Література і примітки

See: Husserl Є. The Origin of Geometry / / In: Husserl E. The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology. Northwestern University Press, Evanston, 1970 P. 377. 2.

Grassmann H. Die Ausdehnunglehre. Gesammelte Mathematische und Physicalische Werke, Band 1, Theil 1, Leipzig, 1894. S. 22. 3.

Див: Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. М., 1998. С. 461-462. 4.

Кант І. Критика чистого розуму. Т. 3. М., 1964. С. 84.

Частина перша 1.

Декарт Р. Правила для керівництва розуму / / Декарт Р. Твори в 2-х томах. Т. 1, М., 1989. С. 79. 2.

Див: Постніков М.М. Теорема Ферма. М.: Наука, 1982. С. 11-12. 3.

Сфера концептуальної наочності істотно залежить від образів, прийнятих в культурі і техніці епохи. В даний час можливості внутрішньої наочності в математиці істотно розсуваються на основі комп'ютерної графіки. Див: А.А. Зенкин. Когнітивна комп'ютерна графіка і теорія чисел. М., 1991. 4.

Див: Больцано Б. Чисто аналітичний доказ теореми, що між будь-якими двома значеннями, що дають результати протилежного знака, лежить щонайменше один дійсний корінь рівняння / / В кн.: Е. Кольман. Б. Больцано. М., 1975. С. 171-172. 5.

Див: Brouwer L.E.J. Intuitionism and formalism / / In: Brouwer L.E.J. Collected works. Vol. 1. Amsterdam, 1975. P. 125. 6.

Див, наприклад: Хан Г Криза інтуїції в математиці / / В кн.: Математики про математику. М.Т 1972. С. 38-52. 7.

Висновок формул, що відносяться наприклад, см.: Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення. Т. З, М., 1969. С. 248-251. 8.

Див: Frege G. Posthumous Writings. The University Chicago Press. 1979. PP. 273-279. 9.

Кант І. Критика чистого розуму. Т. 3. С. 184. 10.

Див: Рассел Б. Про новітніх дослідженнях в підставах математики / / Сб. Нові ідеї в математиці. СБ 1. Спб., 1913. 11.

Ф.Ф Лінде у передмові до перекладу книги Л. Кутюра справедливо вказував на те обставина, що всякий висновок в логіцістской системі

потребує аксіомі «Р. є приватне значення функції F », де Р - вихідна математична формула, F - застосовне до неї логічне правило. (Див.: Кутюра Л. Філософські принципи математики. СПб., 1913. С. VI.) Очевидно, що інтуїція підведення під правило має місце в будь-якому виведенні згідно з правилом. 12.

Н.М. Нагорний вважає, що комп'ютерні докази, що не допускають записи у вигляді тексту і традиційної перевірки, можуть бути евристично корисними, але ні за яких обставин не можуть претендувати на остаточне вирішення проблеми. Щодо доведення теореми про чотири фарбах, яке було запропоновано Аппелем і Хакеном, Нагорний пише: «Для мене особисто з роботи Апеля і Хакена випливає тільки те, що ... я тепер буду вважати малоперспективним пошук контрприкладів до теореми чотирьох фарб. Але вирішення проблеми, так як я його розумію, у авторів немає. І на цьому шляху, як мені здається, його й не може бути. Слід, може бути, додати, що повторний рахунок може тільки підвищити нашу впевненість, але в принциповому відношенні він не дає нічого нового ». (Цитується за: Кудрявцев Л.Д. Сучасна математика та її викладання. М.: Наука, 1985. С. 103-104.) Як ми бачимо, Нагорний переконаний, що повторення перевірок не може перевести доказ з класу ймовірних в клас абсолютно надійних . Є підстави думати, що це міркування, будучи вірним для незалежних подій, не проходить для процесу підтвердження математичних істин, яке має системою характер. У математичному міркуванні ми постійно переводимо відносне в абсолютне допомогою кінцевого (хоча і невизначеного) числа перевірок. 13.

Кант І. Критика чистого розуму. Соч. в шести томах. Т. З, М., 1964. С. 106. 14.

Лейбніц Г.В. Твори у чотирьох томах. Т. 2. М., 1989. С. 54. 15.

Фреге Г. Основоположення арифметики. М., 2000, С. 44-45. Розуміння ідеальних образів як самостійно існуючих і первинних перед їх предметної реалізацією було природним для стародавніх і середньовічних філософів. Платон вважав, що геометричні фігури, дані в сприйнятті, лише вказують нам на їх ідеальні прообрази, які і є істинним предметом геометрії. У Боеція читаємо: «Справа в тому, що існує два види числа: одне за допомогою якого ми вважаємо, інше - укладену в обчислюваних речах. Так «одне» (unum) - це річ; «одиниця» (unitas) ж - те, завдяки чому ми говоримо «одне». Точно так само і «два» відносяться до речі, наприклад, дві людини або два каменю; «двоица» ж - це не [речі], але тільки те, завдяки чому людей або каменів стає двоє. Подібним же чином йде справа і з іншими [числами] »(Боецій. Розрада філософією та інші трактати. М., 1990. С. 149). Думка Боеція складається, очевидно, в тому, що людина вимовляє слово «два» по відношенню до сукупності речей вже має уявний еталон - двоіцу, на основі якого ця сукупність виділяється з інших сукупностей. Зрозуміло, Боецій не допускає зміни цього еталону в процесі його використання. Це, безумовно, правильне бачення суті справи було згодом затемнено емпіричною теорією пізнання. 16.

