2. Критика концепції Лакатоса

Викладений вище підхід до розуміння надійності математичного доказу робить логіку наших заперечень абсолютно визначеною. З точки зору праксеологічною теорії очевидності основна помилка Лакатоса полягає в тому, що він не відокремлює ассерторіческіе очевидностей від аподиктических і не усвідомлює особливого обгрунтовуючих статусу останніх. Це переконання Лакатоса істотно пов'язано з емпіричним поглядом на математику, згідно з яким математичні очевидності в своїй основі є очевидним емпіричного і індуктивного порядку. Цей погляд, однак, не обгрунтовано, і воно повністю спростовується на основі більш глибокого аналізу природи первинних математичних ідеалізацій. Якщо первинні очевидності математики відносяться до універсальної формі мислення, то вони внеемпірічни, позачасові й недоступні для коригування на основі яких-небудь контрприкладів. Але це означає, що регрес в посилках не може бути нескінченним. Він неминуче затримується на рівні аподиктических очевидностей або за допомогою однозначно певних тверджень, прийнятих як аксіом.

Лакатоса змішує поняття строгості і надійності докази, виводячи недосяжність надійності з недосяжності остаточної строгості. Ясно, що суворість докази може зростати і після досягнення ним повної надійності. Аксіоматизації і формалізація безсумнівно збільшують строгість доказів, але вони ніколи не дезавуюють закінчених змістовних доказів у сенсі залежності певних наслідків від певних посилок. Вдосконалення мови та критеріїв строгості в зрілої теорії не спростовує прийнятих теорем, а орієнтується на них як на свій вихідний і абсолютний базис. Нескінченний процес оновлення мови математики та уточнення критеріїв строгості не означає нескінченної коригування посилок і нескінченного процесу усунення контрприкладів. Історичне поглиблення аналізу доказу не може похитнути завершення докази і систему визнаних теорем.

Лакатоса прав в тому, що кожна нова епоха в математиці звужує чисто інтуїтивний базис математики, укладаючи в строгі визначення ті поняття і твердження, які використовувалися раніше на інтуїтивному рівні. Історія понять числа, функції, множини, алгоритму і т. п. добре ілюструє те положення, що всі інтуїтивне, імпліцитне в математиці рано чи пізно експлікується, оформляється в точній мові, задається аксіоматично і формалізується. Але Лакатос, безсумнівно, помиляється, допускаючи, що такого роду експлікація очевидностей може поставити під сумнів визнані затвердження теорії. Ця ідея не знаходить жодного підтвердження в історії математичного мислення і суперечить загальній логіці супідрядності строгості і надійності в математичному міркуванні. Насправді, нові критерії строгості приймаються тільки в тому випадку, якщо вони узгоджуються з уже визнаним вмістом математики. Аналіз докази не проникає в сферу сформованого математичного знання, яка представляє, таким чином, систему абсолютних і некорректіруемих дедуктивних зв'язків.

Лакатоса переконаний в тому, що математики не мають і не можуть мати об'єктивних критеріїв строгості, достатніх для того, щоб однозначно зафіксувати факт суворого докази навіть у тих випадках, в яких ми його насправді досягли. У цьому положенні Лакатоса є частка істини, яка полягає в тому, що не існує повної системи вимог і процедур, яка дозволяла б у всіх випадках проводити перевірку докази і виносити остаточний вердикт щодо його строгості. Однак позиція, що випливає з ідеї аподиктической очевидності, вказує нам шлях до позитивного вирішення проблеми. Ми можемо стверджувати, що кожне доказ неминуче приходить до стадії завершеності, яка виключає контрприклади, і що ми володіємо об'єктивними критеріями цій стадії. Цей критерій складається, по-перше, у визнанні докази математичним співтовариством, а по-друге, у входженні його в центр математичної теорії. З цієї точки зору, докази, визнані математичним співтовариством і істотно задіяні в теорії, слід вважати абсолютно завершеними і невразливими для критики. Ці критерії остаточної строгості, не будучи логічними, проте є загальнозначущими і об'єктивними.

