3. Перспективи надійного обгрунтування

Це означає, що друга проблема Гільберта, сформульована як питання про можливість суворого обгрунтування несуперечності арифметики, повинна вважатися в даний час безсумнівно дозволеної в позитивному сенсі. Специфіка цієї проблеми полягає в тому, що її повне рішення не є суто математичним, а неминуче пов'язане з виходом в теорію пізнання. Коливання, що мають тут місце дотепер, пояснюються насамперед зазначеної подвійністю її статусу: в чисто логічному плані, без залучення гносеологічної аргументації, виправдовує можливість використання трансфінітних аксіом, ця проблема не може бути вирішена.

Більшість сучасних логіків, орієнтуючись на теорему Геделя про несуперечність, все ще дотримуються думки, що несуперечність арифметики являє собою факт, обгрунтований практикою, але не має математичного обгрунтування, відповідного стандартам повній суворості. А.Н. Колмогоров і А.Г. Драгаліна у своєму підручнику з математичної логіки висловлюють думку, що несуперечність арифметики «можна вважати твердо обгрунтованою» 72. Слова «можна вважати» видають деякий коливання, яке, безсумнівно, також пов'язане з визнаними заборонами на фінітного обгрунтування. Ухвалення критеріїв обгрунтовуючих міркування, заснованих на понятті онтологічної істинності, усуває тут всяку невизначеність.

Обгрунтування несуперечності арифметики вказує шлях до обгрунтування арифметики дійсних чисел і математичного аналізу в тих межах, в яких він може бути побудований на арифметиці дійсних чисел. Обгрунтування операцій з дійсними числами, розроблене Р. Дедекиндом, грунтується на аксіомі безперервності, яка фіксує в собі інтуїтивне уявлення про прямій лінії як безперервної протяженності7251. Переслідуючи мету повної арифметизации, Д. Гільберт замінив цю аксіому двома аксіомами: аксіомою Архімеда і аксіомою Повноти, які можуть бути витлумачені як чисто арифметичних, не пов'язаних з геометричною наочністю. Для онтологічного обгрунтування аналізу більш прийнятний підхід Дедекинда, оскільки аксіома безперервності може бути обгрунтована як онтологічно істинне твердження, що відноситься до загального поданням про величину. Розуміння категоріальної основи цієї аксіоми дає розширення обгрунтовуючих шару, достатню для повного обгрунтування аналізу.

Важливим просуванням в цьому напрямку є зведення основного змісту аналізу до аксіоматиці геометрії прямій. Традиційне обгрунтовуючих мислення відкидає апеляцію до геометрії як що не забезпечує повною строгості міркування. Ми бачили негативне ставлення до такого способу обгрунтування у Больцано, Фреге, Вейля і Брауера. З онтологічної точки зору - це методологічний забобон, що випливає з отожествления геометричній очевидності з очевидністю емпіричної. Адекватна теорія онтологічної істинності ставить геометричну очевидність поруч з арифметичної і логічної і усуває всі сумніви в коректності математичного аналізу в тій його частині, в якій він може бути зведений до аподиктической очевидності геометричних образів.

Таким чином, ми можемо укласти, що мінімальне завдання обгрунтовуючих програми, яка полягає, по Бернайс, в обгрунтуванні математичного аналізу, безсумнівно, реалізується онтологічним підходом.

Поняття онтологічної істинності дозволяє нам також намітити ряд підходів до розв'язання питання про несуперечність теорії множин. Аналіз логіцістскіх систем, як ми бачили, вже вказує підхід, у певному сенсі дозволяючий проблему. Та ж мета досягається і в інтуїционістському аналізі, розширеному за рахунок принципу трансфинитной індукції. Якщо ми можемо підійти до абсолютного обгрунтуванню аналізу, то сучасні логічні дослідження дозволяють зробити висновок про абсолютну несуперечності всіх найбільш істотних розділів теорії множин. Проблемними теоріями залишаються в цьому випадку тільки «багаті» теорії множин, які є мало суттєвими для математики з точки зору її функції. Якщо викладена тут теорія онтологічної істинності принципів математики є істинною, то сучасна математика повинна бути визнана як абсолютно обгрунтованою. Невизначеність у цьому питанні, яка існує до цих nbp в умах математиків і філософів, виникає виключно з нерозвиненості філософії математики і повинна бути усунена прогресом у цій галузі знання.