Гуссерль, однак, ототожнює універсальну онтологію із зазначеними математичними теоріями. Математика є для нього і універсальна онтологія, що відноситься до предметності взагалі. (Див.: Гуссерль Е. Ідеї до чистої феноменології та феноменологічної філософії. Розділ 1, параграфи 8-10.) Таке розуміння змішує принципово різні уявні структури. З праксеологічною точки зору необхідно розділити онтологію на систему ідеалізацій, пов'язаних з пізнавальною діяльністю взагалі, і формальні структури, що базуються на онтологічних уявленнях. Арифметика - НЕ онтологія і не частина він тологии, а формальна система, заснована на ідеалізації, що відносяться до онтології. 17.

Див: Кутюра Л. Кантовська філософія математики / / В кн. Філософські принципи математики. СПб., 1913. С. 216-223. 18.

Див: Russell В. Essays on the Foundation of Geometry. Cambridge, 1897. Abz. 70. Рассел підходить тут до геометрії з позицій, близьких до апріоризму Канта. З прийняттям логіцістской установки він відмовився від априоризма як концепції, що апелює до чуттєвої інтуїції. 19.

Натуралістичне розуміння математики як системи абстрактних структур, що відображають реальність, безсумнівно, фіксує в собі певну істину, яка підтверджується самим фактом приложимости математичних теорій до опису реальності. Цей момент підкреслювався у філософії діалектичного матеріалізму (див.: Енгельс Ф. Діалектика природи, гл. 5; Рузавин Г.І. Про природу математичного мислення. М., 1968 та ін.) В даний час ця ідея знаходить вираз у розумінні математичних теорій як ідеальних форм («зразків») реальності. (Див.: Michel Resnik. Mathematics as a Science of Patterns. Oxford: Oxford University Press, 1997.) З праксеологічною точки зору така трактовка математики є односторонньою: вона випускає з уваги внеемпірічеськой характер її первинних уявлень. 20.

Див: Лейбніц Г.В. Твори в 4-х томах. Т. 3. М., 1984. С. 496. 21.

Щодо закону дії і протидії Кант каже: «Ньютон не наважувався довести його a priori, а тому посилався на досвід». Див: Кант И. Соч. Т. 6. М., 1966. С. 157. Спроби захистити апріорний характер принципів механіки робляться і в даний час. (Див.: Грязнов А.Ю. Методологія фізики і априоризм Канта / / Питання філософії. 2000. № 8). З діяльнісної точки зору ці спроби є необгрунтованими, бо цільова установка мислення і залежна від неї система апріорних категорій самі по собі не зумовлюють властивостей механічного руху або яких-небудь інших властивостей реальності. 22.

Див: Кутюра Л. Кантова філософія математики / / В кн.: Кутюра Л. Філософські принципи математики. С. 111. 23.

Див: Гуссерль Е. Логічні дослідження. Т. 1. Пролегомени до чистої логіки. СПб., 1909. С. 101. 24.

Гуссерль переконаний, що виникненню геометрії як вчення про чисті формах передувала «груба» геометрія (Протогеометр), заснована на мистецтві вимірювання. (Див.: Husserl Є. The Creisis of European sciences and Transcendental Philosophie. Evanston, 1970. P. 28.). Позиція Гуссерля відрізняється тут від установки радикального емпіризму лише в тому відношенні, що становлення Протогеометр, на його думку, опосередковується деякої первинної інтуїцією простору, яка сама по собі, без досвіду вимірювання тел недостатня для виправдання геометричних істин. Див: Гуссерль Е. Початок геометрії. Введення Ж. Де.рріда / / В кн.: Гуссерль Е., Дерріда Ж. Початок геометрії. М., 1996. С. 215-245. 25.

Див. Yehuda Rav. Philosophical Problems of Mathematics in the Light of Evolutionary Epistemology / / Philosophlca. 1989. Vol. 43, № 1. 26.

П. Бернайс у своїй статті «Про платонізмі в математиці» (1935) робить важливе розрізнення між методологічним (математичним) реалізмом як установкою працюючих математиків на прийнятність абстрактних математичних об'єктів, пов'язаних з актуальною нескінченністю, і метафізичним реалізмом як доктриною про обумовленість математичних визначень деякої реальністю. (Bernays P. On Platonism in Mathematics / / In: Philosophy of Mathematics. Selected readings. P. Benacerraf and H. Putnam (ed.). Cambridge University Press, 1964. P. 101.) На його думку, метафізичний реалізм не має прямого відношення до роботи математика і до проблем обгрунтування математики. Дійсне положення, однак, істотно інше. Воно полягає в тому, що тільки прояснення питань, пов'язаних з метафізичним реалізмом, дозволяє нам виправдати математичний реалізм як прийнятна методології математики і логіки її обгрунтування. 27.

Godel К. Russells mathematical logic / / In: Pears DF (Ed). Bertrand Russell Collection of critical essays. New York, 1972. 28.

Godel K. What is Cantor's continuum problem? / / In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. 29.

Штейнгауз Г. Про математичної строгості / / В кн.: Завдання і роздуми. М., 1974. 30.

Лакатоса І. Докази і спростування. М., 1967. С. 65. 31.

Там же, с. 80. 32.

Поппер К.Р. Логіка наукового дослідження / / В кн.: Поппер К.Р. Логіка і зростання наукового знання, М., 1983. С. 111. 33.

Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. New York, Oxford, 1984. P. 50-53. 34.

Ibid., P. 64. 35.

Ibid., P. 55-56. 36.

