1. Рахунок і нескінченність

Як видно, рахунок заснований на ідеї встановлення одно-однозначної відповідності, яка і є базисної логічної ідеєю. Але в цьому випадку можна відмовитися від «посередництва» чисел і прямо порівнювати розміри множин шляхом встановлення одно-однозначної відповідності між елементами множин. Рахунок може розглядатися як встановлення існування одно-однозначної відповідності між кінцевим безліччю об'єктів і підмножиною натуральних чисел.

Слід зазначити, що концепція відповідності може розглядатися як логічна, і враховуючи базисність цієї концепції,

можна зрозуміти правдоподібність логіцістской позиції Фреге і Рассела, згідно з якою математика є логіка. Ця позиція посилюється, якщо врахувати, що саме поняття безлічі також визначається логічно. Це не аргумент на користь логіцізма, а деякого роду психологічний пояснення, яке свідчить на його користь. Вельми переконливо такий підхід представлений в знаменитій книзі Б. Рассела Введення в математичну філософіюкоторая є нетехнічних викладом системи Principia Mathematica Б. Рассела і А.Н. Уайтхеда, вершини другого етапу математичної логіки і основ математики.

У застосуванні до кінцевих множинам встановлення того факту, що два безлічі мають однакову кількість елементів, через одне-однозначна відповідність, майже тривіальна. Основний інтерес представляє поширення такого подання на всі множини, включаючи нескінченні. Саме це було зроблено Г. Кантором і призвело до теорії трансфінітних чисел. Але слід мати на увазі, що виникає на цьому шляху узагальнене поняття числа, а саме, кардинального числа, радикально змінює існувало до Кантора уявлення про нескінченність.

Поширення ідеї одно-однозначної відповідності на нескінченні множини стикається з труднощами, яка була відома ще Галілею. Справа в тому, що нескінченні множини мають парадоксальне властивість: нескінченна безліч може бути поставлено в одно-однозначна відповідність із власним підмножиною. Так, безліч натуральних чисел може бути поставлено в таку відповідність з безліччю парних або ж непарних чисел.

1 Рассел Б. Введення в математичну філософію / Пер. В.В. Целіщев-ва. -М.: Гнозис, 1996. таться показником його «розміру». Таким чином, поняття числа елементів множини взагалі не підходить до нескінченних множинам. Тут ми маємо деякого роду діалектичний поворот: спершу ми вважаємо, що безліч вимірюється відповідним йому числом, через встановлення одно-однозначної відповідності між елементами множини і натуральними числами. Потім ідея такої відповідності поширюється на нескінченні множини. У результаті ми отримуємо, що до них поняття числа не застосовується взагалі.

Це може означати, що нескінченність як поняття заперечує поняття счетності. У певному сенсі виявляється, що все нескінченні множини мають один і той же «розмір», який якось перевищує розмір кінцевих множин. «Якось» ставиться до того факту, що немає можливості зіставити «розмір» нескінченних множин і розмір кінцевих множин. Однак виявилося, що деякі нескінченні множини не можуть бути поставлені в одно-однозначна відповідність один з одним. Значить, ідея розміру нескінченних множин має сенс, і тоді висновок про «однаковість» усіх нескінченних множин валиться. Доказ цього дивного факту дав Г. Кантор.

Нескінченними множинами, які в першу чергу приходять в голову, є безліч натуральних чисел і безліч дійсних чисел. Кантор показав, що не існує одно-однозначної відповідності між елементами двох цих множин. Але якщо це так, тоді серед нескінченних множин одне може бути «більше», а інше «менше», хоча таке впорядкування не схоже на впорядкування по величині серед натуральних чисел. Частиною цього докази є встановлення (Кантором же), що для будь-якого безлічі Л (кінцевого або нескінченного) не може бути одно-однозначної відповідності між А і безліччю всіх його підмножин (безліч-ступінь А). З цього твердження випливає, що безліч натуральних чисел не може бути поставлено в одно-однозначна відповідність з його безліччю-ступенем. Тепер, кожна підмножина безлічі натуральних чисел може бути поставлено єдиним чином у відповідність з нескінченною послідовністю нулів і одиниць. Кожна така послідовність розглядається як бінарне десяткове подання дійсного числа в інтервалі (0, 1), і значить, представляє точку на лінії, і оскільки дійсні числа вказують всі точки на лінії, це все означає, що натуральні числа не можуть бути поставлені в одно- однозначна відповідність з точками на лінії.