Особливе місце теорії множин в плані логічного обгрунтування, її складність у цьому відношенні, ще вимагає прояснення. Простота системи відносин, на яких вона сформульована, як здається, суперечить цьому факту. Одна з обставин, що визначають цей факт, полягає, мабуть, в особливостях її інтуїтивної основи. Розглядаючи систему аксіом ZF, ми бачимо, що вона містить в собі положення, які не можна віднести ні до сфери логічних, ні до сфери онтологічних істин. Така, наприклад, аксіома фундю-вання, яка стверджує, що всі множини побудовані в кінцевому підсумку з елементів, які не є множинами. Очевидно, що це не істина логіки і не істина діяльнісної онтології. Для Демокріта ММР складався з неподільних атомів і в цьому сенсі все складне в мйре зводилося в кінцевому підсумку до простих елементів. З точки зору Лейбніца всяка монада містить у собі нескінченну кількості * Монад, і з цієї точки зору в світі немає нічого простого. Кант, як відомо, протиставив ці точки зору на будову світу в якості однієї зі своїх космологічних антиномій. Беручи аксіому фундування, ми фіксуємо більш просте, Демокріт Котовського бачення світу, залишаючи осторонь інше бачення, нітрохи не менш реальне в метафізичному плані і не більше суперечливий з точки зору логіки. Але це значить, що за аксіоматикою теорії множин, на відміну від аксіоматики арифметики, елементарної геометрії та математичного аналізу, немає безумовної необхідності, немає тієї «негаданій іншого», про яку говорив Сггенсер. Математики часто звертають увагу на очевидність аксіом ZF, бажаючи тим самим зблизити принципи теорії множин з принципами елементарних математичних теорій, але ми не повинні упускати тут відмінність між онтологічної очевидністю, що виникає з онтології математики, і простий наочністю, яка може мати емпіричні або натуралістичні витоки. Ми повинні укласти, таким чином, що аксіоматика теорії множин, узята як ціле, менш якісна в плані своєї змістовної основи, ніж аксіоматика арифметики або математичного аналізу. Можна сказати, що вона має натуралістичний характер, оскільки містить в собі допущення, завідомо виходять за сферу онтологічної істинності. Але це означає, що спроби обгрунтування теорії множин на основі тільки онтологічно істинних посилок приречені на невдачу.

Тут буде корисна аналогія з логікою обгрунтування неевклідової геометрії у Лобачевського. Як відомо, Лобачевський виходив з тілесної інтерпретації аксіом евклідової геометрії, заснованої на уявленні тіла, перетину тіла і зіткнення тіл.

Інша лінія обгрунтування намічається в рамках так званої итеративной концепції, яка представляє собою змістовну інтерпретацію аксіом теорії множин, що спирається на уявлення про побудову ієрархії множин. Генетичне уявлення про множини, яке пов'язує їх в єдину конструктивно розгортається систему, продуктивно в тому відношенні, що воно дозволяє уточнити змістовний сенс аксіом, а також зрозуміти осмисленість обмежень, накладених на поняття безлічі в процесі побудови теорії. Якщо ми приймаємо як принципу побудови, що елементи множини існують до безлічі, то, зрозуміло, неможливо безліч всіх множин і неможливо поява множин, що мають себе в якості своїх елементів. Це означає, що теорія множин, аксіоми якої узгоджені з итеративной моделлю, свідомо не містить парадоксів Кантора і Рассела. Аксіома фундування з цієї точки зору постає як визначення множини як об'єкта, що складається в кінцевому підсумку з елементів (праелементов), які не є множинами. Як показує аналіз, ми можемо підійти з цієї точки зору до обгрунтування істинності всіх аксіом, що містяться в таких системах як Z, ZF і ZFC74.

Слабкість итеративной концепції полягає в тому, що вона не вільна від передумов емпіричної теорії пізнання і, з цієї причини, не може поставити власне обгрунтовуючих завдання. Прояснюючи евристичні можливості итеративной концепції множин, Хао Ван говорить разом з тим, що інтуїтивна основа аксіом може змінюватися історично і що будь-яка інтерпретація не є точной75. Ясно, що така методологічна установка позбавляє сенсу ідею абсолютного обгрунтування теорії на основі її моделі. Положення, однак, змінюється, якщо ми покажемо, що в основі цієї моделі лежать уявлення про ідеальні предмети і їх сукупностях. У цьому випадку уявні операції отримують характер експлікації онтологічно необхідних, а отже, і абсолютно несуперечливих уявлень. Ітеративна схема в тій мірі, в якій вона може бути визнана як що відноситься до сфери аподиктической очевидності, повинна розумітися в якості первинної і абсолютно обгрунтовуючих бази теорії множин. Завдання, таким чином, полягає в поєднанні ітеративного прояснення аксіом теорії множин з поняттям онтологічної істинності.