Ми, очевидно, міркуємо тут у дусі ейдологіі Гуссерля, яка передбачає, що разом з конкретним образом предмета, ми маємо і його универсалию, яка є істинним предметом розгляду. Для вихідних математичних теорій, пов'язаних з онтологічної очевидністю, це дійсно так: говорячи про трикутник, ми маємо на увазі не

конкретний трикутник, намальований на дошці, а трикутник взагалі, отриманий на основі сутнісної варіації. Наші теореми істинні для всіх трикутників з тієї причини, що наша думка рухається тільки в припущеннях, що витримують варіації, сумісні з сутністю трикутника. Однак, прагнення Гуссерля знайти тут шлях до осягнення родових істин взагалі, не є виправданим. Неважко бачити, що "схоплювання сутності" на основі конкретного сприйняття стає можливим в математиці внаслідок того, що прості математичні об'єкти задаються кінцевим числом параметрів і межі зміни цих параметрів задані з аподиктической очевидністю. Жодне з цих умов не має місця за межами математики. 37.

Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. P. 51-52. 38.

Devis P.J. Fidelity in mathematical discourse. Is one and one really two? / / American Mathematical Montly. 1972. Vol. 79, № 3. P. 258. 39.

Ibid., P. 259. 40.

Успенський B.A. Сім роздумів на теми філософії математики / / В кн.: Закономірності розвитку сучасної математики. М.: Наука, 1987. С. 137-151. 41.

Там же, с. 151. 42.

Див: Розов М.А. Спосіб буття математичних об'єктів / / В кн.: Методологічні проблеми розвитку та застосування математики.

Частина друга 1.

Аристотель. Твори у чотирьох томах. Т. 1. М., 1976. С. 125. 2.

Там же. 3.

Там же, с. 133. 4.

Бесіди Епіктет. М.: Ладомир, 1997. С. 138. 5.

Там же, с. 135. 6.

Кант І. Логіка. Пг., 1915. С. 1-7. 7.

Кант І. Твори в шести томах. Т. 3. М., 1964. С. 174. 8.

 Спенсер Г. Підстави психології. Т. 2. М., 1898. С. 157. 9.

 Там же, с. 254. 10.

 Там же, с. 262. 11.

 Мілль Дж.Ст. Система логіки силогістичної і індуктивної. М., 1914. С. 250. 12.

 Там же. 13.

 Гуссерль Е. Логічні дослідження. Т. 1. Пролегомени до чистої логіки. СПб., 1909. С. 83. 14.

 Там же, с. lpl. 15.

 Гуссерль Е. Логічні дослідження. С. 120. 16.

 Там же, с. 122. 17.

 Там же, с. 173. 18.

 Там же. с. 53. 19.

 Гуссерль Е. Ідеї до чистої феноменології та феноменологічної філософії. М., 1999. Розд. 1. 20.

 Husserl Е. Urteil und Erfarung. Zur Genealogie der Logik. Stutgart, 1939. S. 93-98. 21.

 Піаже Ж. Структури операціональні і структури математичні / / В кн.: Викладання математики. М., 1960. С. 30. 22.

 Піаже Ж. Вибрані психологічні праці. М., 1969. С. 579. 23.

 Там же, с. 86. 24.

 Там же, с. 205. 25.

 Там же, с. 89. 26.

 Quine W.V. Philosophy of Logic. N.Y., 1970. P. xi. 27.

 Ibid., P. 60. 28.

 Ibid., P. 86. 29.

 Аристотель. Метафізика. С. 212. 30.

 Ці загальні міркування дозволяють певною мірою виправдати загальну ідею інформативності логічних норм, яка намічається в ряді робіт. (Див.: Войшвилло Є.К. Логічне слідування, можливі світи і питання про інформативності законів логіки / / В кн.: Сучасна логіка і методологія науки. М., 1987. С. 19-32.) У всякому разі ясно, що аналітичність логіки не тотожна її чистою тавтологічні-сти і беззмістовності. 31.

 Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. Jena, 1893. Bd. 1. S. XVI. 32.

 Reichenbach H. Philosophical foundations of guantum mechanics. Berkley and Los Angeles, 1946. 33.

 Куайн виключає з логіки обчислення, що використовують предикати від предикатів на тій підставі, що предикат, який виступає в якості аргументу, припускає поняття безлічі, а отже, і теорію множин (див.: Quine WV Philosophy of Logic. NY, 1970. P. 66) . Наша аргументація, очевидно, іншого роду: вона виходить з того положення, що логічна істинність не може існувати поза онтологічної істинності і самоочевидності. 34.

 Quine W.V. Philosophy of Logic. P. 91. При такому підході реальна логіка ототожнюється з еементарнимі логічними численнями. 35.

 Кутюра Л. Алгебра логіки. Одеса, 1909, С. 102. 36.

 Schlick М. General Theory of Knowledge. Wien, New York, 1976. P. 107. 37.

 Войшвилло Є.К. Філософсько-методологічні проблеми релевантної логіки. М., 1988. 38.

 Гільберт Д. Логічні підстави математики / / В кн.: Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. С. 418. 39.

 Quine W.V. Philosophy of Logic. Ch. 5. 40.

 Див: Теорія категорій. M., 1994. С. 111. 41.

 Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. М., 1998. С. 400. 42.

 Brouwer L. On the Foundations of Mathematics / / In: Brouwer LEJ Collected Works. Vol. 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, Amsterdam-Oxford, 1975. P. 92. 43.

 Brouwer L. Points and Spaces / / Collected Works. Vol. 1. P. 523. 44.

 Назви аргументів, використовувані тут, також досить умовні, хоча, звичайно, вони пов'язані з їх змістом. 45.

 Brouwer L. The Unreliability of the logical Principles / / Collected Works. Vol. 1. P. 109. 46.

 Див: Brouwer L. Intuitionistische Zerlegung mathematische Grundbegrif-fen / / Collected Works. Vol. 1. P. 276. 47.

 Brouwer L. The Unreliability of the logical Principles. P. 108. 48.

