисел, але також і геометрію. «Таким чином, апріорність часу не тільки обгрунтовує властивості арифметики як синтетичних апріорних суджень, але вона робить те ж саме і для властивостей геометрії, і не тільки для елементарної геометрії двох і трьох вимірів, а й для неевклідової геометрії та геометрії п вимірювань. Бо з часу Декарта ми навчилися зводити всі ці геометрії до арифметики допомогою обчислення координат »68.

Первісна інтуїція Брауера виражена на специфічній мові ідея потенційної нескінченності натурального ряду чисел. Вона дає апріорне обгрунтування принципу математичної індукції і стверджує конструктивний характер математичного знання. Відповідно до цієї інтуїції знати який-або об'єкт, знати, що він існує, означає знати, як його побудувати.

Апріорний характер первісної інтуїції принципово відрізняє створені на її основі математичні конструкції від результатів як їх логіко-лінгвістичного вираження і осмислення, так і від чуттєвого сприйняття систем знаків. В якості загального інваріанта, вона передує чуттєвого сприйняття знаків і їх логічному або досвідченому змістом як ідеальний оригінал передує всім своїм завідомо найгіршим копіям.

Проти класичної логіки Брауер формулює такі заперечення. По-перше, вона передбачає, що незалежно від людської думки існує якась абсолютна істина, окремі частини якої виражаються пропозиціями, званими «істинними твердженнями». Але, вважає він, істота-вання такої істини представляє не більше тим метафізичну гіпотезу. По-друге, класична логіка визнає законним існування загальних лінгвістичних правил, що дозволяють автоматичну дедукцію нових істин із старих. Так що, стартувавши з обмеженої множини «очевидно» істинних тверджень, названих аксіомами, можна отримувати нові істини за допомогою одних тільки логічних операцій. Те, що аксіоми можуть передавати істину своїми наслідками, цього Брауер заперечує. Проблема, на його думку, полягає в тому, що істинність самих аксіом встановлюється деяким чужим для математики шляхом. Значить, істинність наслідків аксіом також сумнівна. По-третє, використовуючи термін «помилковий» як «противагу істинного», класична логіка визнає, що завдяки так званому «принципом виключеного третього» кожне твердження, зокрема, про існування, або істинно, або хибно незалежно від того, чи знає хто- або це насправді. Однак закон виключеного третього дійсний тільки для міркувань про кінцевих областях об'єктів.

Отже, слід принципово відрізняти математичну діяльність від її логіко-лінгвістичного вираження.

Уважний аналіз дозволяє дати наступний короткий відповідь. Враховуючи неминучу неадекватність мови як засобу опису та комунікації, зазначена ілюстрація підпорядковується принципам протиріччя і силогізму. Але відносно закону виключеного третього, крім декількох особливих випадків, відповідь негативна, тому що цей принцип ніяк не може вважатися в загальному випадку інструментом відкриття нових математичних істин »69.

Мова і логіка не здатні забезпечити достовірність математичних міркувань в нескінченній області. Закон виключеного третього, істинний в будь як завгодно великий кінцевої області, марний в нескінченною. Реальний предмет математики - нескінченне. А нескінченне не може бути виправдане ніяким досвідченим або логіко-лінгвістичним способом. Тому ні зведення математики до логіки, ні аксиоматизация математичних теорій, ні финитная програма обгрунтування всієї математики не годяться для її обгрунтування. Безпліддя цих проектів пояснюється просто - вони не здатні створювати математичні об'єкти, істинні в нескінченних областях.

Можливість породження математичних об'єктів, істинних в будь-яких, включаючи і нескінченні, областях, і разом з цим можливість, створення нової автономної математики вказує другий акт інтуїционізма.

Другий акт інтуїционізма вимагає вважати законними тільки «два способи створення нових математичних об'єктів: по-перше, у формі більш-менш вільного породження нескінченних послідовностей математичних об'єктів зі створених раніше (так що для десяткових дробів, що не мають жодного точного значення, немає ніякої гарантії, що ці значення небудь будуть встановлені), по-друге, у формі математичних узагальнень, тобто властивостей, якими, за припущенням, володіють раніше прстроенние математичні об'єкти і задовольняють також умові, що якщо вони виконуються для деякого об'єкта, вони також виконуються для всіх 'рівних' йому об'єктів »70.

 Тільки після того, вважає Брауер, як математику стануть вважати конструктивною діяльністю, заснованої на інтуїції часу, яка хоча і може бути застосована до зовнішнього світу, але ні за своїм походженням, ні за своїми методами не залежить від нього, а критерій істинності математичного затвердження буде обмежений самої математичної діяльністю, математика досягне повної автономії і само-виправдання. Безпосереднім наслідком такої радикальної зміни стає те, що для довільного математичного твердження р допускавшиеся класичною логікою дві альтернативи, істина ілшіложь, замінюються наступними трьома: -

 істинно то твердження, яке доведено; -

 ложно то твердження, яке, як доведено, абсурдно (суперечливо); -

 неправдиве і не ложно то твердження, істинність або абсурдність якого не доведені, або невідомий кінцевий алгоритм доведення його істинності чи хибності. 

