| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
Інтуїционістськая математика |
||
|
«У системі математики, - відзначає Вейль, - маються два оголених пункту, в яких вона, може бути, стикається зі сферою незбагненного (бесконечного. - В. С.). Це саме принцип побудови ряду натуральних чисел і поняття континууму. Все інше: перехід від натуральних чисел до негативних і дробовим, так само як і введення уявних і гіперкомплексних ве-личин, являє собою задачу формальної логіки, що не таїть в собі вже ніяких труднощів і загадок »71. Таким чином, зрозуміти своєрідність интуиционистской математики означає зрозуміти особливості інтерпретації інтуіціоністи натуральних чисел і континууму. Інтуїционістськая математика, вважає Гейтинг, «починається після того, як вироблені поняття натуральних чисел і рівності між ними» 72. Сенс натурального числа полягає в наступному: «У сприйнятті будь-якого предмета ми представляємо його собі як сутність, відволікаючись від його приватних властивостей. Ми пізнаємо також можливість необмеженого повторення цієї сутності. Тут-то і лежить джерело поняття натурального числа »73. Число 0 з ряду натуральних чисел інтуіціоністи виключається. Натуральне число «легко розуміється будь-якою людиною, що має мінімальне утворення ... універсально застосовне в процесі рахунку ... лежить в основі побудови аналізу »74. Аксіоми Пеано описують властивості натуральних чисел, очевидні при «прямому розгляді». Отже, всяка аксиоматизация натуральних чисел є щось штучне і зайве. Класична теорія множин розглядає ряд натуральних чисел N як закінчену сукупність елементів, усередині якого задано деяке відображення п -> п ', однозначно сопрягающее з усяким елементом п безлічі другий елемент і'. У результаті безліч всіх натуральних чисел можеї бути відображене на нееквівалентне собі підмножина (наприклад, на підмножина парних чисел), що доводить його нескінченність. Але нескінченний ряд натуральних чисел, як і його різні також нескінченні підмножини, продовжують розглядатися класичної математикою за аналогією з кінцевими - як актуально існуючі класи елементів. Це породжує численні парадокси і свідчить про неправомірність концепції актуальної нескінченності. Підставою відмови від поняття актуальної нескінченності і викликаної цим перебудови математики служать два акти интуи-ціонізм, що обгрунтовують концепцію потенційної, або що стає, нескінченності. Сутність натурального числа, з интуиционистской точки зору, складається виключно в його відношенні до подальшого числу, тобто в законі прямування одного числа за іншим, нескінченного породження послідовності чисел. Ряд натуральних чисел, пише Вейль, «можна отримати з двуединства, виходячи спочатку з нероздільного, потім розчленовуючи його на один елемент (одиницю), що залишається і надалі одиницею, і деякий неподілений залишок, потім знову розчленовуючи залишок на один елемент (2) і деякий неподілений залишок ^ і т. д. ... Тут підлягає поділу на дві частини не всяка частина, а тільки останній залишився на даній стадії процесу ділення неподілений залишок »101. У схематичному зображенні цей процес виглядає так (рис. 4.1). Пережитий життєвий момент Залишок Перший елемент (число 1) Залишок Другий елемент (число 2) Рис. 4.1. Схема породження ряду натуральних чисел згідно Вейлю Ряд натуральних чисел починається з 1 і може бути продовжений як завгодно довго допомогою послідовного конструювання з вже отриманого числа безпосередньо за ним наступного, причому в цьому «русі вперед» ніколи не зустрічається вже увійшло в послідовність число. Крім того, вся послідовність чисел ніколи не може бути представлена як щось за-кінчених. Її родової ознака - здатність до породження нових чисел, їх становлення, але не завершеність всього ряду чисел, їх буття. Засобом, необхідним і достатнім для породження натуральних чисел, його трансформації в що стає послідовність, є принцип повної індукції, тобто закон, який вказує, що позначає аналізованих властивість для 1 і як воно переноситься з довільного числа п на наступне за ним число п + 1. Можна відзначити чотири важливих слідства интуиционистской інтерпретації натуральних чисел. По-перше, принцип повної індукції як принцип породження достатній і необхідний для. докази будь-якого загального твердження про властивості чисел. Наприклад, справедливість операції додавання для будь-яких натуральних чисел доводиться наступним чином. Нехай тип - довільні натуральні числа. т +1 = т '; (2) т + п '= (т + п) \ Результат множення тп двох натуральних