Ще одна помилка Лакатоса, істотно визначає його позицію, полягає в неадекватному розумінні статусу математичних визначень. Лакатос переконаний (ця ідея особливо ясно виражена в останніх розділах його книги), що будь-яке визначення може бути неявно розширено, і це обставина сама по собі може бути джерелом контрприкладів. Доводи, які Лакатос наводить тут, страждають неясністю і відірваністю від практики математичного міркування. Чи можемо ми, наприклад, привести контрприклад до теореми Піфагора, розширивши поняття прямій? Звичайно, при розвиненій фантазії можна постаратися це зробити, приписавши прямий, наприклад, деякі властивості кривої лінії, але навряд чи хто буде вважати міркування, засноване на такий фантазії, міркуванням в рамках геометрії Евкліда.

Розширення поняття, чревате контрприкладами, можливо тільки на початковому рівні його становлення, коли воно ще не увійшло в жорстку систему прийнятих визначень. Контрприклади при доведенні теореми Ейлера, які аналізує Лакатос, виникають доти, поки ми розглядаємо багатогранник на інтуїтивному рівні, поза його суворого логічного визначення, і вони негайно зникають, як тільки це поняття редукується до адекватної системі понять, що розкриває його зміст. Доказ теореми Ейлера в рамках сучасної топології ніким не піддається сумніву. Діалектика доказів і спростувань, яскраво продемонстрована Лакатосом у своїй книзі, безумовно має місце на етапі становлення теорем, але вона не може бути віднесена до будь теоремі і не може служити підставою для висновку про релятивності математичного докази взагалі. Використовуючи аналогію Поппера, ми можемо сказати, що в математиці, як і у всякій іншій науці, ми починаємо забивати палі в болото, але на відміну від інших наук ці палі досягають тут твердого грунту, абсолютного обосно-вательного шару, не схильного зміні. Центр зрілої математичної теорії є незруйновним в тому сенсі, що він не допускає ніяких контрприкладів і ніяких спростувань. Тут може виявитися недолік строгості, але ніколи не буде місця для критики надійності.

Слабкість концепції Лакатоса проявляється найбільше в тому факті, що вона суперечить фактам історії математики. Якби Лакатос був правий, якби наше нескінченний рух до строгості було дійсно пов'язано з постійною коригуванням тривіальних лем, то всі наші теореми постійно розпухає б від додавання все нових і нових раніше втрачених лем. Нічого подібного в реальному математики не відбувається. Чудовий факт, що відноситься до існування математичних теорій, полягає в тому, що ніякі контрприклади ніколи не руйнували їх визнаних результатів. Контрприклади в математиці завжди виникали тільки на периферії теорії, в точках її зростання і повністю усувалися її систематичним побудовою.

Лакатосовская критика математичного доказу повинна бути, таким чином, повністю відкинута. Вона є цінною лише в тому відношенні, що спонукає уважніше дослідити заснування нашої віри в строгість математичного міркування.

Інформація, релевантна " 2. Критика концепції Лакатоса "

1. Теорія наукових революцій
   критиків концепції Куна. Це не дивно, оскільки звернення дослідників до реальних фактів історії розвитку науки виявили, що дійсний стан справ у науці дуже далеко від того ідеалу науковості, який описували перш філософи науки, в т. ч. і Карл Поппер. Примітно, що позитивісти, завжди виступали як непримиренні противники всякого філософського догматизму, самі
   
2. Література і примітки
   критиці канторовской діагональної процедури докази незліченну континууму / / В кн.: Традиційна логіка і канторовской діагональна процедура. М., 1997. С. 22-29; Петросян В.К. Загальна криза теоретико-множинної математики і шляхи її подолання. М., 1997; Зенкин А.А. Помилка Кантора / / Питання філософії. 2000. № 2. 19. Це міркування, звичайно, не вирішує питання про коректність
   