 Випадок, коли не доведені ні істинність, ні абсурдність твердження, але алгоритм такого доказу відомий, зводиться, як очевидно, до перших двох випадках. 

 Ототожнення інтуїционістського існування з конст-руіруемостью проводить вододіл між интуиционистской і класичною теорією множин. Наприклад, в интуиционистской теорії множин вираз а є S означає, що а є елементом множини S, якщо а визначно незалежно від S. Вираз а g S означає, що для а неможливо бути елементом множини S, або що допущення а є S веде до протиріччя. 

 Якщо інтуїціоністське безліч S є підмножина іншого інтуїционістського безлічі Т (кожен член S - член 7), їх різниця TS дорівнює безлічі тих членів Г, які, можливо, не можуть бути членами S. У класичній теорії об'єднання T \ j (T-S) означає клас елементів, які є членами Т або TS, або обох множин, і результат об'єднання завжди дорівнює Т. З интуиционистской точки зору, результат Ті (TS) може бути і не дорівнює Т . 

 Інформація, релевантна "Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера"

1. 2. Проблеми науки і культури
     філософії, мовознавства та політекономії були організовані «дискусії» відповідно в 1947, 1950 і 1951 роках. Результатом стало закриття наукових центрів, звільнення вчених, вилучення вже опублікованих робіт. У дискусії про філософію головним висновком стали знамениті слова Сталіна про «безпосереднього зв'язку філософії з життям». У результаті дискусії з політекономії з'явилася робота Сталіна
   
2. Глава перша. ТЕОРІЯ ДЕРЖАВИ І ПРАВА ЯК про-громадської НАУКА
     філософія, соціологія, політична економія, політологія, етнографія - і зв'язок цей головним чином проходить саме в методологічній сфері наукового пізнання. Тому використання соціологічного, порівняльного, формально-логічного методу суттєво збагачує методологію теорії держави і права. Правовий експеримент - досвідчена перевірка закону на обмеженій території - використовували в
   
3. Візантія в VIII-X ст.
     філософського знання і включав три частини: "Філософські голови (Діалектика)", "Про єресях" і "Точний виклад православної віри". Оскільки Іоанн, на відміну від своїх попередників, в богословських міркуваннях надавав величезного значення логіці, яка, на його думку, повинна становити основу догматики, він вперше звернувся не тільки до неоплатоникам (Порфирія), а й до Аристотеля, пристосувавши його до
   
4. НАУКА В СЕРЕДНЬОВІЧНИХ державами
     філософія), багато грецькі ремесла (наприклад, виготовлення пергаменту) і грецьке мореплавання. 9.34. Індійська позиційна система запису цілих чисел; вирощування цукрового очерету і виробництво цукру, а також гра в шахи. Виготовлення паперу і пороху; компас і арбалет, колись невідомі на Близькому Сході; вирощування рису на заливних полях Дворіччя. Перси: політик Абу-Муслйм, поет
   
5. § 1. Радянське суспільство в середині 1940 - середині 1950-х р.
     філософії, мовознавства, політекономії, історії, фізіології, в ході яких шельмуванню піддавалися талант-лівие вчені, насаджувалося однодумність і адміністративно-командний стиль в науці. Еталоном науковості проголошувалися праці Сталіна, зокрема, його робота «Економічні проблеми соціалізму в СРСР». Культ особистості зробила негативний вплив на історичну науку. І. Грозний став
   
6. Література
     філософії. 1962. N 7. С. 97 - 112. Анохін П.К. Принципові питання загальної теорії функціональних систем / / Принципи системної організації функцій. М.: Наука, 1973. С. 5 - 61. Анохін П.К. Теорія функціональної системи, як передумова до побудови фізіологічної кібернетики / Біологічні аспекти кібернетики. М.: Изд-во АН СРСР, 1962. С. 74 - 91. Антомонов Ю.Г. Моделювання біологічних
   
7. 1.4. З історії логіки
     філософа і вченого Аристотеля (384-322 рр.. до н. е..). Аристотель створює систему категорій (вищих родів буття). Вчення про категорії становить основу діалектичної логіки. Він докладно систематизував основні логічні форми і правила мислення. Новий етап у розвитку логіки починається з XVII в. Френсіс Бекон (1561-1626) став родоначальником індуктивної логіки. Рене Декарт (1596-1650),
   
