Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Свєтлов Віктор Олександрович. Філософія математики. Основні програми обгрунтування математики XX століття: Навчальний посібник. - М.: КомКнига. - 208 с., 2006 - перейти до змісту підручника

Основні поняття й допущення логіки предикатів

Відповідно до одного з припущень JIB внутрішня структура простих висловлювань не враховується. Якщо це обмеження зняти, ми отримаємо важливе узагальнення логіки висловлювань, назване логікою предикатів.

Логіка предикатів - логіка, створена для аналізу умовиводів, в яких істинність висновку залежить не тільки від істинності посилок, але також і від їх внутрішньої логічної структури.

Для аналізу внутрішньої структури висловлювань в логіці предикатів додатково до основних понять ЛВ були введені поняття універсуму, імені власного, предметної константи, предметної змінної, предиката, терма, предметної функції, квантора. Крім того, використання ЧИ вимагає прийняття особливих припущень.

Як і в традиційній логіці, в логіці предикатів всі обчислення прив'язані до поняття універсуму.

Універсум U логіки предикатів - клас речей із заданими властивостями і відносинами.

Універсум задає предметну область інтерпретації аналізованого міркування, дозволяє обчислити його логічне значення. Щоб обговорювати речі універсуму, необхідно для кожної з них мати власне ім'я - ім'я, яке позначає цю і тільки цю річ.

Ім'я власне в логіці предикатів - термін, що позначає окрему річ універсуму.

Логіка предикатів, як і традиційна логіка, пов'язана з допущенням неможливості існування порожніх імен, тобто таких термінів, яким в розглянутому универсуме нічого не відповідає (що не позначають жодної речі універсуму).

Допущення іепустоти універсуму. Кожному імені власним повинна відповідати деяка річ універсуму.

У логіці предикатів неважливо, яким ім'ям позначається та чи інша річ, важливо, яка річ позначається. Тому якщо два і більше різних імені позначають одну і ту ж річ, то незалежно від відмінності своїх іітенсіоналов (змістів) вони вважаються екстенсіонально взаємозамінними.

Допущення екстенсіональності. Якщо два різних імені позначають одну і ту ж річ, вони вважаються взаємозамінними і володіють одним і тим же значенням істинності.

Як і в логіці висловлювань, в логіці предикатів зберігається допущення бівалентності.

Допущення бівалентності. Кожне просте висловлювання ЯП або істинно, або хибно.

Через необхідність враховувати внутрішню структуру висловлювань атомарні формули ЛП значно відрізняються за своєю структурою від атомарних формул ЛВ. Нагадаємо, що в ЛВ атомарної формулою вважається знак (прописна буква латинського алфавіту), що позначає просте висловлювання.

Припустимо, заданий певний універсум U. Щодо кожної його речі її ім'я власне може бути відомо або невідомо. Якщо ім'я власне речі відомо, то вона позначається однією з рядкових початкових букв латинського алфавіту a, b, с, ... і називається предметної константою. Значення, т. е, що позначається річ, кожної предметної константи фіксоване і не може бути довільно змінено. Якщо ж ім'я власне речі невідомо, то вона позначається однією з рядкових кінцевих літер латинського алфавіту х, у, z, ... і називається предметної змінної. Предметні змінні не мають фіксованого значення. Їх головна функція полягає в там, щоб позначати всі входження одного і того ж імені. Іншими словами, на місце кожної предметної змінної одне і те ж ім'я має підставлятися стільки разів, скільки є її входжень.

Різниця між предметними константами і змінними пояснює наступний приклад. Припустимо, необхідно формалізувати твердження, що деяка річ з універсуму U має властивість Р.

Це можна зробити двома способами: або як Ра, якщо а - відоме ім'я власне речі, або як Рх, якщо ім'я власне речі не відомо. Вираз Ра читається: «Дана річ а з універсуму U має властивість / V Вираз Рх читається« Довільна річ х з універсуму U має властивість Р ». Фундаментальна відмінність між обома випадками полягає в тому, що вирази виду Ра, Р', ... можна оцінювати як істинні або хибні, а вирази виду Рх, Ру, ... - Не можна.

