1. Лакатосовскій емпіріцізм

Задум Лакатоса полягав у тому, щоб показати, що математичне доказ ніколи не позбавляється від можливості контрприкладів і, таким чином, ніколи не стає абсолютно строгим і надійним. Лакатос не поділяє понять строгості і надійності і каже тільки про суворість, розуміючи під нею відсутність контрприкладів, тобто надійність в певному тут сенсі. Використовуючи конкретний приклад, а саме здогад Л. Ейлера про те, що вершини, ребра і грані багатогранника завжди пов'язані співвідношенням

V - Е + F = 2, він показує, як під впливом контрприкладів математики переходили до все нових і нових доказам цієї здогадки, не досягаючи при цьому його повного завершення.

З логічної точки зору контрприклади у Лакатоса поділяються на три типи: 1.

Локальні, але не глобальні. Такого роду контрприклади спростовують окремі твердження (леми), використовувані в доказі, не ставлячи під сумнів істинність що доводиться затвердження (здогадки). Контрприклади цього типу говорять про помилковості деяких припущень, що використовуються в доказі, і є евристичними контрприкладами, що спонукають до уточнення докази. 2.

Локальні і одночасно глобальні. Такого роду контрприклади спростовують як здогад, так і деяку лемму, використовувану при доказі. Вони не ставлять під сумнів правильність здогаду, так як підтверджують загальне логічне правило, згідно з яким контрприклад для здогадки зобов'язаний бути контрприкладом принаймні для однієї з лем, включених в доказ. Однак сам факт появи такого роду контрприкладів, тобто об'єктів, інтуїтивно близьких до об'єктів, про які йде мова в теоремі і все-таки що не задовольняють їй, вказує на вузькість теореми (здогадки), на можливість поширення її на нові об'єкти, які при прийнятих умовах опиняються за межами обговорення. Ми, таким чином, маємо тут справу з евристичними контрприкладами, що спонукають до узагальнення умов теореми. 3.

Глобальні, але не локальні. Це той випадок, коли об'єкт, задовольняючи всім умовам теореми і всім проміжним ЛЕММА, не задовольняє самої теоремі. Такого роду контрприклади свідчать про неповноту умов, про наявність прихованих передумов в міркуванні, тобто про Нестрогие докази. Ми маємо тут справу з логічними контрприкладами, отвергающими доказ.

Лакатоса прагне показати, що еволюція докази ніколи не доводить його до такого ступеня досконалості, при якій воно отримало б повну гарантію від контрприкладів, в тому числі і від контрприкладів цього останнього типу. Таким чином, Лакатоса заперечує ідею абсолютної надійності і абсолютної строгості докази, т.

У своїй реакції на контрприклади доказ, за Лакатоса, проходить кілька стадій. Основні з них такі: 1. Стадія усунення монстрів. На цій стадії ми позбавляємося від контрприкладів , придумуючи привід, що виключає його з числа об'єктів, що задовольняють умовам. Ми винаходимо аргументи, що показують, що передбачуваний контрприклад, насправді, не є таким, оскільки він взагалі не відноситься до безлічі об'єктів, про які йде мова в теоремі. Це відбувається через уточнення сенсу понять, які входять у формулювання теореми. Деякі історичні контрприклади до теореми Ейлера, як показує Лакатос, були зняті через уточнення поняття багатогранника, яке позбавляло спірну фігуру права називатися многогранником і зберігало можливість говорити про теорему Ейлера як застосовної до всього безлічі багатогранників. 2.

Стадія усунення виключень. Це та стадія в доказі, на якій ми усвідомлюємо, що об'єкти, до яких відноситься теорема, є лише підкласом деякого більш широкого класу об'єктів. Ми тепер явним чином обмежуємо умови теореми, починаючи її з виразів типу: «Всі прості багатогранники ...», «Все опуклі багатогранники ...» і т. п. Строгість теореми залежить тепер від точності обмежують умов. 3.

Стадія аналізу докази. Усунення монстрів і усунення виключень можуть проходити за Лакатоса без розгляду докази як такого. Тут ми знаходимося на рівні гіпотез ad hoc, які можуть бути більш-менш вдалими, але ніколи не можуть гарантувати точності умов і повної надійності теореми. Цей недолік усувається за Лакатоса лише тоді, коли ми від аналізу контрприкладів переходимо до аналізу докази з наміром виявити упущення в його логіці, що стали причиною контрприкладів. У процесі аналізу докази ми або доводимо допоміжні леми, зводячи їх до тривіальним ЛЕММА типу 2 + 2 = 4, або, якщо вони не піддаються такій редукції, поміщаємо їх в умова теореми, обмежуючи сферу істинності теореми областю дії цих нових умов.