чисел тип можна визначити за допомогою рівностей: (3) \ т = т \: (4) (п + 1) т = тп + т. Операції віднімання і ділення визначаються як зворотні по відношенню до складання і множення. По-друге, принцип повної індукції «охороняє математику від небезпеки перетворитися на жахливу тавтологію і надає її положенням синтетичний, а не аналітичний характер» 102. Завдяки цьому принципу математика постає як виключно конструктивна діяльність розуму, діяльність по створенню нових об'єктів з уже відомих або заданих. Цією властивістю математика принципово відрізняється від логічного висновку істин з аксіом, в яких імпліцитно міститься все те, що дедуціруется з них у якості наслідків. По-третє, принцип повної індукції робить істотним поняття порядку послідовності натуральних чисел. Натуральне число є математичний об'єкт, сутність якого визначається місцем, займаним у послідовності. Отже, натуральне число є щось відносне, а не абсолютне. З цієї причини інтуіціоністи вважають первинним не кількісна, а порядкове число. По-четверте, при такій інтерпретації натуральні числа - це ідеальні сутності, що не мають незалежного від розуму існування. Їх буття «вичерпується функціональною роллю, а також значенням існуючих між ними відносин більшого і меншого» 75. В цілому низку натуральних чисел являє нескінченність вільно обирають (конструюються) можливостей; завжди незавершену і не вичерпану послідовність розумових побудов; підстава всіх інших розділів математики. «Ряд натуральних чисел і що міститься в ньому інтуїція ітерації складає остання підстава математичного мислення. У нашому принципі ітерації знаходить своє вираження його (ряду) принципове вираз для побудови всієї будівлі математики »76. Ряд натуральних чисел підкоряється тільки принципом повної індукції і не потребує ніяких логічних формалізмах для конструювання своїх об'єктів. Інтуїционістському витлумачений ряд натуральних чисел незалежний від будь-яких логічних припущень. Інтуїционістськая концепція континууму представляє поширення ідеї вільних актів вибору на безліч дійсних чісел77. Головна проблема для Брауера полягала в тому, щоб поєднати ідею вільно що стає послідовності, кожен елемент якої підпорядковується певним правилам, з допущенням безперервності континууму, тобто неможливістю передбачити, яке число в послідовності буде наступним. Але Брауер зумів вирішити цю проблему, ввівши поняття послідовності вибору (вільно що стає послідовності) і побудувавши з його допомогою особливий тип безлічі (брауеровское безліч, зване також потоком). Брауеровское безліч є дерево виборів таке, що «кожен з вільно повторюваних виборів натуральних чисел або породжує певний член ряду, продовжуючи або закінчуючи весь процес, або робить його неприпустимим, знищуючи отриманий результат; після п - 1 допустимих виборів для кожного п> 1 можна точно встановити принаймні одне натуральне число в якості я-го члена послідовності, яке робить її допустимою. Кожна послідовність результатів виборів, отриманих таким чином, називається елементом даного мно-1 ftfi жества ». Сенс наведеного визначення стане зрозумілішим, якщо ввести додаткові роз'яснення. Назвемо послідовність виборів натуральних чисел допустимої,, якщо вона задовольняє деякому умовою, що дозволяє ефективно знаходити будь-який член послідовності. Допустима послідовність є членом брауеровско-го безлічі, якщо: - Для кожної кінцевої послідовності натуральних чисел можна визначити, допустима вона чи ні. - Якщо послідовність <дь а2, а3, а ", ап +]> допустима, то також допустима і послідовність <АІ аі,« з, - ап>. - Можна встановити допустиму послідовність довжиною 1, Т. е. <Яі>. - Якщо послідовність <АІ і2у а', ..., а "> допустима, або можна знайти натуральне число до таке, що послідовність <АІ а2у Д3, ап, до> допустима, або такого числа не існує (що рівносильно закінченню процесу вибору). Припишемо певне раціональне число кінцевої послідовності, яка допустима згідно із зазначеними умовами. Нехай дана послідовність натуральних чисел <дь а2> ае, ..., ап> така, що для кожного п вона допустима. Худа послідовність раціональних чисел виду гі = (<Д |>), г2 = (<аь а2>), г3 = (<аь «2, яз>), тобто послідовність <ги Г2, Г3, ... >, Представляє елемент брауеровского множини. Брауеровское безліч представляє інтуїционістському континуум, якщо і тільки якщо кожен його елемент є послідовністю раціональних чисел <л, п, ь, ...>, що задовольняє умові Початкова частина брауеровского безлічі, що породжує числовий континуум (0,1], наведена на рис. 4.2.