 Brouwer L. The Unreliability of the logical Principles. P. 109. Брауер вказує тут на Гільберта, який неодноразово висував як аксіоми математичного мислення положення, що кожна математична задача розв'язна в позитивному або негативному сенсі. 49.

 Brouwer L. Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, inbesondere in der Funkzionentheorie. S. 270. 50.

 Brouwer L. The unreliability of the logical Principles. P. 110. 51.

 Brouwer L. The Effect of Intuitionism on classical Algebra of Logic / / Collected Works. Vol. 1. P. 552. 52.

 Вейль Г. Півстоліття математики. М., 1969. С. 44. 53.

 Brouwer L. On the Foundations of Mathematics. P. 74. 54.

 Brouwer L. Historical Background Principles and Methods of Intuitionism / / Collected Works. Vol. 1. P. 510-511. 55.

 Bernays P. On Platonism in Mathematics. P. 265. 56.

 А. Гейтинг пише: «Якщо слово« існувати »не означає« бути побудованим », то вона повинна мати якийсь метафізичний сенс» (Гейтинг А. Інтуіціонізм. Введення. С. 10). Відповідно з цією установкою, математика - не досвідчені наука і не метафізика, а наука про можливості суворого уявного конструювання. 57.

 Поппер К. Логіка і зростання наукового знання. С. 175. 58.

 Бунге М. Інтуїція і наука. М., 1967. С. 50-51. 59.

 Putnam Н. Mathematics without foundations / / In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1984. P. 302. 60.

 Марков А.А. Про логіку конструктивної математики / / Вісник Московського ун-та. Серія 1. 1970. № 2. С. 13. 61.

 Див: Вітгенштейн Л. Зауваження на підставах математики. С. 108 - 110. 62.

 Зінов'єв А.А. Логічна фізика. М., 1972. С. 8. 

 Частина третя 

 1. См: Лобачевський Н.І. Повне. зібр. соч. Т. 1. М.-Л., 1946. С. 261. Тут необхідно найрішучішим чином заперечити проти усталеного думки, згідно з яким Лобачевський, розробивши свою геометрію в досить великому обсязі, що не довів її логічної правомірності. (Див., наприклад: Александров А.Д. Підстави геометрії. М., 1987. С. 262.) 

 Занурення неевклідової планіметрії в геометрію сфери, здійснене Лобачевским, звичайно, доводить її несуперечливість нітрохи не в меншій мірі, ніж пряма інтерпретація її відносин на псевдосфері, здійснена пізніше Е. Бельтрамі. 2.

 См: Гільберт Д. Підстави геометрії. М. 1948. Гол. 2, § 9. 3.

 Гільберт Д., Бернайс П. Підстави математики. Т. 2. Теорія доказів. М., 1982. С. 13. 4.

 Александров А.Д. Математика і діалектика / / В кн.: Проблеми науки і позиція вченого. М., 1988. С. 58. 5.

 Б. Рассел вважав, що ідея величини марна для чистої математики і навіть чужа їй, оскільки її не можна визначити без будь-якого звернення до інтуїції. Див: Russell В. The principles of Mathematics. V. 1. Cambridge University Press, 1903. Ch. 21. 6.

 Аристотель. Твори. Т. 1. M., 1976. С. 54. Цей аристотелевский теза виявився найстійкішим забобоном у філософії математики, що впливає на її методологію і в даний час. 7.

 Brouwer L. Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, inbesondere in der Funkzionentheorie. S. 270. 8.

 Див: Godel K. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, Ergeb-nisse eines mathematischen Kolloquiums. Heft 4. 1932. S. 12-13. 9.

 Frege G. On the Foundation of Geometry / / The Philosophical Review. 1960. Vol. XIX. P. 15-17. 10.

 Це визначення, очевидно, містить в собі коло, оскільки ми визначаємо га-е число через клас еквівалентних класів га-го порядку. Але ми розриваємо це коло, визначаючи в логічних поняттях арифметичний нуль і поняття наступного числа. Див: Фреге Г. ОсновопбМоженія арифметики С. 21-25. 11.

 Див: Фреге Г. Запис в поняттях, § 24, а також «Основоположення арифметики», § 81. 12.

 Теорія типів зводиться до цього загальним правилом. Простий аналіз показує, що повне його проведення неможливе, оскільки, воно усуває з математики занадто багато, зокрема, всі непредикативні визначення. Повна теорія типів передбачає розумні відступу назад і теоретичне виправдання цих відступів. Можна сказати, що Рассел тільки заклав основу теорії формальних визначень, яка залишається мало розробленою і в даний час. 13.

 Whitehead A, Russell В. Principia Mathematica. V. 3. Cambridge, 1929. P. 234. Див також: Рассел Б. Введення в математичну філософію. М.: Гнозис, 1998. Гол. 13. 14.

 Аксіома сводимости, що встановлює зв'язок між різними порядками множин в розширеній теорії типів була згодом визнана зайвої з погляду переборні парадоксів. Обговорення цього моменту, см.: Френкель А., Бар-Хиллел І. Підстави теорії множин. М., 1967. Гол. 3. 15.

 Фреге і Рассел вважали, що натуральний ряд повинен починатися з нуля. (Див.: Рассел Б. Введення в математичну філософію. С. 13.) Для логіцістской трактування арифметики це важливо, бо порожній безліч є найбільш підходящим об'єктом як вихідного елемента для побудови логічного корелята натурального ряду. Онтологічно осмислений натуральний ряд, однак, повинен починатися з одиниці, бо нуль в цьому випадку - фікція, що має чисто операциональное значення. Це останнє розуміння ми бачимо у Брауера і Вейля. Неважко бачити, що за цим, на перший погляд, дріб'язковим суперечкою (див. також: Успенський В.А. Цит. Соч. С. 110) стоїть питання про статус поняття числа, а саме, про можливість його адекватного визначення в теоретико-множинних поняттях. Арифметика, звичайно, може бути обгрунтована незалежно від теорії множин як теорія, що має особливе інтуїтивне підставу, що базується на ідеї прямування, а не на ідеї чистого кількості, що є основою теорії множин. У цьому випадку ми повинні прийняти інтуїцію, що міститься в понятті «слідувати за» як вихідну і вважати істинним початком натурального ряду одиницю як уявлення, визначальне процес нескінченної ітерації. 16.

