Аксіома безлічі-ступеня

\ / х Еу Vz [z є у Vw (we z => w є *)].

У певному сенсі ця аксіома «вибивається» з ряду попередніх аксіом, які призначені обмежити розмір одержуваних множин, щоб уникнути парадоксів. Саме це міркування, з нашої точки зору, було покладено в основу класифікації аксіом Френкелем і Бар-Хиллел на «конструктивні аксіоми загальної теорії множин», куди входить аксіома ступеня-множини, і «обмеження», куди входять аксіома нескінченності, аксіома за-міщення , аксіома фундування. Пізніші автори воліють інший порядок аксіом (наприклад, М.

У певному сенсі виникнення теорії множин взагалі зобов'язане цій аксіомі, або точніше, ідеї, що лежить в основі цієї аксіоми. Встановлення Кантором важливого результату про те, що для будь-якого безлічі (кінцевого або нескінченного) кардинальне число Р (а) має бути більше кардинального числа а, привело його до думки, що можливо розширення поняття числа на нескінченні сукупності.

Інформація, релевантна " Аксіома безлічі-ступеня "

1. Аксіома заміщення
   аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин. Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел
   
2. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
3. Аксіома вибору
   аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
   
4. 2. «Прості» аксіоми
   аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
   
5. 3. «Просунуті» аксіоми
   аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології перекладу класичної книги Френкеля і Бар-Хіллела. Аксіома фундування
   
6. Аксіома виділення
   аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно
   
7. Аксіома пари
   аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
   
8. 3. Дозвіл парадоксу
   аксіоми безлічі-ступеня. З першого погляду ця теорема суперечить теоремі Кантора, згідно з якою в даному випадку елементи множини-ступеня цілих чисел не можуть бути по-3. ДОЗВІЛ парадоксів ставлени в 1-1 відповідність з цілими числами. З теореми ж Левенгейма - Сколема випливає, що аксіоми Цермело - Френкеля мають справу щонайбільше з рахунковим числом об'єктів, і звідси,
   
9. 2. Зміна завдання
   аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
   
10. Аксіома нескінченності
    аксіомі, містить послідовність {0, {0}, {0, {0}} }, {0, {0}, {0, {0}}}, ... . 0 12 березня Аксіома нескінченності не викликає зараз особливих хвилювань серед математиків. Наприклад, М. Тайлс каже, що викладені вище п'ять аксіом «не уявляють особливих проблем», а ось осталь-ні аксіоми менш ясни94. Інша точка зору висловлена в класичному огляді А. Френкеля та І. Бар-Хіллела
    
11. 4. Праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
    аксіома розпадається на три положення, кожне з яких вимагає особливого обговорення. Вона припускає диз'юнктивний характер безлічі, тобто розчленованість його на елементи, відокремлювані від безлічі в цілому, здійснимість вибору для довільної сукупності множин і то допущення, що результат вибору буде безліччю, допустимим в якості об'єкта суворого математичного міркування, на відміну
    
12. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
    
13. Аксіома порожнього безлічі
    аксіома представляє технічний інтерес, будучи відправною точкою конструювання всіх інших множин. Однак з епістемологічної точки зору вона дуже важлива. Справа в тому, що прийнято проводити розділову лінію між логікою і теорією множин таким чином, щоб всі екзистенційні твердження належали теорії множин, в той час як логіка нічого не говорить про їх існування.
    
14. 6. Загальні зауваження і висновки
    аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
    
15. 7. Операціональні визначення
    аксіома X щодо так званих операціональних визначень. Якщо застосовувати її до випадку електричного поля, що характеризується напруженістю Е, то ця аксіома стверджує, що Е 'набуває фізичне значення тільки тоді, коли наказується процедура для вимірювання величини Е. Але це невірно: вимірювання дозволяють нам визначити тільки кінцеве число значень функції, більше того , вони
    
16. 5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин
    аксіоми нескінченності і аксіоми вибору відкриває певний шлях включення логіцістского аналізу в обгрунтування теорії множин. Початковий (сильний) теза логіцізма полягав у тому, що вся математика зводиться до загальнозначущих судженням логіки. Після з'ясування незвідність аксіоми нескінченності і аксіоми вибору претензії логіцізма були зведені до становища (можна назвати його помірним тезою
    
17. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
    аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж . Берроу. Пі на