4. Спірні аксіоми

Ідея Геделя полягала в тому, щоб побудувати модель для обмеженою теорії множин (стандартної теорії без аксіоми вибо-pa), і довести, що в цій моделі аксіома вибору і континуум-гіпотеза є теоремами. Використання аксіом обмеженою теорії дає спочатку існування принаймні одного безлічі, потім існування нескінченної послідовності кінцевих множин, потім існування нескінченної кількості, потім існування нескінченної послідовності ще більших нескінченних множин і т.д. Така процедура забезпечує клас множин, що конструюється послідовними кроками з простіших множин. Таким чином отримані безлічі Г Едель називає «конструюються» множинами, і їх існування гарантується аксіомами обмеженою теорії множин. Після цього Гедель показує, що в області конструюються множин можуть бути доведені аксіома вибору і континуум-гіпотеза. Таким чином, континуум-гіпотеза доведена, але за умови, що приймається аксіома про існування тільки лише конструюються множин. Питання полягає в тому, чи виправдана ця аксіома.

Питання про інтуїтивної ясності таких аксіом теорії множин, як аксіома конструюються ™, відпадає відразу. Наприклад, відразу виникає підозра, що для визнання деякої сукупності безліччю навряд чи необхідно наполягати на тому, що безліч має бути сконструіруемо згідно деякої формулою. Універсум множин, який конструюється за подібного роду формулою, універсум, створений за рецептом Геделя, позначається через L. Універсум множин, отриманий застосуванням принципу рефлексивності, позначається через V. Доказ Геделем континуум-гіпотези вимагає аксіоми конструюються ™ V = L. Сам Гедель визначив ситуацію таким чином: «Є два абсолютно відмінним чином певні класи об'єктів, які задовольняють всім аксіомам теорії множин. Один клас складається з множин, визначених у деякій манері властивостями своїх елементів (L), другий - з множин в сенсі довільних сукупностей незалежно від того, як вони визначені (У). А тепер, до того, як буде встановлено, які об'єкти підлягають рахунком, і на підставі якого одно-однозначної відповідності, навряд чи можливо визначити ЇХ ЧИСЛО »109.

У більш точному поданні результат Геделя виглядає так. Якщо ZFC (система Цермело - Френкеля з аксіомою вибору) несуперечлива, тоді несуперечливої є система ZFC + V = L.

Так як V = L тягне континуум-гіпотезу (СІ), ZFC + СН несуперечлива. Тому в системі ZFC не можна довести заперечення СН. Але всі ці доведені факти нічого не говорять нам про істинність V = L.

Так варто чи ні приймати цю аксіому? Серед її безперечних переваг - доказ континуум-гіпотези. Але може статися, що гіпотеза несе в собі занадто багато обмежень, а сама континуум-гіпотеза буде доведена в іншій системі аксіом. Дійсно, «хоча аксіоми ZFC не можуть довести СН, немає нічого священного в цих аксіомах, і можна буде знайти інші аксіоми, які будуть більш ясними щодо нашого поняття множини і які встановлять СН» 110.

Сумніви щодо придатності прийнятої в якості стандартної системи аксіом Гедель переносить і на саму континуум-гіпотезу. Так, «деякі факти [невідомі в часи Кантора] вказують на те, що канторовской здогад може виявитися неправильною ...» 111 Правда, сумніви ці не цілком обгрунтовані, оскільки Гедель посилається не стільки на факти, скільки на інтуїцію. Ці інтуїтивні міркування не приймаються всіма за остаточний вердикт. Так, Д. Мартін зауважує: «Гедель цитує кілька фактів в якості свідчень проти КГ. Він перераховує деяке число наслідків континуум-гіпотези, які вважає інтуїтивно неправдоподібними. Ці слідства стверджують, що існує кожне тонке підмножина дійсної прямої кардинальності континууму. Гедель каже, що такі твердження суперечать інтуїції в іншому сенсі, ніж протиріччя в інтуїції щодо існування кривої Пеано. Хоча не можна легковажно ставиться до інтуїції Геделя, важко зрозуміти, чому ситуація відмінна від ситуації з кривою Пеано, і деяким з нас важко зрозуміти навіть те, чому деякі цитовані Геделем приклади суперечать інтуїції »112. Більшість дослідників, слідом за Геделем, в даний час не вірить в аксіому конструюються ™. Найвагомішою причиною такої зневіри є те, що вона занадто обмежувальними. Так, Д. Скотт свідчить: «Як би не були прекрасні Геделі-ви так звані конструюються безлічі, вони є спеціальними сутностями, майже мінімальними у виконанні формальних аксіом в мові першого порядку. Вони просто не схоплюють поняття безлічі загалом (і вони не мають цього і на увазі) »113. Інше свідчення: «Ключовий аргумент проти прийняття V = L полягає в тому, що аксіома конструюються ™ неправильно обмежує понятае довільного безлічі» 114.