 Кант І. Критика чистого розуму / / Кант И. Соч. в шести томах. Т. 3. М., 1964. С. 472. 17.

 Ця обставина певною мірою усвідомлювалася і раніше. Л. Ейлер писав: «Навіть якщо заперечувати, що у Всесвіті дійсно існує нескінченне число, то все ж в математичних дослідженнях часто зустрічаються питання, на які не можна відповісти, якщо не допустити нескінченного числа» (Ейлер Л. Диференціальне числення. Т. 1. М. - Л., 1949. С. 90). Ця точка зору, висловлена в XVIII столітті, є більш близькою до істини, ніж натуралістична позиція Рассела, оскільки вона допускає можливість визнання математичної нескінченності незалежно від її реалізації в досвіді. Ясно, що натуралізм Рассела, проведений послідовно, скасовує проблему обгрунтування математики. 18.

 Це просте положення не є цілком усвідомленим в методології математики. П.К. Рашевський висловлював думку, що методологічні проблеми сучасної математики в чому пов'язані з абсолютизацією уявлення про єдиності і абсолютності натурального ряду чисел. (См: Рашевський П.К. Про догматі натурального ряду / / Успіхи мат. Наук. 1973. Т. 28, вип. 4 (172). С. 243-246). З онтологічної точки зору ця ідея, звичайно, неприйнятна. Общезначімость, гранична ясність і історична стабільність принципів, що визначають поняття числа, обумовлена його належністю до категоріальної формі мислення і не може бути змінена за нашим бажанням. Сучасні методологічні труднощі в підставах математики виникають не з догматизму, а навпаки, - з безмежного релятивізму, який намагається спростувати те, що в принципі не підлягає спростуванню. 19.

 Пуанкаре писав у «Науці і методі»: «Ні актуальної нескінченності. Канторіанци забули це і впали в протиріччя »(Пуанкаре А. Наука про науку. М., 1983. С. 400). 20.

 Кантор Г. До вчення про трансфинитное / / В кн.: Кантор Г. Праці з теорії множин. М., 1985. С. 297. 21.

 Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. С. 459. 22.

 Гедель К. расселовского математична логіка / / В кн.: Рассел Б. Введення в математичну філософію. С. 230. 23.

 На цю обставину вказував Д. Гільберт: «Цермело, - писав він, - запровадивши відповідну аксіому, обмежив сваволю у визначеннях множин, ... звузив коло допустимих тверджень про елементи множин.

 Йдеться тут, очевидно, про виправдання правила нескінченної індукції, згідно з яким з виводимості формул / (0), / (1), / (2) і т. д. ми укладаємо про виводимості загального твердження виду Vz f (x) при будь-якому обсязі області визначення. З передбачуваної здійсненності операції вибору для кожного безлічі окремо, звичайно, слід її здійснимість для всієї сукупності множин, хоч би якою була ця сукупність. Власне філософський аргумент може складатися тут у тому, що у сфері ідеальної предметності ми вправі усунути всі обмеження, що виникають з емпіричної основи мислення. Інакше кажучи, тип нескінченності не має значення для повної перевірки безлічі, якщо така допускається для будь-якого його елементу. 25.

 Whitehead A, Russell В. Principia Mathematica. V. 3. Cambridge, 1929. P. V. 26.

 Hao Wang. The concept of set / / In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. P. 536. 27.

 Порівняння можливостей різних аксіоматикою теорії множин див.: Ван Хао, Мак Нотон. Аксіоматичні системи теорії множин. М., 1965. 28.

 Див: Френкель А., Бар-Хиллел І. Підстави теорії множин. М., 1969. Гол. 3. 29.

 Принцип спільності, сформульований вище як твердження про абсолютну несуперечності системи аксіом, що складається тільки з логічно і онтологічно істинних тверджень, можна, мабуть, розширити через включення аналітично істинних аксіом. Ми виходимо тут з того факту, що фундаментальне математичне поняття має «ейдос», смислове ядро, не змінює в будь-яких контекстах його використання. Аксіоми, що виражають ці «невід'ємні» властивості математичного об'єкта, можуть вважатися аналітично істинними, що розкривають зміст поняття, безсумнівно сумісними один з одним, а отже, - і з реальною логікою. Г. Булос вважає, що аксіома об'ємності - чисто аналітичне твердження, виникаючою з змісту, що містяться в ній термінів (див.: Boolos G. The iterative conception of set / / In: Philosophy of Mathematics. Selected readings. NY, 1984. P. 101). Ця обставина важливо для використання принципу спільності за межами логіцістской системи. 30.

 Brouwer L. The unreliability of the logical Principles. P. 110. 31.

 Brouwer L. Intuitionism and Formalism. P. 90-92. 32. Див: Гейтинг А. Інтуіціонізм. Гол. 8. 33.

 У своїй концепції математики Брауер виходив з філософії Канта, називаючи її традиційним інтуїционізма. Так як під традиційним інтуїционізма ми розуміємо зараз філософію Брауера, то філософію математики Канта найкраще називати кантовским інтуїционізма. 34.

 Див: Вейль Г. Математичне мислення. М., 1989. С. 80-81. 35.