0 * 2 "J 1 -2" 3 2-2 и 3-2 "3 4-2 3 5-2 3 6-2 "1 7-2" 3 8-2 "3 Рис. 4.2. Початкова частина брауеровского безлічі Оскільки в процесі вибору в кожен момент часу відомий лише деякий початковий відрізок послідовності і ніякої інформації про її подальшому розвитку за умовою вільного вибору немає, тільки початкові відрізки можуть використовуватися для вирішення, чи залишає нове натуральне число розпочату послідовність допустимої чи ні. Це твердження відоме як принцип безперервності Брауера. Якщо кожній послідовності вибору брауеровского безлічі <а-і, аг. аз вп> зіставлено число rn, то значення останнього залежить тільки від початкового сегмента даної послідовності <аі, аг, аз, ... a "_i>, тобто всі послідовності вибору, що стартують з цього ж сегмента, збігаються з <3i, аг, аз * ..., а">. Згідно з принципом безперервності, кожна функція, певна всюди на замкнутому інтервалі, рівномірно безперервна. Він лежить в основі докази головною теореми Брауера про кінцевих множинах, фан-теореми, (брауеровское безліч звичайно, якщо для кожного п можна скласти список всіх послідовностей довжини л) 78. Якщо кожній послідовності вибору кінцевого брауеровского безлічі число гт таке, що для всіх на підставі перших т значень послідовності <аі, аг, аз Ет, Ед>. інтуїционістському тлумачення континууму дійсних чисел радикально несумісне з основами класичного аналізу. По-перше, воно виключає допущення актуальної нескінченності і вводить допущення потенційної нескінченності. Згідно Вейлю, незважаючи на всі досягнення теоретико-множинного обгрунтування аналізу, для нього характерне «нічим не обмежене застосування термінів 'все' і 'существует1 не тільки до натуральних числах, але також і до місць в континуумі, тобто до можливих послідовностей або множинам натуральних чисел. У цьому і полягає сутність теорії множин: вона розглядає як замкнутої сукупності існуючих самих по собі предметів не тільки числовий ряд, але і сукупність його підмножин. Тому вона цілком базується на грунті актуально нескінченного »79. По-друге, нова інтерпретація континууму тягне нову інтерпретацію логічних кванторів. «[Екзистенціальне] висловлювання (Ех) Ах сприймається нами як неповне повідомлення про (потенційної) можливості побудови конкретного дійсного числа з властивістю А, у той час як загальне висловлювання (х) Ах висловлює деяке властивість потоку стають послідовностей (елементів брауеровского множини. - В. С.). Таким чином, на відміну від традиційної ситуації, квантори існування і спільності мають зовсім різні області інтерпретації, що позбавляє сили (а часом і сенсу) багато законів класичної логіки, зокрема, принципову для трансфінітних випадків закону виключеного третього еквівалентність -, (х) Ах ~-і (Ях)-Ах »109. По-третє, принцип безперервності Бауера суперечить класичним визначенням послідовності і проводить, на думку багатьох аналітиків, нездоланну межу між интуиционистской і класичної математикою. Центральним поняттям интуиционистской математики є брауеровское безліч. Остання являє математичну модель потенційної нескінченності - ніколи не завершене, але здатне до безперервного конструювання нових елементів дерево. Послідовно конструюються ряд натуральних чисел - найпростіша модель потенційної нескінченності, континуум дійсних чисел - найповніша. Інтуїционістськая математика постає наукою про потенційно нескінченних і конструктивно створюваних розумових конструкціях.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "Інтуїционістськая математика" |
||
|
||