Область дії логічного союзу і квантора

Область дії логічного союзу утворюють всі подформули, які він пов'язує.

Область дії квантора становить подформула, яка починається відразу після квантора.

У формулі (х) ((Еу) Рху Z) [Еу) {~ лРху v Qxy)), яка розглядалася вище, областю дії першого квантора існування (Еу) є подформула (Еу) Рху ; областю дії другого квантора існування (Еу) - подформула (Еу) (~ лРху v Qxy); областю дії квантора спільності (*) - вся формула в цілому. *

Пов'язані і вільні змінні

Деякі предметні змінні, що збігаються з змінної квантора спільності або існування, можуть перебувати в області його дії. Якщо це має місце, входження такої змінної називається зв'язаним. В іншому випадку воно вважається вільним.

Входження предметної змінної? називається зв'язаним, якщо і тільки якщо вона є змінною квантора спільності (?) або квантора існування (Eg), або знаходиться в області дії принаймні одного з них. Будь-яка інша входження змінної? називається вільним.

Формалізація в логіці предикатів

Для формалізації висловлювань в JIB необхідно мати знаки для позначення атомарних формул і така безліч логічних спілок, яке дозволяє висловлювати всі види сумісності та несумісності між висловлюваннями . Формалізація висловлювань в JOT носить більш складний характер. Для її здійснення необхідно мати:

(а) знаки для позначення властивостей речей або їх відносин один до одного;

(б) предметні константи для позначення назв речей;

(в) предметні змінні для позначення області дії квантора спільності або існування;

(г) функціональні знаки для позначення операцій над константами.

Приймемо угода не ставити зовнішніх дужок у формулах ЛП, що починаються з кванторів.

Приклад

Нехай U ~ «люди»; х, у - предметні змінні; a, b - предметні константи; Рху = «х - учитель ^». 1.

«Якщо а - вчитель Ь, то а чийсь учитель»:

(Pab з (Еу) Рау). 2.

«6 - учень а чи b - свій власний учень»:

(PabvPbb). 3.

«Якщо всі свої власні вчителя, то а - свій власний вчитель і b - свій власний учитель»:

(х) Рхх з (Раа & Pbb). 4.

«Кожен - вчитель кого-небудь тоді і тільки тоді, коли хто-небудь - учень кожного»:

(х) (Еу) Рху ^ (Еу) (х) Рху.

5. «Неправильно, що якщо а - не вчитель b, wb - НЕ чийсь учень»: (- ^ (-JPab г)-n (Ex) Pxb)).

Семантика логіки предикатів

Семантика ЛП, як і її синтаксис, узагальнює семантику ЛВ. Як і в логіці висловлювань, головна семантична проблема логіки предикатів - інтерпретація формул як осмислених виразів.

Семантика ЛП - угоди і правила, що дозволяють інтерпретувати формули логіки предикатів як осмислені, тобто правдиві чи неправдиві висловлювання.

У логіці висловлювань для інтерпретації формули досить поставити у відповідність її «атомам» прості висловлювання і побудувати таблицю істинності. У логіці предикатів це неможливо. По-перше, тому що її формули, крім знаків, що позначають логічні союзи, містять знаки, що символізують нелогические терміни - предикатні символи, предметні змінні і константи, функціональні символи і квантори спільності та існування, інтерпретація яких підпорядковується особливим правилам. По-друге, тому що логічно істинні формули ЛП повинні бути загальнозначимі в будь-якому универсуме, включаючи універсум з нескінченним числом речей.

Інтерпретацією формули ЛП називається (1)

визначення значень всіх її нелогічних термінів; (2)

обчислення значення її істинності в даному универсуме.

Поняття інтерпретації формул ЛП засноване на понятті розширення нелогічних термінів довільній формули ЛП.

Розширенням (значенням)

- предметної константи в універсумі U називається та річ, чиїм ім'ям власним вона є; -

(вільної і пов'язаної) предметної змінної в універсумі U називається довільна річ U; -

предиката Р ", п? 0, в універсумі U називається безліч елементів U, що виконують даний предикат; -

функціонального символу f, n> 0, в універсумі U називається безліч елементів U, що задовольняють аргументам і значенням обозначаемой ним операції.

Розширення предметної константи і предметної змінної не викликає особливих питань. Якщо в словник формули ЛП входять константа а і змінна х, то розширенням а в універсумі (J ~ «герої пушкінських творів» має бути деяке ім'я власне, наприклад, «Тетяна Ларіна», розширенням х - будь-який елемент універсуму, який може бути підставлений на місце х, включаючи і вказане ім'я власне.