Аналіз методології обгрунтування дозволяє вважати найвищою мірою імовірним припущення, що всі основні теорії сучасної математики, включаючи і теорію множин, можуть бути обгрунтовані в своїй несуперечності в рамках деякої раціональної програми логіко-онтологічного обгрунтування математики. Арифметика і теорія множин можуть бути зрозумілі як теорії, експлікується у своїх ідеалізації основні уявлення предметної онтології і, отже, як формальні конструкції, що володіють граничної ступенем логічної надійності. Визнання цих двох теорій в якості онтологічно істинних вирішує питання про абсолютне обгрунтуванні всієї сучасної математики.

Інформація, релевантна " 3. Перспективи надійного обгрунтування "

1. 2.« Так чи знаєте Ви, що таке Росія? »
   Проблема держави, форми політичної влади, характер взаємини його з суспільством в цілому та окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
   
2. Глава друга. ПОХОДЖЕННЯ ДЕРЖАВИ
   Первісне суспільство. Влада в первісному суспільстві, організація та форми її здійснення. Перехід від присвоює до виробляє економіці («неолітична революція») як фактор соціального розшарування суспільства, появи класів, власності, держави. Закономірності виникнення держави. Міста-держави. Держава як соціальний інститут, що забезпечує виробляє економіку.
   
3. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
     Виникнення Російської держави. Різні типи і форми держави в історії Росії. Поняття російської державності, основні характеристики. Соціально-політичні та ідеологічні передумови виникнення Радянської держави. Етапи розвитку радянського суспільства і Радянського дер-жави. Радянська форма правління та її еволюція на сучасному етапі. Основні зовнішні та внутрішні
   
4. Глава п'ятнадцята. ПРАВОВІ ВІДНОСИНИ
     Правові відносини як форма суспільних відносин. Правові норми і правові відносини. Зміст і види правовідносин. Суб'єкти правовідносин та їх характеристика. Об'єкти правовідносини та їх характеристика. Юридичні факти. Становлення права як соціальної нормативно-регулятивної системи, як цілісного соціального інституту на рубежі III-II тисячоліття до н.е. прицілі до корінних
   
5. Тестування при прийомі на роботу.
     Психологічні тести при прийомі на роботу використовувати не забороняється. Але, застосовуючи тестування для відсіву кандидатів, ви повинні пом-нитка про особливості інформації, яка при цьому до вас надходить, і про те, як вона охороняється законодавством. Тестування зазвичай проводиться з метою виявити співробітників, відповідних за своїми якостями для даної роботи. Останнім часом поряд з тестами
   
6. 2. «Так чи знаєте Ви, що таке Росія?»
     Проблема держави, форми політичної влади, харак-тер взаємини його з суспільством в цілому та окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
   
7. «СУЧАСНЕ євразійства»
     Ідеї євразійства, маловідомі і малодоступні в недавньому минулому, стали затребуваними в сучасній Росії. Своє оригінальне розвиток вони отримали насамперед у творчості Л.Н.Гумилева. Називаючи себе «останнім євразійцем», Гумільов у своєму останньому інтерв'ю, відповідаючи на запитання: Яким Ви бачите майбутнє євразійства, що найбільш актуально і цінно в ньому зараз?, Сказав: «Завдяки євразійства і
   
8. 1. Світогляд: сутність, зміст, структура і типологія
     Світогляд лікаря має високу значимість як ядро духовного підстави для діяльності медичних фахівців і містить загальносвітове, внутрішньоросійське та медичне вимірювання. По-перше, в XX столітті людство розчарувалося в двох стрижневих світоглядних ідеях - у вірі у всемогутність науки і техніки та в можливості побудови справедливого суспільства для більшості людей.
   
9. Конструктивна математика Маркова і Бішопа
     Зараз, коїда гігантська робота, виконана і самим Кантором, і рядом інших працювали слідом за ним видатних математичних мислителів, таких як JI. Е. Брауер, Д. Гільберт і А. А. Марков, відійшла в минуле і результати її стали загальним надбанням, нам все більш природною починає здаватися та - тепер уже дійсно проста - думка, що подібно кожному іншому складно влаштованому
   
10. 11.2. І. J1. Герловін. «Основи єдиної теорії всіх взаємозв'язків у речовині»
      У ній розглядається, як стверджує автор, «нова парадигма, на основі якої можлива побудова ноосфери» для порятунку людства, що вступило в конфлікт з Природою, в конфлікт з природними законами розвитку живої і неживої природи. Вона називається ще «парадигмою для життєздатних і розвиваються систем» (ПЖіРС), бо містить методологічні та математичні умови, при
    