8. К. П. ВіноградовІСТОРІЯ ФІЛОСОФІЇ: ІСТОРІЯ АБО ФІЛОСОФІЯ?
     філософії, мабуть, слід розглядати, почавши з визначення цих самих завдань. Як видається, завдання будь-якого історика полягає в об'єктивному, наскільки це можливо. описі фактів, що мали місце в той чи інший відрізок часу, в їх послідовності і зв'язку один з одним. Хоча, можливо, таке визначення здасться комусь збіднює наукову діяльність історика, на наш погляд,
   
9. А. В. ЛогіновК історико-філософський ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ТЕРМІНА "АНТРОПОЛОГІЯ"
     філософську антропологію, свою незмінність "(Так як в а! ггропологіі йде мова якраз про незмінну сутність людини. - А.Л.) (2). На зв'язок між антропологічної думкою і всім ходом розвитку новоєвропейської думки вказували, зокрема, Мартін Хайдеггер і Мішель Фуко. За Хайдеггеру, саме в Новий час людина стає суб'єктом. "Якщо тепер людина стає першим і винятковим
   
10. Методичні вказівки.
      філософської та етичної сферах. Особливо велике був вплив Конфуція, уподібнює держава патріархальної сім'ї, в якій государ опинявся батьком, а його піддані дітьми. Конфуціанство містило заклики до покори та непротивлення злу. Опонентом конфуціанства був легізм - теоретичне виправдання практики деспотичної держави, що керується волею деспота та державними
    
11. 2.Проблеми науки і культури
      філософії, мовознавства та політекономії були організовані «дискусії» відповідно в 1947, 1950 і 1951 роках. Результатом стало закриття наукових центрів, звільнення вчених, вилучення вже опублікованих робіт. У дискусії про філософію головним висновком стали знамениті слова Сталіна про «безпосереднього зв'язку філософії з життям». У результаті дискусії з політекономії з'явилася робота Сталіна
    
12. Наука. Проблема демаркації наукового і ненаукового знання
      філософії до сутності і структурі наукового знання. Очевидно, що вихідним питанням тут є питання про відмінності науки від НЕ-науки. Обговорення проблеми демаркації в філософії першої половини XX століття виявило той факт, що кордон між наукою і не-наукою досить умовна і історично мінлива. Проте, тривалий час вважалося, що критерієм демаркації є верифіковані:
    
13. Структура наукового пізнання
      філософські напрями і концепції науки. Підсумки XX сторіччя. - М.: Логос, 2000. - 320 с. Канке В.А. Філософія. Історичний і систематичний курс: Підручник для вузів. Вид. 3-е. - М.: Логос, 2000. - 344 с. Кун Т. Структура наукових революцій. - М.: Изд-во АСТ, 2002. - 608 с. Найдиш В.М. Концепції сучасного природознавства: Навчальний посібник. - М.: Гардаріки, 1999. - 476 с. Никифоров А.Л.
    
14. РОЗУМІННЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ ЯК СВІДОМОГО ДОСВІДУ Розумова діяльність
      філософії, і європейської культури. Суть цього стереотипу становить розуміння, за яким не тільки пізнавальні акти, а й чуттєвість і воля зводяться до свідомості, до досвіду усвідомленої миследеятельності. Розвиток цієї тенденції призвело до того, що в духовному досвіді стали бачити епіфеномен пізнавальної діяльності. Такий процес еволюції духовного досвіду в напрямку злиття з
    
15. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
      філософії, на що не раз вказували дослідники. Але вже в первісній науці, зазначає А.Ф. Лосєв, «є деяка сума цілком певні устремлінь свідомості, які активно не хочуть бути міфологією, які суттєво і принципово доповнюють міфологію і мало відповідають реальним потребам останньою» 140. Розвиток цього прагнення призвело до того, що в просторі-часі,
    
16. РОЗУМІННЯ ПЕРЕЖИВАННЯ У ФІЛОСОФІЇ І ПСИХОЛОГІЇ
      філософії та психології панував погляд, згідно з яким у почуттях як психічних явищах бачили тільки епіфеномени свідомості, позбавлені життєвого значення, своєрідні відгомони архаїчних реакцій. Було широко поширена думка, що почуття і емоційні переживання надають переважно негативний вплив на складні форми поведінки. Так, К.Г. Юнг вважав, що емоції
    
17. МЕТОДОЛОГІЧНІ ПРОБЛЕМИ РОЗУМІННЯ ДУХУ І ДУХОВНОСТІ У метафізиці
      філософських словниках та енциклопедіях відсутня стаття «Духовність». Інакше й не могло бути з тієї причини, що категорії «дух» і «душа» розглядалися у відриві один від одного, кожна в окремій статті. Зате в «Сучасному філософському словнику» під редакцією В.Є. Кемерова в розгорнутій статті «Дух і душа» закономірно з'являється загальне визначення духовності як взаємодії, спряженості душі