Питання про те, чи може математичне доказ досягти рівня повної строгості або завершеності, зводиться тепер до питання, можемо Чи ми на якійсь стадії аналізу докази гарантувати відсутність в доказі логічних (глобальних, але не локальних) контрприкладів. Відповідь Лакатоса полягає в тому, що цей ідеал у переважній кількості випадків об'єктивно недосяжний. Навіть у тих випадках, в яких ми можемо припускати закінченість докази, ми в принципі не можемо виробити вичерпних аргументів, що обгрунтовують цей факт. Наша впевненість тут при всій її суб'єктивною ясності приречена на те, щоб залишатися ірраціональною.

Для двох перших способів уточнення докази цей висновок Лакатоса представляється досить переконливим. Метод усунення монстрів і метод усунення виключень засновані на тому, щоб за допомогою кінцевого числа ознак виключити, в принципі, нескінченне різноманіття об'єктів, що не задовольняють теоремі. Немає жодних гарантій того, що це завдання є здійсненним для всіх класів об'єктів. Принаймні ясно, що рухаючись таким чином по лінії, так сказати, вичерпування негативною нескінченності, ми не маємо можливості зафіксувати момент завершення процесу, навіть якби цей момент фактично виявився досягнутим.

Лакатоса вважає, що і метод аналізу докази, будучи найбільш ефективним з точки зору усунення контрприкладів, також не гарантує повного успіху в уточненні: докази. Тривіальні леми, до яких зводиться міркування в цьому випадку, на думку Лакатоса, також не володіють повною надійністю. Історія математики, каже Лакатос, постійно демонструє нам, що тривіально істинні леми можуть перетворитися на тривіально помилкові і що леми, опущені в доказах внаслідок їх повної очевидності, «можуть бути не тільки невірними, але і несумісними» 30. Уточнення докази в прагненні зробити його остаточно строгим являє собою, за Лакатоса, нескінченний спуск, що зупиняється в даний час на тому рівні, де існуючі критерії суворістю не виявляють контрприкладів або логічних дефектів. У розвитку математичних теорій цей спуск виявляється в тому, що кожне покоління математиків прагне все більше обмежити сферу безпосередніх очевидностей, вважаючи за необхідне довести те, що раніше приймалося без докази. Але прогрес, що досягається за допомогою такого збільшення строгості, завжди залишається лише відносним, не усуває можливості нових контрприкладів.

Лакатоса згоден з тим, що будь-яке реальне доказ зводиться в кінцевому підсумку до послідовності тривіальних переходів, які ми приймаємо тільки на основі їх безпосередньої очевидності. Однак він не допускає очевидностей, які заслуговують абсолютної довіри. Він переконаний в тому, що кожна з цих тривіальних очевидностей може зберігати в собі деяку некоректність і, таким чином, може стати джерелом нових контрприкладів.

Строгість докази, робить висновок Лакатос, завжди відносна, вона залежить від історично змінюється рівня строгості аналізу докази, тобто від критеріїв строгості, які не залишаються незмінними. Ми, вважає Лакатос, приймаємо теорему в Як суворої не тому, що вона досягла деякого абсолютного підстави і гарантована від контрприкладів, а тому, що в даний момент вона не має видимих контрприкладів і видимих логічних дефектів з точки зору прийнятих критеріїв строгості. «При кожній« революції суворості », - пише Лакатоса , - аналіз докази проникав все глибше в доказ аж до-обоснова-тельного шару, добре знайомого основного знання, де верховно правила кришталево ясна інтуїція, строгість докази, а критика виганялася. Таким чином, різні рівні строгості докази відрізняються тільки місцем, де має зупинитися критицизм і повинно початися підтвердження. «Достовірність» ніколи не може бути досягнута, «підстави» ніколи не можуть бути обгрунтовані, але «хитрість розуму» перетворює будь-яке збільшення суворості а збільшення вмісту, в ціль математики »31.

Функція доказів, за Лакатоса, полягає не в тому, щоб забезпечити бездоганний висновок здогади з певних умов, а в тому, щоб максимально поліпшити здогадку. Сенс доказування теорем полягає не в досягненні абсолютної строгості, але лише в постійному наближенні до неї.

Інформація, релевантна "1 . Лакатосовскій емпіріцізм "

1. VIII Один і багато
   емпіріцізма, капітуляція перед грубим фактом, нестерпне банкрутство розуму перед сьогочасної видимістю, нездатність пояснити і обгрунтувати, привести все в систему; і «розум» його з обуренням відкидає. Але, якщо ми не озброєні апріорної гарантією того, що десь, може бути - в ідеальному царстві, про яке ми, по своїй обмеженості, можемо тільки будувати здогади, буде знайдена