 Див: Мінц Є.Г. [Коментарі] / / В кн.: Вейль Г. Математичне мислення. С. 120. 36.

 Gauss C.F. Werke. Bd. 8. Leipzig, 1900. S. 120. 37.

 Див: Кузічев А.С. Діаграми Венна. М., 1976. 38.

 Frege G. Posthumous writings. Chicago University Press, 1974. P. 221-224. 39.

 Frege G. Ibid., P. 220. 40.

 Brouwer L. Intuitionism and Formalism. P. 98. 41.

 Гаст Ю.А. Обгрунтування аналізу на аксіомах прямій лінії. В кн.: Дослідження логічних систем. М., 1970. 42.

 Вейль Г. Математичне мислення. С. 83. 43.

 Див Новиков П.С. Про несуперечності деяких логічних числень. В кн.: Новиков П.С. Вибрані праці. М., 1979. С. 130-157. 44.

 Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. М., 1998. С. 101. 45.

 Там же, с. 442. 46.

 Там же, с. 448. 47.

 Там же, с. 447. 48.

 Див: Крайзель Г. Дослідження з теорії доказів. М., 1981. С. 9. 49.

 Карно Л. Роздуми про метафізику нескінченно малих. М.-Л., 1933. С. 219. 50.

 Лобачевський Н.І. Повне зібрання творів. Т. 1. М., 1946. С. 261. 51.

 Гільберт Д., Бернайс П. Підстави математики. Т. 1. М., 1982. С. 19. 52.

 Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. С. 419-420. 53.

 Там же, с. 101. 54.

 Там же, с. 437-438. 55.

 Див: Feferman S. Arithmetisation of mathematics in general setting / / Foundations of Mathematics. 1960. Vol. 49. Див також: Мендельсон Е. Введення в математичну логіку. М., 1972. Гол. 3. 56.

 Єсенін-Вольпін А.С. Аналіз потенційної здійсненності / / В кн.: Логічні дослідження. Збірник статей. М., 1959. С. 218-262. 57.

 Див: Кузічев А.С. Теорема про несуперечності системи ZF Церме-ло-Френкеля / / ДАН. 1983, Т. 173, № 5. С. 1053-1057, а також: Кузічев А.С., Кузичева З.А. Системи з нескінченною логікою і необмеженим принципом згортання. До 150-річчя з дня народження Г. Кантора / / В кн.: Нескінченність в математиці. Філософські та методологічні аспекти. М., 1997. 58.

 Єршов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Про новий підхід до методології математики / / В кн.: Закономірності розвитку сучасної математики. М., 1987. С. 85-105. 

 59. Див: Shaughan Lavine. Understanding the Infinite Harvard Univ. press. 1994. Ch. IX. 

 , 6.0. Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. С. 439. 61.

 Мендельсон Е. Введення в математичну логіку. М., 1972. С. 108. 62.

 Крайзель Г. Дослідження з теорії доказів. М., 1981. С. 65. 63.

 Див: Новіков П.С. Елементи математичної логіки. М., 1969. Гол. 5. 64.

 Див: Нагорний Н.М. До питання про несуперечності класичної формальної арифметики. М.: Обчислювальний центр РАН, 1995. 65.

 Див: Френкель А., Бар-Хиллел І. Підстави теорії множин. М., 1967. Гол. 5. 66.

 Godel К. Russells mathematical logic / / In: Pears DF (Ed). Bertrand Russell Collection of critical essays. New York, 1972. Гедель К. Расселів-ська математична логіка / / В кн.: Рассел Б. Введення в математичну філософію. М, 1996. 67.

 Godel К. What is Cantor's continuum problem? / / In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. 68.

 Ibid., P. 128. 69.

 Основний аргумент філософів, що заперечують проти реалістичної інтерпретації математичних понять, полягає в тому, що ця інтерпретація в кращому випадку марна, оскільки вона не дає нам ніякого доступу до передбачуваних сутностей поза їх визначення в математичному мовою. (Див., наприклад: Parsons Ch. Ontology and Mathematics / / Philosophical Review. 1971. Vol. LXXX. P. 101.) Звичайно, це не так. Ми не могли б виправдати закон виключеного третього або аксіому нескінченності без прояснення онтологічної основи цих принципів. Насправді, нам потрібен не доступ до математичної реальності, а лише вміння обгрунтувати причетність до цієї реальності тих чи інших типів математичних суджень. Ця остання задача в ряді випадків можна вирішити. 

 70 Лакатос І. Нескінченний регрес і обгрунтування математики / / В кн.: Сучасна філософія науки. М., 1996. С. 111. 71.

 See: Lakatos I. A renaissanse of empiricism in the recent philosophy of mathematics / / Brit, yourn. for the philos. of sci. 1976. Vol. 27, № 3. P. 202. 72.

 Колмогоров A.H., Драгаліна A.H. Введення в математичну логіку. Додаткові глави. М., 1982. С. 117-118. 

 72а. Аксіома безперервності дана у Дедекинда в наступному формулюванні. «Якщо система дійсних чисел розпадається на два класи такого роду, що кожне число одного класу менше кожного числа іншого класу, то існує одна і тільки одне дійсне число, за допомогою якого цей поділ проводиться» (Дедекінд Р. Безперервність і ірраціональні числа. Одеса, 1911 . С. 20). Ідея цієї аксіоми виникає з того допущення, що кожній точці прямої лінії відповідає одне і тільки одне число. 73.