Будь математична ідея є частково наслідком раніше встановлених результатів, і частково наслідком введених визначень. Не менш важливі неявні або явні припущення, що лежать в основі математичного міркування. Відступаючи від «діалектичного» уявлення введення заходів нескінченних множин, уявімо структуру підходу до цього питання Кантора.

Як визначення виступає наступне твердження: Безліч є деяка сукупність певних та окремих об'єктів, зібраних в ціле нашою інтуїцією або думкою. Це визначення представляє найбільш природне, і в той же самий час, саме проблематичне опис збирання об'єктів думки в безліч. Сам акт збирання найвищою мірою ідеальний, що вводить в точні концепції розпливчасті принципи типу Принципу рефлексивних.

Як припущення береться наступне твердження: Кожне безліч має певну «потужність», або «кардинальне число. Тут присутній акт постулирования нового типу числа, яке належить узгодити зі звичайним поняттям числа, і «зробити» для таких чисел арифметику.

В якості знову-таки визначення виступає наступне твердження: Два безлічі мають одну і ту ж потужність, або кардинальне число, якщо і тільки якщо, є одне-однозначна відповідність між ними. Кантор так коментує це визначення: «Ми назвемо" потужністю "або" кардинальним числом "безлічі М загальну концепцію, яка за допомогою нашої активної здатності думки виникає з сукупності М, коли ми абстрагуємося від природи її елементів і порядку, в якому вони розташовані» 59.

З філософської точки зору складність полягає в тому, що освіта множини є чисто розумовою актом, який може бути чистим свавіллям; наприклад, в безліч можуть бути об'єднані елементи, які не мають між собою нічого спільного. Відомо, що множини можуть бути задані через обсяг (екстенсіонально) або переліком елементів, або ж через породжують-щее властивість (интенсиональное), властиве всім елементам множини. У разі кінцевих множин, якщо у його елементів немає загальної властивості, безліч можна задати переліком елементів. Але як це зробити у випадку нескінченної кількості? Вважається, що нескінченні множини можуть бути задані тільки через породжує властивість. Якщо це так, то порушується аналогія між кінцевими і нескінченними множинами, в якій був зацікавлений Кантор, який вважав, що всяке безліч визначається його елементами. Якщо ця умова не буде дотримана, тоді неможливо буде приписати нескінченного безлічі розмір. І ось тут Кантор вводить чисто філософське припущення про те, що нескінченна безліч також може бути задане переліком, і неможливість такого людського уявного акта означає просто обмеженість людського інтелекту, тобто в принципі нескінченні множини можуть бути виміряні (через число елементів), але для цього треба їх «порахувати».

Інформація, релевантна " 1. Рахунок і нескінченність "

1. 5. Про підхід П.С. Новикова
   рахунок переходу від финитной логіки до логіки трансфинитной із суворим збереженням, проте, принципу конструктивності, що усуває закон виключеного третього. На цій розширеній интуиционистской основі П.С. Новиков строго обгрунтовує несуперечливість арифметики, а також несуперечливість теорії типів з аксіомою нескінченності, тобто частина теорії множин, охоплювану теоретико-типовий
   
2. Р) Кінцівка з точки зору рефлексії,
   нескінченного. Ця протилежність приймає різні форми. Виникає питання: які ж ці форми? У точці зору, заснованої на рефлексії, наявна звільнення від кінцівки, однак і тут справжня нескінченність виступає лише у вигляді знятої кінцівки. Встає, отже, питання: чи може рефлексія вважати кінцеве як у собі нікчемне (Nichtige), або вона йде не далі, ніж
   
3. § 90. Більш точне визначення способу дій субстанції
   нескінченні ухвали або атрибути подібно вічним і нескінченним властивостями або станам цих визначень випливають безпосередньо з бога, а подальші більш спеціальні визначення цих властивостей або ці стани, як вони самі в свою чергу визначені будь-яким чином, і кінцеві речі випливають з нього опосередкованим чином. Все, що випливає з нескінченної або абсолютної природи атрибута
   