Таким чином, основні труднощі з прийняттям аксіоми конструюються ™ полягають у тому, що вона вимагає, щоб кожне безліч було визначно абсолютно однорідним шляхом. Це суперечить інтуїції поняття множини. Більше того, як і у випадку з континуум-гіпотезою, аксіома конструируемого піддає реалістичне свідомість математика нових випробувань. Справа в тому, що з точки зору реалізму ця аксіома або істинна, або помилкова, і явно недостатньо простої фіксації факту, що ZFC + У = L і ZFC + УФ L одно прийнятні, тому що обидва вони не суперечать ZFC.

Якщо внутріматематіческіе критерії прийняття аксіоми не дозволяють прийти до певного вердикту щодо її істинності, слід вдатися до «зовнішнім» критеріям. П. Медді вважає, що таким зовнішнім критерієм можуть з'явитися розгляду, пов'язані зі зміною парадигм в математиці. Правда, вона при цьому не вдається до термінології Т. Куна, і замість терміна «парадигма» вживає термін «методологічна максима», а в усьому іншому картина та ж. Розвиток науки відповідає наступній парадигмі (максими), а саме, 1) сильна і ефективна методологічна максима формулюється узагальненням успішної наукової практики; 2) поступово накопичуються аномалії; 3) виникає нова альтернативна максима, яка витісняє стару.

Отже, математична максима, про яку йде мова, це вимога, щоб всі математичні об'єкти були определіми строго однорідним шляхом. Історично дискусії з приводу цієї максими, точніше, її становлення, пов'язані з поняттям функції. Декарт розрізняв «геометричні» криві, які визначаються рівняннями, і «механічні» криві, для яких це неможливо. Народження максими пов'язано з переконанням, що увага математика має бути обмежена кривими першого роду. Ейлер був точніший, і говорив про функції, які не мають аналітичного подання. Фур'є, показавши, що будь-яку функцію можна представити у вигляді нескінченного тригонометричного ряду, зміцнив максиму. Одна з аномалій, пов'язана з цією максимою, в явному вигляді була виражена Ріманом. Він дав величезне число незвичайних функцій, які не можуть бути представлені рядами Фур'є. І саме такі функції відіграють важливу роль в обгрунтуванні аналізу. Подальший розвиток поняття функції як довільного відповідності призвело до іншої аномалії, що складалася в тому, що є такі функції, які неможливо визначити. Як виявилося, в основі такого подання лежить аксіома вибору, яка стверджує існування неспеціфіцірованного множини. Таким чином, максими, згідно з якою всяка функція визначна, протистоїть в результаті накопичення аномалій максима, згідно з якою поняття функції пов'язано з комбінаторними уявленнями.

Нескладно встановити зв'язок аксіоми конструируемого з двома максимами. Аксіома встановлює, що множини определіми в однорідної, більш точної, предикативне манері. Таким чином, V = L пов'язана зі старою максимою визначно функції, в той час як заперечення аксіоми пов'язано з новою комбінаторної максимою. Медді резюмує, що «.. . Глибоке і поширене опір додаванню V = L в якості нової аксіоми здається раціональним »115.

Однак суперечки навколо аксіоми конструируемого навряд чи настільки ж тісно пов'язані зі зміною однієї методологічної максими другий максимою, як це має місце у випадку зміни однієї парадигми інший парадигмою в емпіричних науках. Паралелі в даному випадку не відповідають видам зв'язку, які мають з філософією математика і, скажімо, фізика. Аномалії у фізиці, перш за все, пов'язані з експериментальними даними, чого не може бути в математиці. Апеляція до більш загальному поняттю практики, при якому уявні експерименти замінюють собою реальні експерименти, навряд чи допоможе проясненню ситуацію з такими речами, як прийняття або відкидання нової аксіоми. У кінцевому рахунку, у разі математики все обмежується загальними підозрами. «Прихильники комбінаторної максими допускають, що до 60-х років V = L була досить гнучким інструментом для того, щоб впоратися з усіма аномаліями для попередньої версії максими оп-ределімості, і тому можна було несуперечливо припускати, що всі комбінаторно певні безлічі опиняться на деякому рівні конструкціями L, але подальший розвиток досліджень призводить до підозрою, що виникнуть нові аномалії і що прийняття V = L обмежить плідні дослідження. Я пропоную цю лінію дослідження як правдоподібну реконструкцію випадки проти V = L, яка лежить в основі загального заперечення проти "обмежувальні" аксіоми »116.

