2. «Прості» аксіоми

Але оскільки основна увага в літературі приділяється системі Цермело - Френкеля, що виправдано як історично, так і практично, далі ми розглянемо аксіоми цієї системи, в міру можливості доповнюючи їх коментарями (хоча при звичайному викладі стандартні аксіоми таких коментарів не вимагають в силу горезвісної їх ясності). Основна увага при цьому буде приділена співвідношенню «філософських» мотивів введення аксіом і прагматичних математичних мотивів.

Як звичайно, передбачається, що аксіоми істинні в галузі математичних сутностей певного роду - универсуме множин. Всі індивідуальна змінні х, у, z приймають значення в універсумі множин. Існує єдине невизначене ставлення «є», яке інтерпретується як відношення членства, так що «а є Ь» означає на є елемент Ь ».

Інформація, релевантна " 2. «Прості» аксіоми "

1. Математичні аксіоми
   Ад. а = а (кожне натуральне число рав але самому собі). Аю. a ~ bi> (. Аа z> Ab) (рівні натуральні числа про ладан рівними властивостями). Ац.а '* 0 (ні одне натуральне число, безпосередньо наступне за натуральним числом а, не дорівнює 0). А12. Л (0) & (x) (/ 4x zd Ах ') zd Аа (аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула
   
2. Аксіома вибору
   Якщо а є безліч, всі елементи якого не порожні множини, жодне з яких не має спільних елементів один з одним, тоді є безліч с, яке має точно один загальний елемент з кожним елементом a Vx [\ / y (ye x = »-i (y = 0)) & V7 Vz (ye x & ze x (y = z) = »=> -1 (3w {we у & we z))) => 3aVj (y6x = ^ 3z (ze і && ze у & Vw (we u & wey => w = z)))]. Аксіома вибору має відмінний від інших аксіом
   
3. 2. Зміна завдання
   В даний час ідея зведення до логіці не розглядається як перспективна для обгрунтування математики. Існує думка, що на відміну від інтуїционізма і формалізму логіцизм не виробив продуктивних ідей і в даний час може розглядатися як має лише історичний інтерес. Така оцінка представляється не зовсім вірною. Вона виходить тільки з факту нереализуемости вихідних завдань
   
4. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
   На відміну від формалістів Гедель вірив, що математична істина є об'єктивна істина про що-то такому, що реально існує, і не є однією зі сторін творчої діяльності розуму. Але такі ідеї могли бути зустрінуті в 1930 році з презирством, так що цей філософський погляд не був згаданий явно в його викладі теорем про неповноту. Тут, як і у всіх аспектах свого життя, Гедель був
   
5. Властивості бінарних відносин
   Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
   
6. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
   Особливістю зрілої математичної теорії, як уже сказано, є прямий зв'язок фактів і принципів, при якій факти однозначно визначають систему необхідних принципів. Оскільки істинність фактів в деяких випадках може бути визнана безпосередньо, без звернення до аксіом, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх
   
7. Аксіома пари
   Наступною аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати
   
8. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
   Ми повинні залишити тут сферу чистої логіки і використовувати деякого роду методологічні доводи. Ми будемо виходити з факту ретротрансляціі математичної істини, а також з міркувань, пов'язаних з видимістю системи тверджень, що належать елементарного фрагменту теорії. Як ми з'ясували, протиріччя в системі аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна
   
9. Несуперечність завершеною аксіоматики
   З факту завершеності аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи
   
10. Предметний покажчик
    Аксіома - нескінченності 168-170, 175, 180 - вибору 123, 168, 169, 176-178, 197, 206, 215 - виділення 123, 180 - безперервності 156 - об'єктивності 180 - рівності 203 - сводимости 168 - трансфинитное 203 - фундування 221, 223 - числа 203 Абсолютна істина 98, 101 Аналітичність - логіки 102, 103, 107 - математики 52 Апріорність 42-61 - категорій 42-61 - логіки 102
    
11. 6. Загальні зауваження і висновки
    У загальній схемі розвитку наукової теорії, заснованої на досвіді, яку деякі філософи вважають що має силу і для математики, всяка стабілізація принципів має тимчасовий характер і означає лише деяка перерва в процесі поглиблення основ. Доводи, викладені тут, показують, що ця схема »неп відображає логіки становлення математичної теорії. Стабільність математичних принципів (аксіом)
    
12. ГЛАВА ТРЕТЯ
    Тепер слід пояснити, чи повинна одна наука 20 пли різні займатися, з одного боку, тим, що в математиці називається аксіомами , з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все,