| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
В. Пуанкаре |
||
|
Зараз ми дамо ілюстрацію загального формулювання конвенційного характеру просторової конгруентності, яку ми привели в розділі Б в якості прямого слідства ріманова аналізу метричної проблеми просторового континууму. Розглянемо фізичну поверхню, таку, як нескінченна площина або частину її, і на ній систему декартових координат. Звичайна метрізація такій поверхні грунтується на конгруентності, яка визначається збігами переміщуваного стержня: лінійному відрізку, різниця координат між кінцями якого відповідно дорівнює dx і dy, приписується довжина ds, що задається формулою, і геометрія, пов'язана з цією метрізацію поверхні, є, звичайно, евклідової. Але ми також вільні використовувати іншу метрізацію в якої частини цього простору або всюди в ньому. Так, наприклад, ми можемо з рівною підставою метрізовать частина площини вище осі х за допомогою нової метрики . Ця альтернативна метрізація відмінна від звичайної метризації: наприклад, вона робить довжини горизонтальних відрізків, різниця координат між кінцями яких дорівнює dx, залежними від положення їх на осі у. Отже, ця метрізація дозволяє нам вважати конгруентними відрізки, у яких пріy = 2 і dx = 1 при у = 1, тоді як звичайна метрізація призводить до відношення довжин як 2:1. Однак нова метрика не говорить про те, що рухомий стрижень буде послідовно збігатися з інтервалами, що відносяться до класу конгруентності, визначеного цією метрикою; навпаки, нова метрика бере до уваги це розбіжність, роблячи довжину стрижня змінної функцією його положення: будучи розташованим паралельно осі x при y = 2, стрижень буде мати тільки половину довжини стрижня, розташованого при у = 1. Оскільки наша нова метрика, введена Пуанкаре, породжує клас конгруентності лінійних відрізків, відмінний від класу звичайної конгруентності, становить інтерес питання, чи має місце подібна незвичайна конгруентність кутів. Для обговорення цього ми звернемося до наступних необхідним математичним даними. Кут? , Заданий напрямками А і В у римановом просторі, які визначаються переміщеннями Ai і Bi, відповідно виражається формулою
Де gij являють собою метричні коефіцієнти метрики для лінійних відрізків. Зараз ми введемо нову метрику, яка має те властивість, що її метричні коефіцієнти g * ij пов'язані з первісними коефіцієнтами gij наступним так званим «конформною» перетворенням:, де є аналітична функція координат xi. З вищенаведеного висловлювання для cos? очевидно, що кути? і, отже, відносини конгруентності між кутами залишаються незмінними при будь-якій новій метризації, в якій метричні коефіцієнти g * ij пов'язані конформною перетворенням з коефіцієнтами первісної метрики. Цей результат дозволяє нам переконатися в тому, що метрика Пуанкаре призводить до того ж самого класу конгруентності кутів, що і первісна метрика, оскільки коефіцієнти метрики Пуанкаре пов'язані з коефіцієнтами стандартної метрики множником 1/y2. Щоб визначити, які лінії на півплощині є геодезичними в нестандартній метриці Пуанкаре ,
потрібно замінити дану ds і внести зміни в умови, визначальні для цього сімейства геодезичних. Як вже згадувалося у виносці на стор 28 в розділі Б, шукані геодезичні нашої нової метрики повинні тому задаватися рівнянням Ейлера
При підстановці цієї величини I в ейлерову рівняння ми отримуємо диференціальне рівняння сімейства геодезичних
Рішенням цього рівняння є вираз , де k і R - постійні інтегрування. Це рішення являє собою сімейство прямих (геодезичних), пов'язаних з метрикою Пуанкаре; але на евклідовому мовою, відповідному звичайної декартової метриці, воно представляє сімейство «кіл» з центрами на осі х і перпендикулярних їй, причому верхні «півкола» будуть геодезичними напівплощині Пуанкаре, характеризується вже інший метрикою. Читач може переконатися, що нова метрізація Пуанкаре призводить до гіперболічної неевклідової геометрії на півплощині, використовуючи нові метричні коефіцієнти g11 = 1/y2 і g22 = 1/y2, щоб отримати з формули Гаусса 1 (1 Це можна знайти в кн.: Ф.Клейна, Неевклидова геометрія, М.-Л., 1936, стор 306.) від'ємне значення гаусової кривизни K. Те, що метрика Пуанкаре дає гіперболічну геометрію тієї ж самої напівплощині y> 0 є евклідової площиною при звичайній метризації, стає геометрично очевидним, якщо зауважити, що нові геодезичні напівплощині Пуанкаре мають наступні властивості: по-перше, їх нескінченність гарантується поведінкою метрики Пуанкаре при y ? 0 і, по-друге, вони задовольняють гіперболічному постулату паралельності, згідно з яким існує більш ніж одна компланарності, паралельна даній прямій, оскільки вони також визначаються як евклідові півкола і, отже, виявляють евклидово властивість: через точку поза півкола може бути проведена більше ніж одна півколо, не яка перетинає дану півколо. Очевидно, що заміна стандартної декартовій метрики метрикою Пуанкаре призводить до такому перейменуванню різних траєкторій на півплощині, що мова гіперболічної геометрії описує ті ж самі факти збігу стрижнів при переміщенні на півплощині, які зазвичай викладаються мовою евклідової геометрії. У світлі попередньої оцінки Ріманом просторової (і тимчасової) метрики ми повинні зробити висновок, що не тільки з математичної, але і з філософської точок зору гіперболічна метрізація напівплощині настільки ж правомірна, як і евклідова метрізація. Однак можуть заперечити, що, хоча нові метрики і законні з філософської точки зору, все ж для всіх визначень конгруентності, що не приписують рівні довжини ds інтервалах, визначеним за допомогою збігу твердого стрижня, вільного