Нехай U = «харчові продукти», Р = «солодкий», а = «цукор», Ь ~ «сіль». Тоді вираз Ра = «Цукор солодкий» істинно, а вираз РЬ = «Сіль солодка» ложно. Сказати ж, що Рх = «Довільний харчовий продукт солодкий» істинно або хибно, безглуздо, тому що невідомо, про який саме харчовому продукті йдеться. Знак х позначає будь-яку їстівну річ або, як кажуть, «пробігає» по всім речам розглянутого універсуму. Значить, щоб вираз ЛП, що містить входження предметних змінних, можна було інтерпретувати як істинне або хибне висловлювання, їх необхідно замінити відповідними їм предметними константами.

Припустимо, необхідно формалізувати твердження, що деяка річ знаходиться в певному відношенні до іншої речі. Тут також розрізняються зазначені вище два випадки. Вираз виду Rxy означає «Довільні речі jc і в з універсуму U перебувають у відношенні R один до одного». Сказати про ставлення Rxy, істинно воно або помилково, не можна до тих пір, поки не стане відомо, які саме речі позначають змінні х і у. Нехай U = «числа», а = 3, b-4, R = «більше». Тоді невизначений з істінностной точки зору вираз Rxy перетворюється на хибне висловлювання Rab = «3 більше 4».

Традиційно предикатом називається думка, що позначає або властивість, якою володіє або не володіє дана річ, чи ставлення, в якому знаходиться чи не знаходиться розглянута річ до інших речей. У ЛП предикати інтерпретуються як логічні функції, що відображають імена власні як свої артументи в безліч значень істинності. Якщо у висловленні «Цукор солодкий» замінити константу «цукор» предметної змінної, то результатом заміни стане функція <сс - солодкий ». Підстановка в дану функцію замість дс різних власних назв породжуватиме правдиві чи неправдиві висловлювання в якості її значень. Якщо виключити випадок, коли предикат має нульове безліч аргументів, предикатом у власному розумінні слова можна назвати будь-яке висловлювання, що містить принаймні одне входження предметної змінної. Нехай, як і колись, Т і F позначають значення істинності.

Предикат - логічна функція, що відображає власні імена речей (предметні константи) в безліч логічних значень {Т. F} -

Вирази виду Р1х прийнято називати одномісними (одноар-гументнимі) предикатами. Їх відмінна особливість в тому, що вони позначають властивості речей. Вирази виду Р * ху називають двомісними (двухаргументнимі) предикатами. Їх особливістю є те, що вони позначають бінарні відносини. Загалом вирази виду Рп прийнято називати п-місцевими предикатами, що позначають л-місні відносини, п> 0. У разі предикатна буква позначає просте висловлювання ЛВ, яке по допущенню бівалентності або істинно, або хибно. Так як атомарні формули ЛВ зводяться до виду Я0, то вони всі є атомарними формулами ЛП.

Верхніми індексами для позначення місцевості предиката можна і не користуватися, так як число місць предиката легко визначається за кількістю предметних змінних, якими він управляє. Наприклад, Р * означає, що після предикатной букви Р повинні стояти три предметних змінних - Pxyz.

Якщо необхідно формалізувати операцію, яка буде показувати безліч предметних констант в цей же безліч за певним законом, тоді використовують відповідну цієї операції предметну (тобто не логічну) п-місцеву функцію. Відомі арифметичні операції - додавання, віднімання, множення і ділення - представляють приватні випадки таких функцій. Двомісна функція складання J [a, b), визначена на множині натуральних чисел, ставить у відповідність парі певних натуральних чисел а і b нове число з з цього ж безлічі як результату їх суми: а + Ь = с. Наприклад,

Чи 2) = XMU2), чи 2)) = / 3, 3) = 3 + 3 = 6.