Інформація, релевантна " 4. Спірні аксіоми "

1. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
2. Аксіома вибору
   спірної аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору полягає в тому, що багато хто знаходить
   
3. 2. Зміна завдання
   спірно доведений факт, і в цьому сенсі програма логіцізма терпить повну поразку. Але завдання обгрунтування математики і завдання відомості математики до логіки - це різні завдання. Якби нам вдалося, не проводячи редукції AM до L, проте обгрунтувати несуперечливість (L + AM), то завдання обгрунтування теорії, що має дану структуру, була б вирішена відповідно до її розумінням, роз'ясненим
   
4. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
   аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
   
5. Властивості бінарних відносин
   Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
   
6. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
     аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
   
7. Аксіома пари
     аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
   
8. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
     аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
   
9. Несуперечливість завершеною аксіоматики
     аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
   
10. Предметний покажчик
      аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
    
11. 6. Загальні зауваження та висновки
      аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
    
12. ГЛАВА ТРЕТЯ
      аксіомами, з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все, тому що вони істинні для сущого як такого, а кожен рід є суще; але їх застосовують настільки, 26 наскільки це
    
13. 3.3. Опосередковані умовиводи. Простий категоричний силогізм
      Структура простого категоричного силогізму Категоричний силогізм - це таке опосередковане дедуктивний умовивід, посилками і укладанням якого є категоричні судження. Наприклад: Всі риби дихають зябрами Карась - риба Карась дихає зябрами Поняття, що є суб'єктом укладення, називається меншим терміном і позначається символічно «S». У наведеному вище прикладі йому
    
14. ТРИВИМІРНА ВЛАДА
      спірним твердженням за досить вузькому колу питань. Там дається визначення поняття влади і при цьому стверджується, що воно є «спірним за своєю суттю», а також, що пропонований концептуальний аналіз краще тих, які піддаються критиці, тому що він намічає спосіб аналізу влади, який в один і той же час - ціннісний, теоретичний і емпіричний. Як було показано, ці претензії
    
15. 4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії
      аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії. Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії.
    
16. Глава XI МЕТОД НАУК, зведення до восьми основних ПРАВИЛАМИ
      аксіом і можуть бути віднесені до другої частини. 5-е і 6-е стосуються умовиводів, і їх можна віднести до третьої частини. Нарешті, два останніх стосуються порядку і відносяться до четвертої частини. Два правила відносно визначень 1. Не залишати без визначення жодного скільки-небудь неясного або неоднозначного терміну. 2. Використовувати у визначеннях тільки добре відомі або
    
17. Глава VII ДЕЯКІ ВАЖЛИВІ АКСІОМИ, КОИ МОЖУТЬ СЛУЖИТИ відправних положень ДЛЯ ВИВЕДЕННЯ ВЕЛИКИХ ІСТИН
      аксіом і принципів, які, будучи ясними і безперечними, могли б служити нам основою для пізнання найпотаємніших речей. Однак ті, які зазвичай висувають, малозастосовні, і внаніе їх нічого не дає. Те, що називають першим принципом пізнання, - Неможливо, щоб одна і та ж річ існувала і не існувала - вельми ясно і вельми достовірно, по я не знаю випадку, коли цей принцип допоміг би
    
18. 8. Формалізація аксіом
      аксіому, що дві точки, А і В, можуть з'єднуватися тільки однієї прямою лінією (аксіома I). У цьому випадку за допомогою діаграм, наведених на рис. 23 і 24, ми вивели висновок, що дві прямі лінії можуть перетинатися тільки або в одній точці або не перетинатися зовсім (рис. 23). Якщо на рис. 24 лінії Р і Р 'перетиналися б не тільки в точці Ау але і в другій точці Ву то ми мали б фіг. 23,
    
19. 4. Праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
      спірною істини. К. Гедедоь допускав, що самоочевидність цієї аксіоми може бути використана для безпосереднього обгрунтування її істинності. Його думка йшла в тому напрямку, що ця аксіома є аналітичною при деякому більш широкому розумінні аналітичності, ніж тривіальна тавтологічность22. Праксеологічний аналіз, однак, показує, що тут ми маємо справу з синтетичним