від збурюючих впливів , характерна педантична штучність і збочена складність. Підстави для цього заперечення наступні: а) в природі не існує таких зручних і звичних об'єктів, збіг яких при переміщенні призводило б до фізичної реалізації такої дивної і незвичайної конгруентності, і б) після внесення поправок на різні види Ідіосінкразіческім спотворень твердих тіл, які залежать від їх будови і відбуваються в негомогенних теплових, електричних та інших полях, все що переміщаються тверді тіла дають ті ж самі інтервали, що і являє собою реалізацію однієї з нескінченної кількості математично несумісних конгруентністю. Mutatis mutandis те ж саме заперечення можна висунути і по відношенню до будь-якого визначення тимчасової конгруентності, яка є нестандарта ної унаслідок невідповідності з ходом стандартних невое-Мущал матеріальних годин. Відповідь на цю критику може бути двояким. 1) На перший погляд правдоподібність критерію простоти у виборі визначення конгруентності відкриває підхід до другого міркуванню на цей рахунок, а саме коли є чітке уявлення про те, що критерію простоти недостатньо і необхідні міркування не тільки щодо визначення конгруентності, але також і про форму загальної системи, в якій геометрія і фізика пов'язані між собою. Наше обговорення в главах другої та четвертої покаже, що в якості ціни за велику простоту загальної теорії можна прийняти і дивне визначення конгруентності. Передбачаючи главу другу, ми відзначимо тут, що хоча Ейнштейн тільки посилався на можливість незвичайного визначення просторової конгруентності в загальній теорії відносності, але фактично не використовував його 1 (1 А. Ейнштейн, Основи загальної теорії відносності, «Збори наукових праць», т. I , M., 1965, стор 452-507.) він все ж спирався в цій теорії на таке визначення тимчасової конгруентності, яке наш передбачуваний опонент розглядав би як найвищою мірою довільне, оскільки воно не задається ходом стандартних матеріальних годин. 2) Особливо повчально помітити, що космологія Мілна постулює фактичне існування в природі двох метрично різних видів годин, відповідні періоди яких дають фізичну реалізацію математично несумісних конгруентністю.
між часом?, Певним допомогою періодичних астрономічних процесів, і часом t, певним допомогою атомних явищ, причому t0 є відповідно обраної довільної сталої. Нелінійність відносини між цими двома видами часу має тут надзвичайно велике значення, оскільки вона гарантує, що два інтервали, конгруентні в одній з цих двох тимчасових шкал, будуть неконгруентністю в іншій; це очевидно з того, що похідна d? / Dt не є постійною. Ми можемо чітко собі уявити геометричні відносини між обома шкалами часу: нехай кінцем половини незамкненою лінії буде точка t = 0 по t-шкалою і нехай рівні просторові інтервали на лінії позначають рівні тимчасові інтервали по tf-шкалою . Тоді?-Шкалу можна було б представити на тій же самій лінії такий метрізацію, де просторові інтервали ставали б коротше в напрямку точки t = 0 тобто точки, яка не відноситься до?-Шкалою, оскільки?? -? при t? 0. Таким чином, в напрямку t = 0 (в минуле) рівні тимчасові інтервали на?-Шкалою відповідали б завжди меншим інтервалам на t-шкалою. Ясно, що було б досить необгрунтовано розглядати одну з двох конгруентністю Мілна як незвичайну, оскільки кожна з них має фізичну реалізацію. Вибір між цими двома шкалами неминуче є справою угоди, так як цілком зрозуміло, що в теорії Мілна ці пов'язані з різними метриками опису світу фактично еквівалентні і, отже, однаково істинні. Який вирок можна було б винести прибічнику ньютонівської точки зору, згідно з якою метрика внутрішньо властива різноманіттю, якщо врахувати приклади альтернативної метрізуемості як простору (гіперболічна метрізація Пуанкаре напівплощині), так і часу (загальна теорія відносності і космологія Мілна)? По-перше, ньютоніанец вірно зауважує, що, оскільки всі згодні з тим, що термін «конгруентний» в застосуванні до інтервалів повинен виражати рефлективне, симетричне і транзитивне відношення в даному класі геометричних конфігурацій, використання цього терміну обмежується позначенням відносини просторового рівності. Однак ньютоніанец неправомірно наполягає на тому, що просторове рівність між двома лінійними відрізками фізичного простору (або між областями поверхні, або тривимірного простору відповідно) полягає в тому, що вони містять те ж саме, внутрішньо властиве їм кількість простору. І, виходячи з цієї помилкової передумови, він нібито має право стверджувати, що, по-перше, ніколи не буде законним довільний вибір того, які специфічні інтервали слід вважати конгруентними, і, по-друге, на додаток до того, що такий вибір не можна зробити, не існує можливості і для вибору ліній, які слід розглядати як прямі, а тим самим не можна зробити вибір і серед альтернативних геометричних описів реального фізичного простору. Причина цього полягає в наступному: умові геодезичних повинні задовольняти прямі, на які накладається обмеження, що тільки членам єдиного класу лінійних відрізків, рівність яких є внутрішньо притаманним їм властивістю, можна приписувати одну і ту ж довжину ds . Крім того, Ньютон-нець стверджує, що тільки «істинно» (внутрішньо) рівні тимчасові інтервали можуть розглядатися як конгруентних, і тому він наполягає на тому, що в тимчасовому континуумі існує тільки один допустимий клас конгруентності. Цей висновок він потім намагається обгрунтувати, посилаючись на деякі причинні відносини з ньютоновой динаміки; ми спростуємо його далі, в розділі другому.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " В. Пуанкаре " |
||
|
||