Предметні константи і предметні змінні прийнято об'єднувати загальним ім'ям - простий терм (від англ. Term). Поняття терма узагальнює поняття суб'єкта в традиційній логіці.

До числа складних термів відносяться п-місцеві функціональні знаки, п> О, супроводжувані п предметними константами або змінними в якості простих термів.

Об'єднання термів з предикатной буквою породжує атомарну формулу ЛП. Основним правилом у цьому процесі є наступне: п-місцевої предикатной букві має відповідати п термів. Таким чином, вираз Р1 не є атомарної формулою ЛП, так як предикатний символ не супроводжується трьома термами, а вираз виду Pabx - є. Якщо t \, tn - довільні терми, Р "- довільний«-місний предикат, то атомарна формула ЛП має наступний канонічний вид - Рц ..., ", п> 0. Тільки атомарним формулами ЛП і побудованим з них складних формулах можна приписувати те чи інше значення істинності.

Деякі формули ЛП з входженнями предметних змінних можуть бути квантифікувати. Квантори в ЛП відіграють таку ж роль, як і знаки кількості - «все», «жоден», «деякі »- в традиційній логіці. Вони визначають кількісні межі властивостей і відносин, що позначаються предикатами.

Нехай універсум складається з трьох речей, кожна з яких має своє власне ім'я, U - (а, Комерсант, с) . Якщо необхідно сказати, що всі речі даного універсуму мають властивість Р, то це можна зробити двома способами. По-перше, можна побудувати кон'юнкцію: (Ра & Р'& Рс), яка істинна, якщо і тільки якщо істинні всі її Кон'юнктів. Під -друге, можна використовувати спеціальне скорочення, зване квантором спільності та які ставлять перед тією формулою, Рх в даному випадку, кількісну характеристику якої вона визначає: (х) Рх. Формула Рх, перед якою поставлено квантор спільності, (х) Рх, читається: « Кожен ДГ має властивість Р »,« Для всіх х має місце властивість Р ». Формула - (ДГ) Рх читається« Невірно, що кожен х має властивість Р ». Формула [х) - ~ ЛРХ читається« Жоден х не має властивість Р ».

Якщо необхідно сказати, що деякі речі розглянутого універсуму мають властивість Р, то це можна зробити також двома способами. По-перше, можна побудувати диз'юнкцію (Pa vPbv Рс), яка істинна, якщо і тільки якщо правдивий принаймні один її диз'юнкт. По-друге, можна використовувати спеціальне скорочення, зване квантором існування та які ставлять перед тим виразом, кількісну характеристику якого воно визначає: (Ех) Рх. Формула Рх, перед якою поставлено квантор існування, (Ех) Рх, читається «Існує такий х, який має властивість Р», «Принаймні для одного х має місце Р». Формула-і (Ех) Рх читається «Невірно, що існує такий х, який має властивість Р». Формула (Ех)-Рх читається «Деякі х не мають властивість Р».