 В даний час досягнуті значні успіхи в чисто логічному обгрунтуванні аналізу, зокрема, отримано обгрунтування елементарного аналізу на основі консервативного розширення арифметики (див.: 

 Крайзель Г. Дослідження з теорії доказів. С. 88-101). Визнання цих результатів в якості абсолютного обгрунтування математичного аналізу наштовхується, однак, на ті ж труднощі, що й визнання надійності наявних доказів несуперечності арифметики: деякі, не цілком елементарні засоби повинні бути прийняті на віру або виправдані на основі змістовних міркувань. Ці труднощі можуть бути подолані тільки на основі прояснення онтологічної основи математичного мислення. 74.

 Нао Wang. The concept of set / / In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964. P. 536. 75.

 Ibid., P. 540. 

 Частина четверта 1.

 Це положення, звичайно, неприйнятно в рамках індуктивної методології і вимагає особливого розгляду. Ми можемо поки прийняти його як констатацію того факту, що в істинності судження а + 6 = Ь-\-а ми сумніваємося настільки ж мало, як і в істинності судження 2 + 1 = 1-1-2. 2.

 См: Гільберт Д. Підстави геометрії. Петроград, 1923. Примітки до гл. 1 і 2. 3.

 Ідея недосяжних протиріч була висунута А.С. Єсеніним-вольпіно наприкінці 50-х років з метою обгрунтування несуперечності арифметики і теорії множин. Див: Єсенін-Вольпін А.С. Аналіз потенційної здійсненності / / В сб.: Логічні дослідження. М., 1959. 4.

 Див: Хінтікка Я Інформація, дедукція і a priori / / В кн.: Хінтік-ка Я. Логіко-епістемологічні дослідження. М., 1980. С. 163. 5.

 Там же, с. 163. 6.

 Див: Ейлер Л. Введення в аналіз. М. - Л., 1934. С. 215. 7.

 Кант І. Критика чистого розуму. С. 222. 8.

 Кассирер Е. Пізнання і дійсність. Поняття про субстанцію і поняття про функції М., 1912 С. 194. 9.

 Див: Юшкевич А.П. До історії спору про що коливається струні / / В кн .. Юшкевич А.П. Математика та її історія. М., 1996. С. 166-175. 10.

 Див: Carnap R. The Logicist Foundations of Mathematics / / In: Philosophy of Bertrand Russell Ed. by E.D. Klemke. N.Y., 1972. P. 341-354. 11.

 Гедель К. расселовского математична логіка. С. 215. 12.

 Kitcher Ph. Mathematical naturalism / / In: History and Pilosophy of modern mathevatics. Minneapolis University Press, 1987. P. 101. 13.

 Див: Гільберт Д. Підстави геометрії. М., 1948. С. 349. 14.

 Пуанкаре А. Про науку. М., 1983. С. 464. 15.

 Вейль Г. Математичне мислення. М., 1989. С. 89. 16.

 Лузін М.М. Лекції про аналітичні множинах та їх застосуваннях Собр. соч. Т. 2. С. 30 17.

 Н.М. Нагорний вважає, що теорія множин не визначає належним чином поняття множини і містить велику кількість інших «дірок», 

 які ставлять під сумнів її статус як прийнятною математичної теорії. Див: Нагорний Н.М. До робіт з підстав математики / / В кн.: Гільберт Д. Вибрані праці. С. 564-569. 18.

 Бичков С.М., Шашкін Л.О. До критики канторовской діагональної процедури докази незліченну континууму / / В кн.: Традиційна логіка і канторовской діагональна процедура. М., 1997. С. 22-29; Петросян В.К. Загальна криза теоретико-множинної математики і шляхи її подолання. М., 1997; Зенкин А.А. Помилка Кантора / / Питання філософії. 2000. № 2. 19.

 Це міркування, звичайно, не вирішує питання про коректність кантува-ровского докази, а говорить лише про незруйновними сформованої системи понять, яку ми називаємо теорією множин. Питання про коректність розглянутого вимагає спеціального логічного аналізу. 

 Висновок 1.

 Каррі Х.Б. Підстави математичної логіки. М., 1969. С. 25. 2.

 Див: Барабашев А.Г. Регрес кантівського априоризма (Рукопісь. Передбачається публікація у книзі «Математика і досвід». М., 2002). Факт такого регресу безсумнівний і він особливо яскраво проявився в філософії XX століття, яка замінила кантовский априоризм, заснований на суворому поділі форми і змісту мислення, якимись схемами взаємодії рівнів вмісту, що розрізняються ступенем своєї стабільності. Біологічний априоризм К. Лоренца, лінгвістичний априоризм Н. Хомського-го, логічний априоризм Я. Хінтіккі та інші сучасні апріорізму усувають із кантовской теорії найголовніше - ідею трансцендентальної-сти форм мислення, їх суворої генетичної та логічної незалежності від змісту мислення. 

 Інформація, релевантна "Література і примітки"

1. Професор Московського університету Веніамін Петрович Грибанов (1921 - 1990) (короткий нарис життя і діяльності)
     літературу, переконливо довів своїм численним учням (включаючи авторів цього нарису), що класична російська цивилистика починається з курсу цивільного права Д. І. Мейєра. Глибокі пізнання в галузі історії правової думки Росії були лише частиною величезного багажу наукових знань, набутих В. П. Грибанова в процесі майже півстолітнього професійного вивчення і
   
2. § 6. Спеціальний суб'єкт (виконавець) злочину
     літературі спеціальним. Наприклад, злочини проти військової служби можуть бути вчинені лише військовослужбовцям або громадянином під час проходження військових зборів. Необхідно відзначити, що в таких злочинах ознаками, зазначеними в диспозиції статті, повинен бути наділений тільки виконавець злочинного діяння. Роль інших співучасників (пособників, підбурювачів, організаторів) можуть виконувати
   
3. § 2. Поняття та ознаки множинності
     літературі. Існує кілька варіантів класифікації форм множинності. У даному випадку розглядаються види множинності, зазначені в законі: неодноразовість, сукупність і
   
