Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002 - перейти до змісту підручника

3. «Просунуті» аксіоми

Незважаючи на наведені вище розлогі коментарі до цих декільком аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології перекладу класичної книги Френкеля і Бар-Хіллела.

Аксіома фундування

Якщо a - непорожнє безліч, тоді є елемент Комерсант безлічі а такий, що немає множин, які належать обом множинам а і b

(Vx) [-, (* = Л) => (Еу) (уе x & (Vz) (ze * => -, (zey))].

Основна ідея цієї аксіоми відноситься до обмеження способу утворення множин з інших множин. Число операцій за освітою множин не повинно бути нескінченним, щоб уникнути створення занадто великих множин. Система Цермело - Френкеля використовує тільки кінцеве число ітерацій при збиранні разом всіх продуктів кінцевих ітерацій. При цьому аксіома не дозволяє утворити безліч, що належить самому собі. У технічному відношенні вміст аксіоми таке: вона стверджує, що в будь-якій безлічі є елементи, мінімальні при відношенні членства. Тобто навіть коли ми маємо нескінченну безліч S, S не може містити нескінченної послідовності Х = { х.: і є N &-і (х. = Л)} членів таких, що ... є х2 є xl є ХІУ Тому що X було б безліччю, який має елемент, спільний з кожним з його елементів, оскільки для кожного х., jt належить х.

і X. Навіть безлічі типу зі, для яких Ое 1 є 2 є 3 є ..., містять в якості членів безлічі, які утворюються в результаті кінцевого числа додатків операції х і {х} до Л.

Як видно, крім обмеження розміру множин, є більш прямі шляхи уникнення парадоксів, зокрема парадоксу Рассела. Наведена аксіома виключає членство безлічі в самому собі, а також петлі типу А є В і В є А. Однак така прямота значною мірою є ілюзією, тому що основні результати теорії множин можна довести і без цієї аксіоми. Аксіоми представляють собою простий перелік теоретичних тверджень, які дозволяють вивести всі найважливіші результати неформальної теорії множин, і при цьому уникнути парадоксів. Крім блокування парадоксу Рассела ця аксіома цікава в іншому відношенні. Світ множин може бути структурований за стадіями конструювання множин: VQ - безліч всіх не-мно-дружність, тобто безліч звичайних об'єктів, Vy - всі об'єкти і безлічі всіх об'єктів і т.д. Так от, аксіома фундування в присутності інших аксіом рівносильна твердженням, що кожне безліч є член деякого Va, тобто не виходить за рамки вже отриманих конструкцій. Ця ідея Цермело ув'язується їм з поняттям «базису» - безліччю індивідів області (аксіома фундування також має англійську назву Grounding), і V0 збігається з базисом. Саме тому не існує низхідній епсилон-ланцюга. Це важлива ідея в розумінні природи безлічі, і багато хто вважає, що ця ідея вбудована в концепцію стадійного побудови множин.

Цілком можливо й інше розуміння множин, яке порушує аксіому фундування. Але це були б, за термінологією Мириманова, «незвичайні безлічі», і щоб уникнути парадоксів він рекомендує дотримуватися тільки «звичайних множин». Дж. Булос виражається ще категоричніше, коли стверджує, що «ніяка область математики або теорії множин в загальному не потребує множинах, які не цілком-обгрунтовані» 102, тобто не впираються в базис.

Але саме останнє твердження викликає у багатьох дослідників сумніви в істинності аксіоми фундування, оскільки залишається відкритим питання про те, чи є всі безлічі «цілком-обгрунтованими». Приймати чи не приймати в якості «законних» множин не цілком обгрунтовані безлічі, питання складне. Якщо ми хочемо отримати максимальну спільність у трактуванні поняття безлічі, ми не повинні виключати не цілком обгрунтовані безлічі, але так як в математичній практиці такі множини не зустрічаються, їх можна назвати «монстрами» або «патологіями».

У кожному разі, недавно П. Ежель запропонував таку теорію множин, в якій аксіома фундування НЕ справедліва103. Стверджується, що в застосуванні до деяких проблем така теорія (AFA - Anti-Foundation Axiom) працює набагато краще, ніж система Цермело - Френкеля. Проте в рамках цієї теорії множин не вдається отримати правдоподібні інтуїтивні моделі. Так що аксіома фундування, будучи менш зрозумілою, ніж попередні аксіоми, таки належить до «класичного» набору аксіом.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна" 3. «Просунуті» аксіоми "
  1. Математичні аксіоми
    аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
  2. Аксіома заміщення
    аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин . Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел
  3. 2. «Прості» аксіоми
    аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
  4. Аксіома вибору
    аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
  5. 2. Зміна завдання
    аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
  6. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
    аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
  7. Аксіома виділення
    аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно
  8. Властивості бінарних відносин
    Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
  9. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
  10. Аксіома пари
    аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
  11. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
    аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
  12. Несуперечність завершеною аксіоматики
    аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
  13. Предметний покажчик
    аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
  14. 6. Загальні зауваження і висновки
    аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
  15. ГЛАВА ТРЕТЯ
    аксіомами, з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все, тому що вони істинні для сущого як такого, а кожен рід є суще; але їх застосовують настільки, 26 наскільки це
  16. 3.3. Опосередковані умовиводи. Простий категоричний силогізм
    Структура простого категоричного силогізму Категоричний силогізм - це таке опосередковане дедуктивний умовивід, посилками і укладанням якого є категоричні судження. Наприклад: Всі риби дихають зябрами Карась - риба Карась дихає зябрами Поняття, що є суб'єктом укладення, називається меншим терміном і позначається символічно «S». У наведеному вище прикладі йому
  17. 4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії
    аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії. Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії.
  18. Глава XI МЕТОД НАУК, зведення до восьми основних ПРАВИЛАМИ
    аксіом і можуть бути віднесені до другої частини. 5-е і 6-е стосуються умовиводів, і їх можна віднести до третьої частини. Нарешті, два останніх стосуються порядку і відносяться до четвертої частини. Два правила відносно визначень 1. Не залишати без визначення жодного скільки-небудь неясного або неоднозначного терміну. 2. Використовувати у визначеннях тільки добре відомі або
© 2014-2022  ibib.ltd.ua