Розширення предиката співвідносно з визначенням його обсягу в традиційній логіці. З'ясувати розширення предиката ЛП означає обчислити його обсяг в заданому универсуме інтерпретації. Якщо обсяг предиката не порожній, він отримує значення «істина », в іншому випадку - значення« брехня ».

Результат розширення довільного предиката Р", п> 0, залежить від того, позначає чи він простий вислів ЛВ (n ~ 0), властивість (і = 1) або відношення (п> 1).

Якщо п = 0, предикат Р "позначає просте висловлювання Л В, яке або істинно, або хибно. В цьому випадку розширення предиката Р" зводиться до доказу Р "~ T або Pn = F.

Якщо п-1, предикат Р" позначає властивість. У цьому випадку розширенням предиката Р "є (можливо, порожнє) множина всіх речей універсуму, що виконують його . Розширенням предиката Рх = (ос - круглий »в довільному универсуме, буде безліч всіх круглих речей. Якщо воно не порожньо, предикат Рх отримує значення« істина », Рх = Т; якщо ж в заданому универсуме немає жодної круглої речі, то предикат Рх отримує значення «брехня», Рх = F. У розглянутому випадку процедура розширення предиката, що позначає властивість, зводиться до відображення елементів U, утворюють його розширення, в безліч {Т, F}.

Якщо п - 2, предикат Р "позначає бінарне відношення. У цьому випадку розширенням предиката Р" є (можливо, порожнє) множина всіх упорядкованих пар елементів універсуму, виконую-щих дане відношення. Розширенням предиката Рху = «х менше у на одиницю» в універсумі U ~ {1, 2, 3, 4, 5} буде підмножина впорядкованих пар чисел {<1, 2>, <2, 3 ^>, <3, 4>, <4, 5>} таких, що кожне ліве з них менше правого рівно на одиницю. Щоб утворити безліч впорядкованих пар, необхідно побудувати твір U n U = if. Якщо розширення предиката, що позначає бінарне відношення, не порожньо, він получаст значення «істина», в іншому випадку - значення «брехня». У даному випадку процедура розширення предиката, що позначає бінарне відношення, зводиться до відображення елементів if, утворюють його розширення, в безліч {T, F}.

Якщо п> 2, предикат Р "позначає«-місне відношення з числом термів, великим двох. У цьому випадку розширення предиката Р "утворює (можливо, порожнє) множина всіх упорядкованих й-ок елементів універсуму, що виконують позначається їм ставлення. І в цьому випадку процедура розширення предиката зводиться до відображення послідовностей упорядкованих елементів з безлічі, утвореного п-й ступенем U: Ur \ Ur \ ... nU-lT, n> 2, і утворюють його розширення, в безліч {Т, F}. Наприклад, в універсумі? / = {1, 2, 3, 4, 5} розширенням предиката Pxyz = «у більше х і менше z на одиницю» буде безліч впорядкованих трійок чисел {<1,2, 3>, <2, 3, 4>, <3,4, 5>}, яке є підмножиною безлічі всіх трійок: U про U про U = if.

У загальному випадку, побудувати розширення предиката Р ", п> 0, означає встановити його відповідність з відображенням твори if в безліч {Т, F} .

Результат розширення довільної функції /, п> 0, залежить від того, позначає чи вона предметну константу (п = 0) або я-месгную операцію (п> 1) в заданому универсуме інтерпретації.

Якщо п = 0, функція / позначає предметну константу. Це повертає нас до проблеми розширення даної константи.

Якщо п = 1, функція / позначає одномісну операцію. В універсумі U = «натуральні числа» функції / може відповідати, наприклад, операція зведення в квадрат :/ = х2. Розширенням такої функції буде наступна нескінченна послідовність результатів зведення в квадрат: / (1) = 1, / (2) = 4, / (3) = 9,.

Якщо п = 2, функція / позначає двомісну операцію. В універсумі U = «натуральні числа» функції / може відповідати, наприклад, операція додавання: / = (ДГ + у). Розширенням цієї функції буде наступна нескінченна послідовність результатів складання всіх пар чисел: / (1 + 1) = 2, / (1 +2) = 3, / (2 + 1) = 3, ... Для обчислення розширення двомісній функції необхідно побудувати відображення безлічі елементів універсуму в цей же безліч елементів, U2 -> U.

У загальному випадку побудувати розширення функції f, п> 0, означає встановити її відповідність з відображенням твори if в безліч елементів U.

Істинність кваліфікованих висловлювань також заснована на понятті розширення.