4. І. С. Розумовський "ПРОСВЕЩЕНИЕ" І "ОСВІЧЕНІСТЬ" У І. В. Киреєвського
     літературної критики взагалі найбільш важливо "Огляд російської словесності за 1829", зі статей для "Європейця" - "Лихо з розуму" на московському театрі ", зі статей для" Москвитянина "-" Лука та Марія ". Інших джерел я не торкаюся, хоча цікаві для мене слова є і в художніх творах Киреєвського, і в його листах. Я розглядаю тільки публіцистику, тому що матеріал, який вона
   
5. 1.1. Історичні аспекти уніфікації права міжнародних комерційних контрактів
     літературі розвитку права міжнародної торгівлі і його уніфікації увага приділялася такими вченими, як Л.А. Лунц, О.М. Садиков, В.С. Поздняков, М.М. Богуславський, А.С. Комаров, С.Н. Лебедєв, А.Л. Маковський, В.П. Звеков, І.С. Зикін, Д.Ф. Рамзайцев, М.П. Бардіна, Н.Г. Дороніна, М.П. Шестакова. Сучасний стан права міжнародної купівлі-продажу отримало багатогранне відображення в роботах М.Г.
   
6. 1. Поняття та правова природа третейського (арбітражного) угоди
     літературі. Для позначення досліджуваного поняття використовуються терміни "третейська угода", "угода про третейський суд", "третейський договір", "третейський запис", "третейське застереження", "компроміс", "договір про арбітраж", "арбітражна угода" (та інші похідні від слова "арбітраж" терміни), "формальна запис". На етапі дослідження правової природи третейської угоди, з нашою
   
7. 3. Сфера застосування третейської угоди
     літературі відрізняють третейський розгляд як спосіб вирішення приватноправових спорів від так званих обов'язкових (примусових) форм розгляду спорів, яке здійснюється третейськими судами без угоди сторін, в силу прямого припису закону або міжнародного договору. Для позначення подібного роду судів використовується термін "третейські суди". Однак цей термін не відображає
   
8. 6. Недійсність третейського (арбітражного) угоди
     літературі ті третейські угоди, які містять суттєві вади, що тягнуть їх недійсність, іноді іменують патологічними арбітражними (третейськими) застереженнями. У дослідженнях, присвячених третейському розгляду, мають місце спроби класифікації причин, що викликають недійсність арбітражних застережень (третейських угод). Так, А.В. Попова пише про те, що патологія
   
9. 1.2. Примирення в зарубіжному законодавстві і міжнародне приватне право
     літературі відповідно абревіатурою АРС) явно неточний для використання в російському праві, оскільки їм не можуть охоплюватися процедури, які передбачають не вирішення спорів, а їх врегулювання (тобто примирні процедури). Вживання ж у вітчизняній юридичній літературі цього запозичення перешкоджає з'ясуванню сутності та переваг ADR, створюючи тим самим перешкоди
   
10. 2.1. Види договорів у примирної процедури. Співвідношення понять "примирительная процедура" і "мирову угоду"
      літературі того періоду вказувалося: "Суть претензійного порядку врегулювання розбіжностей полягає в тому, що відповідачу заздалегідь (тобто до його звернення до арбітражного суду за захистом порушених прав) пред'являються вимоги, що стосуються наявності у організації або громадянина-підприємця майнових чи немайнових претензій до нього. Претензійний порядок певною мірою охороняє
    
11. 2.2. Основні умови угод про примирної процедури
      літературі визнається проміжною між арбітражем та примирної процедурою). У цій процедурі комісія, що складається з керівництва сперечаються компаній і очолювана примирителем, отримує інформацію про суть спору, излагаемую фахівцями з обох сторін. 215 Керівники після заслуховування фахівців щодо суті спору ведуть переговори щодо цього спору, отримавши об'єктивну
    
12. 2.2. Предмет і об'єкт мирової угоди. Перетворювальні і підтверджуючі умови
      літературі можна зустріти вказівку на те, що, "коли судом встановлено наявність суб'єктивних прав позивача, відмова від позову означає не тільки втрату позивачем прав на матеріальний об'єкт позову, але і ліквідацію виниклого процесу", а також висновки про те, що позивач відмовляється від позову , "вільно розпорядитися своїм матеріальним правом на користь відповідача". У деяких випадках визнання позову
    
13. 4.1. Можливість зміни і розірвання мирової угоди
      літературі висловлюється думка про те, що відстрочку, розстрочку виконання судового акта, а також зміна способу і порядку його виконання можна розглядати і як способу виправлення недоліків судового рішення. Таким чином, суд, який розглянув спір по суті і виніс по ньому рішення, по суті наділений правом підкоригувати винесене ним самим рішення з урахуванням конкретних
    
14. ТАБЛИЦІ
      література Соціальні дисципліни Сучасні іноземні мови Мистецтво Математика Природничі науки Технологія, практичні та виробничі навички Фізичне виховання Інші освітні області 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Люксембург mmmmmmmmm Норвегія 22,3 7,8 6,3 15,9 14,9 7, 4 n 7,4 18,0 Ірландія 30,1 4,0 n 12,0 11,6 11,6 n 4,0 26,7 США mmmmmmmmm Данія 25,3 4,0 6,7 21,3
    
15. Таблиці
      література Математика Природничі науки Соціальні дисципліни Сучасні іноземні мови Мистецтво Фізичне виховання Технологія та практичні та виробничі навички Інші освітні області 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 16 13 9 11 10 8 10 n 23 100 28 14 11 22 11 6 8 100 15 12 8 7 15 14 9 n 20 100 23 15 14 13 11 10 8 n 8100 14 13 5 9 14 6 6 6