4. ВИСНОВОК
   рахунок екологізації способу життя будуть забезпечені нормальні умови нині сущим і наступним поколінням. Для побудови суспільства сталого розвитку людству необхідно вирішити ряд проблем: домогтися регулювання чисельності народонаселення, яка не повинна перевищувати підтримую ємність планети (10-12 млрд. чоловік). Це можна зробити за рахунок підвищення рівня життя і
   
5. Клас (безліч)
   рахунку, наприклад, нескінченним класом є клас всіх парних чисел; невизначеними; порожніми, т. е . зовсім не містити елементів, і універсальними, які противополагаются порожнім класам і складаються з усіх об'єктів підлягає розгляду предметної
   
6. МНОЖИНИ
   нескінченності, де показується, що логіка нескінченності Кантора розвивалася поступово. Наприклад, незалежне в значній мірі введення кардинальних і ординальних чисел привело до деяких аномалій, які були ліквідовані пізніше. Саме логіка (і якщо так можна висловитися, діалектика) побудови теорії трансфінітних чисел є предметом нашого розгляду. І хоча філософію
   
7. Доводи проти ідеї множинності
   нескінченності, бо, скільки б ми не ділили, все одно залишаться вимірні частини, які теж можна буде ділити, і т. д. Але в цьому випадку ми можемо стверджувати, що лінія складається з нескінченного числа частин, що володіють розміром. Тоді ця лінія повинна бути нескінченно великою, бо вона складається з нескінченного числа тел. Звідси все в світі має бути нескінченно великим, і a fortiori11 світ сам по
   
8. РР) Протилежність кінцевого і нескінченного
     безкінечного так, як вона існує в рефлексії як такої. Ця протилежність є кінцівку, протиставлена нескінченності, і обидві вони покладені для себе не як прості предикати, але як істотна протилежність і так, що одне визначено як інше іншого. Кінцівка і тут залишається саме тому, що нескінченне, яке їй протистоїть, саме є кінцеве, причому таке,
   
9. ЗЕМНА ЕТІКА15
     нескінченно далеко до своєї межі, хоча багато чого в науці неясно, суперечливо, зовсім незрозуміло, але поки кращої опори немає. Через тисячу або мільйони років прийдуть до інших висновків, більш повним, більш свіжим і зовсім новим, але ми цієї науки ще не знаємо і тому підстави в ній мати не можемо. Виходячи з поняття про нескінченність, не порушуючи матеріалістичного монізму, ми можемо і зараз
   
10. Глава перша
      нескінченного розширення будь-якого визначення способом, зазначеним у попередньому примітці. - 97. 7 Безмежна, наприклад безмежне рух, визначно кінцевим числом термінів. -
    
11. 2. Теорію позитивної теоретичної метафізики можна викласти несуперечливо.
      нескінченності, судження, фіксуючого певну часову точку в нескінченній тимчасової тривалості), а також з судження 1 А виводиться судження В: "До даного моменту часу пройшов нескінченний ряд подій" - і судження 1 В: "До даного моменту часу не пройшов нескінченний ряд подій ", так як нескінченний ряд по подразумеваемому в тексті визначенням не має кінця. Звідси Кант робить висновок, що
    
12. ГЛАВА СЬОМА
      нескінченне при діленні саме таке; адже нескінченне охоплюється 207ь як матерія, що лежить всередині, охоплює же його форма. Цілком розумно також і те, що для числа мається межа в напрямку до найменшого, а в напрямку до більшого воно завжди перевершує будь безліч, для величі ж навпаки: у напрямку до 5 меншому вона перевершує всі своєї малістю, а в напрямку до більшого
    
13. Анаксимандр
      рахунок іншого, тоді - якщо допустити, що основою всього в світі є вода, - дуже важко зрозуміти, чому інші елементи не виявилися давним-давно поглиненими нею. Таким чином, Анаксимандр прийшов до висновку, що вихідний Urstoff виділити неможливо. Він первісна протилежностей, бо з нього походить все суще і в нього все зникає по необхідності. Ім'я вихідного елементу
    
14. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
      рахунок свого місця в загальній системі мови, тобто за рахунок своєї відмінності від інших знаків. Чи відповідають речі словам? ? Необхідно відмовитися від ідеї мови перерахування. Слова - це не етикетки, розвішані на заздалегідь розмежовані речі. Це є дія людської мови, яка виробляє поділ реального; це дія за класифікацією шляхом абстрагування від того, що є