« Попередня Наступна »
= Перейти до змістом підручника =
Інформація, релевантна "Основні поняття й допущення логіки предикатів"
  1. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
    основних способів розширення духовного горизонту за рахунок концептуалізації, для якої поняття є основним засобом. Основоположником концептуалізації як особливого різновиду інтелектуального конструктивізму є Платон, який висунув ідею конструктивно-структурного характеру знання. Її смисловий і ціннісний пафос був спрямований проти релятивізму і нігілізму софістів, в
  2. 3. Істина і гносеологічне відображення. Пізнаванності світу в позитивній теоретичної метафізиці
    основному змісті понять, що стоять в даному судженні на місці суб'єкта S і предиката Р). експліціруя критерій аналітичності негативного атрибутивного судження на прикладі даного судження в точній мові сучасної логіки, тобто в символічній мові логіки предикатів. Тоді S в структурі даного судження можна представити у вигляді х (А (х) л! B (x)), тобто S = х (А (х) л B (x)), а Р - у вигляді
  3. Програма конструктивізму: математика як створення потенційно доказових конструкцій
    основних положень інтуїционізма Брауера. Це пов'язано зі значним впливом цієї програми на хід дискусії з підстав математики. Решта програми, незважаючи на велику продвинуто сть у вирішенні спеціальних завдань, такого значення ще не Аналіз ставлення арифметики до логіки
  4. понять. Фреге спеціально підкреслює, що він використовує поняття класу так, як це прийнято в логіці, а не в математіке45. Незвична для математиків подібна інтерпретація класів знадобилася Фреге для введення логічних об'єктів, необхідних для обгрунтування арифметики. «Числа - об'єкти, а в логіці вихідними об'єктами є тільки два - істина і брехня. Нашою першою метою стало тому
     Фінітного обгрунтування математики
  5.  основну ідею. Для формалізації математичної системи необхідно: 1. Задати алфавіт вихідних знаків. 2. Визначити, які послідовності знаків є формулою. 3. Відібрати формули, які будуть виконувати функції логічних і математичних аксіом. 4. В якості правил висновку використовувати наступні два. Правило відділення (ПО): з формулою (X ~ r> Y) слід формула Y. Правило
     Інтуїционістськая логіка (висловлювань
  6.  основних логічних зв'язок («не», «і», «або», «якщо ..., то») з класичною. У класичній логіці ці зв'язки розглядаються як умови істинності висловлювань; в интуиционистской логіці вони вважаються умовами доказовою висловлювань. Для стислості надалі замість «в моєму розумі існує конструкція К» будемо говорити «існує конструкція К». Висловлення - ^ р, читається як "не-р» і
     Логічне визначення числа
  7.  основний зміст визначення числа Фреге: О = число xFx (х * х); S (n) = число xFx (х <і). Незважаючи на те, що визначення числа Фреге породжує всю послідовність натуральних чисел, цього ще недостатньо для того, щоб назвати її натуральним рядом чисел. Для цього необхідно визначити відношення слідування, в якому знаходяться будь-які два суміжних члена натурального ряду чисел.
     § 3. Англо-американська система
  8.  основні різновиди юридичних осіб-товариства (partnerships) і компанії (у Великобританії) або корпорації (в США; публічні корпорації у Великобританії). Товариства мають кілька різновидів, які різняться в залежності від характеру відповідальності товаришів за боргами товариства. Повні товариства не визнаються юридичними особами. Інший вид товариств-командитні
     § 2. Набуття права власності
  9.  основний обов'язок особи, який знайшов річ,-негайно повідомити про знахідку втратив або інша особа, яка має право отримати її, і повернути знайдену річ цій особі. Якщо власник або інша, особа невідомі) про знахідку необхідно заявити в міліцію або орган місцевого самоврядування. Річ, знайдена в приміщенні або на транспорті, підлягає здачі особі, що представляє власника цього
     Глава вісімнадцята. ТЛУМАЧЕННЯ ПРАВОВИХ НОРМ
  10.  основна робота? Все це конкретизується, розкривається при оцінці такого поняття, стосовно конкретної ситуації. «Тяжкі тілесні ушкодження». Чим вони відрізняються від ушкоджень, що спричинили легкий розлад здоров'я? Який критерій лежить в основі відмінності одних ушкоджень від інших? Термін лікування, наслідки? Що має місце в конкретному випадку? Все це також предмет тлумачення
    основная работа? Все это конкретизируется, раскрывается при оценке такого понятия, применительно к конкретной ситуации. «Тяжкие телесные повреждения». Чем они отличаются от повреждений, повлекших легкое расстройство здоровья? Какой критерий лежит в основе отличия одних повреждений от других? Срок излечения, последствия? Что имеет место в конкретном случае? Все это также предмет толкования
© 2014-2021  ibib.ltd.ua