3. 5. Вічний інтерес, вічні суперечки Іван Грозний і Петро Великий
   критиці. На відміну від цих послань «Історія про великого князя Московському» адресувалася зарубіжному читачеві. Головною метою її написання було не допустити обрання Івана Грозного на польський престол після смерті короля Сигізмунда. А. Курбський наполегливо проводить думку, що государ повинен керувати країною, завжди і в усьому радячись з вельможами. В іншому випадку він перетворюється на лиходія і
   
4. Петро Великий
   критикує соціально-політичну сторону його діяльності. М. М. Щербатов звинувачує Петра в приниженні колишнього значення родовитої аристократії, обмеженні її законних прав і привілеїв, обурюється піднесенням «підлих» людей і підкреслює, що розширення промисловості і торгівлі порушили патріархальну чистоту сільського побуту. Таким чином цей історик як би протиставляв древню «благолепную»
   
5. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
   Критиці як з боку лібералів, так і з боку революціонерів всіх мастей. Критикувалися не тільки політичні діячі, які дотримуються консервативних поглядів, а й багато філософи та письменники, адже в Росії саме в філософії та літератури за брак парламенту часто відбувалися запеклі баталії про те, «куди йти» і «що робити». Примітно, але клеймо «консерватор» отримували навіть
   
6. 1.Економіка і соціальна структура
   критиці подібні твердження піддав видний історик-аграрник А.М. Анфимов. На основі скурпулезностью досліджень різноманітних джерел він переконливо довів, що аж до першої світової війни в землеробському ладі Європейської Росії напівкріпосницького порядки ще превалювали над капіталістичними. У 70-х роках XX століття ця проблема знов піддалася набагато більш глибокому і
   
7. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
   критика концепції модернізації, оскільки вона виділяє закономірність у розвитку суспільства, розглядає як ідеал західне капіталістичне, ліберально-демократичний розвиток і по суті є ліберальним аналогом, дзеркальним відображенням марксистської схеми капіталістичного розвитку. Обидві втрачають з виду активних суб'єктів історії-людей. Останнім часом у закордонній та вітчизняній
   
8. Драма «розселянення»
   критиці положення книги про те, що при побудові соціалізму можна було обійтися без насильницької експропріації куркульства, обрушилися рецензенти і на твердження, що «якби колективізація проводилася без перегинів і помилок, то від-ходило б загасання, а не загострення класової боротьби». Таким чином, навіть окремі, дуже боязкі спроби відійти від офіційної концепції були в тих
   
9. 1. Велика Вітчизняна війна
     критика на адресу Сталіна, Генштабу, Наркомату оборони. У цей двадцятиріччя (з середини 1960-х до середини 1980-х рр..) Велика увага приділялася виданню мемуарної літератури. Своїми спогадами поділилися майже всі видні полководці. Найбільший інтерес викликали «Спогади і роздуми» Г. К. Жукова. Тут було дано суперечливий образ вождя, зроблена спроба показати весь шлях від задуму до
   
10. Микита Сергійович Хрущ єв (1894-1971 рр..)
      критики, так як шляху, там зазначені, відображають примітивізм її творців. Наприклад, перехід від кооперативно-колгоспної власності до загальнонародної розглядався як швидкий переклад колгоспів у радгоспи! А виховання гармонійно розвиненої особистості бачиться як проведення в життя основних положень «Морального кодексу будівника комунізму»! Але саме приголомшливе - це переконання в тому, що комунізм
    
11. ВСТУП
      критиці були піддані оціночні концепції провини і винності, як підстави кримінальної відповідальності. Більшість радянських криміналістів дійшло висновку, що єдиною підставою кримінальної відповідальності за радянським кримінальним правом є склад злочину. Однак багато питань у вченні про склад злочину, як єдиному підставі кримінальної відповідальності, залишаються до сих
    
12. § 2. Короткий нарис розвитку проблеми
      критиці. Що вийшов в 1938 році підручник з Загальної частини кримінального права, написаний колективом ВИЮН, констатував, що питання про вино є «одним з основних питань соціалістичного кримінального права» 2. Вирішення питання про вино як підставі кримінальної відповідальності у підручнику було невдалим. Воно містило в собі ще не переборена вплив зазначених вище теорій провини, у зв'язку з чим вина