Довільна формула ЛП, головним знаком якої є квантор загальності, істинна в заданому универсуме, якщо формула ф% істинна в кожному своєму розширенні; аналогічно формула головним знаком шторою є квантор загальності, істинна в заданому универсуме, якщо формула ф? істинна хоча б в одному своєму розширенні.

Об'єднує сказане наступне визначення.

Формула ЛП отримує інтерпретацію, якщо (1)

заданий універсум інтерпретації (У; (2)

визначено розширення кожного її нелогічного символу в U, (3)

формулі) ф? головним знаком якої є квантор загальності, приписано значення «істина», якщо формула ф% істинна при підстановці на місце змінної? будь-якої речі з універсуму U; і приписано значення «брехня» в іншому випадку; (4)

формулою головним знаком якої є квантор існування, приписано значення «істина», якщо формула істинна при підстановці на місце змінної? принаймні однієї речі з універсуму U; і приписано значення «брехня» в іншому випадку;

(5) формулою, головним знаком якої є логічний союз, приписано значення істинності згідно з правилом для цього логічного союзу.

Результатом інтерпретації може стати будь-який один з наступних результатів. Формула ЛП може бути істинною принаймні в одній інтерпретації, істинна у всіх інтерпретаціях, помилкова у всіх інтерпретаціях. За аналогією з логікою висловлювань отримуємо наступне визначення.

Формула ЛП -

здійсненна, якщо і тільки якщо вона істинна хоча б в одній інтерпретації; -

логічно істинна, якщо і тільки якщо вона істинна у всіх інтерпретаціях; -

логічно помилкова, т. в. нездійсненна, якщо і тільки якщо їжака помилкова у всіх інтерпретаціях.

Приклад

Обчислити значення істинності таких формул в U ~ { а, Ь}, де a = «Сократ», b = «Платон», Рху - «х старше у».

(х) (у) Рху = (y) Pay & (у) РЬу

(розширення формули (х) [(у) Р.гу]) =

= {{Раа & Pab) & (РЬа & РЬ'))

(розширення формули (х) (у) Рху) - = ((F & Г) & (F & F))

(значення істинності елементів розширення) == (F & F) =

= F (значення істинності формули (х) (у) Рху).

За визначенням квантор спільності вводить кон'юнкцію елементів розширення предиката Рху, а квантор існування - їх диз'юнкцію. Згідно з правилами для кон'юнкції і диз'юнкції обчислюється значення істинності кожної формули в цілому.

У підсумку тільки формула (Ех) (Еу) Рху істинна в зазначеному универсуме при заданому значенні констант і предикатного символу.

Значить, вона істинна в даній інтерпретації і тим самим здійсненна, а всі інші формули в цій інтерпретації помилкові.

Інформація, релевантна " Область дії логічного союзу і квантора "

1. § 2. Короткий нарис розвитку проблеми
     галузі боротьби зі злочинністю. Ці автори висловлювалися за визначеність законодавчих формулювань складів злочинів і санкцій. Разом з тим слід зазначити, що вже в перші роки Радянської влади пошуки нових шляхів і форм боротьби за соціалістичну законність, за викорінення злочинності переконували в необхідності рішучої відмови від буржуазно-правової догматики і формалізму, в
   
2. Глава третя. ПОХОДЖЕННЯ ПРАВА
     областях - в галузі селекції рослин (виведення гібридних, високоврожайних сортів маїсу та інших корисних культур) і в області чіткої регламентації всього сільськогосподарського циклу в рамках якнайточнішого сонячного календаря ». Аналогічні процеси створення і використання агрокалендарях спостерігаються і в інших раннеземледельческих суспільствах у всіх регіонах Землі. З'являються, таким чином,
   
3. Глава четвер-тая. ХАРАКТЕРИСТИКА І ПОНЯТТЯ ДЕРЖАВИ
     областях. Головне ж полягає в тому, що реальна історія соціалістичної держави, як і держави взагалі, являє собою складний результат взаємодії різних факторів, і в конкретних умовах кожен з них може зіграти вирішальну роль. Що ж до цивілізаційного походу до типології держави, то для його з'ясування надзвичайно важливо мати на увазі наступне. Історичний
   
4. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
     області державності. Разом з тим, підкреслю, це не повинно означати механічного запозичення чужого досвіду, нехтування власними російськими досягненнями в державно-правовій сфері, ігнорування національної культури, специфіки російського суспільства. Нікуди не піти від того, що процес модернізації дійсно протікає ось вже триста років. Продовжує він протікати і перед
   
5. Глава дванадцята. ФОРМА ПРАВА
     областях, це не якась казуїстика або схоластика, а, навпаки, вельми важливе наукове і практичне справа, якщо згадати, що за всім цим стоять живі люди, їх діяльність, благополуччя-чие, а часом і життя. Підкреслю також, що надалі, у подальшій темі про правозастосування будуть детально розглянуті та правозастосовні акти. Тут же продовжимо розгляд норма-тивно-правових актів.
   