11. Вклад Олександра Олександровича Любищева в науку про самоорганізацію
      Наша наука буде далеко неповною, якщо не сказати про успіхи в розвитку сучасної біології. Пошук цих успіхів обов'язково приведе нас до Олександра Олександровича Любищева, біологу широкого профілю, якого називають непересічною особистістю в новітній історії вітчизняної та світової науки або феноменом, який заснував некласичну біологію, І щоб представити читачеві цю особистість з його вельми
    
12. Термінологічний словник
      Автономія особистості - відособленість особистості, її здатність до самовизначення своїх позицій. Як загальний принцип людської поведінки автономія особистості була проголошена Мартіном Лютером в його визнанні: «На тому стою і не можу інакше», а теоретично досліджена І. Кантом («Автономна етика»). Автономію особи Кант пов'язував не з свободою особистості від зовнішніх впливів, а з
    
13. Введення
      Після знаменитих теорем Геделя проблема обгрунтування математики зайшла в ідеологічний глухий кут. Коли стало ясно, що логічні методи не досягають тут своїх цілей, математики і філософи зробили висновок, що ця проблема нерозв'язна взагалі і що математика в сенсі обгрунтування не відрізняється принципово від досвідчених наук. У філософії математики стало переважати думка, що віра в надійність
    
14. Висновок
      Проблема обгрунтування математики в сучасній формі була поставлена на початку XX століття у зв'язку з появою парадоксів у логіці та теорії множин і містила в собі дві основні завдання: у вузькому сенсі вона полягала в тому, щоб знайти спосіб позбутися від наявних парадоксів, а в більш широкому - знайти загальні принципи побудови математичних теорій, що гарантують їх несуперечливість. У
    
15. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
      Реальна картина суспільно-політичному житті Росії 60-90-х років XIX в. була до невпізнання перекручена і в історичній науці, і в шкільних підручниках, і в громадській думці. Це відбувалося від того, що революційний рух, революційна боротьба показувалися, по-перше, єдино вірним напрямком суспільно-політичного життя, а, по-друге, превалюючим над іншими напрямками,
    
16. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
      Жовтневі події 1917 року стали подіями світового значення, але історики ще довго будуть сперечатися і розходитися в їх оцінках. Жовтень 1917 опинився в центрі гострої ідейної та політичної боротьби, що розгорнулася зараз в нашій країні. Більшість дослідників представляє жовтня 1917 революцію * не тільки як найважливіша подія XX століття, відбивало вікові устремління людства до свободи,
    
17. 1.Сущность і уроки НЕПу
      Б зв'язку з радикальною реформою економіки значно підвищився інтерес до досвіду та ідеям нової економічної політики. НЕП - це цілісний нерозривний комплекс заходів економічного, політичного, соціального, ідеологічного, психологічного характеру. До кінця 1920 року В. Н. Ленін остаточно зрозумів, що вирішити лобовою атакою долю капіталізму не вдалося. З'ясувалося й інше: спроба здійснення
    
18. Драма «розселянення»
      Дослідження історії колективізації - цього драматичного повороту в житті села - протягом довгого часу грунтувалося на установках, закріплених в партійно-державних документах 30-х рр.., Потім в «Короткому курсі історії ВКП (б)», а на початку 50-х рр. ., доповнених роботою І.В. Сталіна «Економічні проблеми соціалізму в СРСР». Тому тематика робіт спочатку зводилася в основному до
    
19. 3. Судопроізводственних ПРИНЦИПИ АРБІТРАЖНОГО ПРОЦЕСУАЛЬНОГО ПРАВА
      Принцип диспозитивності. Основним рушійним початком арбітражного судочинства служить ініціатива що у справі осіб. Відповідно З принципом диспозитивності цивільні справи, за загальним правилом, виникають, розвиваються, змінюються, переходять з однієї стадії процесу в іншу і припиняються під впливом, головним чином, що у справі осіб. Принцип диспозитивності арбітражного
    
20. 4. ВИЗНАННЯ І виконання іноземних арбітражних рішень
      Основи міжнародного режиму визнання і виконання іноземних арбітражних рішень були закладені Нью-Йоркської конвенції 1958 р., яка носить універсальний характер і включає до складу її учасників понад 120 держав. Конвенція застосовується виключно до «инос-Тран арбітражним рішень», тобто таким рішенням, які винесені на території держави іншої, ніж держава, де