6. 2.3. Функціональний аналіз мови
     областях, аксіоми для знову вводяться теорій і т. п. Відповідно можна виділити чотири основні вживання мови: опис, експресив, оцінка, оректів. А між ними знаходиться безліч різних форм його вживань, в тій чи іншій мірі близьких до основних і мають своє функціональне призначення. Контрольні запитання Що спільного і в чому відмінність між мисленням і мовою? Які основні
   
7. 2.4. Сталінська адміністративно-командна система
     обласного, районного, міського і т. д.), заздалегідь складені відповідними партійними комітетами і запропоновані для схвалення виборчим зборам. Звичайно, пропозицію про введення прямих виборів було серйозним кроком у демократичному розвитку країни, проте його проведення в життя тут же обмежувалося низкою умов. Зокрема, пропонувалося усунути з системи органів влади
   
8. 6.1. Від демократичного централізму до місцевого самоврядування
     галузі розвитку місцевого самоврядування в Російській Федераціі82. Цей професійно підготовлений документ ставив завдання вироблення стратегії законодавчої діяльності в галузі місцевого самоврядування, намічав конкретні правові рішення. У числі невідкладних завдань були названі формування муніципального права як комплексної галузі права, проведення фундаментальних наукових досліджень в
   
9. ФОРМУВАННЯ НЕЗАЛЕЖНОЇ ПОЛІТИКИ РРФСР. ВЕСНА 1990 - ВЕСНА 1991
     областей прийняли декларації, якими в односторонньому порядку підвищували свій політичний статус. Через півроку вже все автономні області проголосили суверенітет як республік110. У всіх з назв зникло слово «автономна», а в деяких була залишена тільки «республіка», без «радянська» і «соці & чістіческая». Декларації колишніх автономій повторювали зміст союзних аналогів: у них
   
10. ФЕДЕРАТИВНА ПОЛІТИКА РОСІЇ
      областей у порівнянні з республіками, що неминуче породжувало б тертя в будущем14. З ім'ям Шахрая, в той час головним консультантом - Б.Н. Єльцина з правових питань політики, пов'язували обгрунтування теоретичної схеми протистояння двох центрів влади в Москві. Умовно схема описувалася формулою «цілісність Росії | проти цілісності Союзу». Шахрай вважав, що Союз може розпастися і що
    
11. М.К. Мамардашвілі Естетика мишленія6
      області думки можна випробовувати не тільки радість, а й трагічну біль відсутності, потрапляти в ситуацію, коли конкретний, налагоджений механізм світу буквально витісняє, тисне своєю брилою безсумнівну для мене живий стан. Здавалося б, моє «Я» для мене абсолютно очевидно, а йому немає місця в реальності. Зазвичай це і називають проблемою самовираження, коли людина говорить про щось невимовному і
    
12. «ОСНОВИ ЄВРАЗІЙСЬКОГО НАВЧАННЯ Про ДЕРЖАВІ»
      областю безумовного панування, тобто владою »[10]. Поширення ідей «соборності, симфонічної особистості», філософії Всеєдності на суспільство передбачало обов'язковість єдності ідеології правлячого шару і народу. Своє ставлення до ідеології влади висловив Н.А.Бердяев у статті «Утопічний етатизм євразійців»: «Мені видається хибним і не християнським ставлення євразійців до
    
13. Філософія Стародавньої Греції.
      області "чистого мислення" (на противагу практичному, повсякденної свідомості, спрямованому на вирішення життєвих, конкретних завдань), зверненого до світобудови в цілому, до вічного і нескінченного. Оскільки Фалесом була вперше закладена раціоналістична система устрою світу, то тепер все природничі шукання стали протікати в рамках цього нового уявлення про світ, включалися в
    
14. Професор Московського університету Веніамін Петрович Грибанов (1921 - 1990) (короткий нарис життя і діяльності)
      галузі історії правової думки Росії були лише частиною величезного багажу наукових знань, набутих В. П. Грибанова в процесі майже півстолітнього професійного вивчення і викладання курсу цивільного права, створення сучасної наукової школи цивілістів МДУ ім. М. В. Ломоносова. В. П. Грибанов був яскравим представником російських цивілістів радянського періоду, що пройшли сувору