Прітча58

Миша була німецьким математиком на ім'я Давид Гільберт, який здійснив багато подвигів у наведенні порядку на Струмку Математики, і створив там величні споруди.

Одного разу сонячним ранком Гільберт Миша сидів серед купок гілок і виблискуючих камінчиків і тримав промову перед групою шанувальників. «Ми повинні використовувати логіку для доказу несуперечності математики, так як - писк! - Я вже показав ... що ми можемо звести всю математику до арифметики ».

І його слухачі, підстрибуючи від ентузіазму, жваво понеслися в сторони, на ходу гукаючи: «Так! За роботу! За роботу! ».

Жаба була голландським математиком на ім'я Лютцен Егберт Ян Брауер. Одного разу в один прекрасний ранок, позбувшись з бурчанням від пуголовків, Брауер Жаба підплив до лілії, всівся там в позі лотоса, і виклав, до крайнього збентеженню перехожих на березі, результати своєї докторської дисертації:

«Бог допомагає тим, хто допомагає самому собі! Брек-кек-кек-кек! Миша Гільберт і Кролик Рассел, разом з іншими логіками і математиками, думають, що вони можуть відкрутитися від мене зі своїми доказами. Брек! Коли занадто важко довести твердження прямо, вони припускають суперечить йому, а потім шукають протиріччя в протиріччі. Квак-Квак! Вони думають, що Господь Бог, подібно наївному порядній німецькому професору або ексцентричному англійської аристократу обачливо пов'язав всі можливості в чисті пари протиріч. А коли будь проникливий мислитель знаходить дефектної можливу копію однієї з пар, він споруджує для неї похоронне багаття з жертовним димом, і Бог шле назад заперечення цього відповідним зефіром. Брек-кек-кек! Повний дурниця! Як знає будь розсудлива жаба, Бог є трудяга-правитель і любить майстерно споруджувати речі власноруч. Якщо ви хочете мати доказ твердження, ви повинні сконструювати його, прямо, по вашій власної ініціативи, і тоді Бог схвалить вашу роботу. Отже, я не прийму нічого як строго встановленого в математиці, якщо не буде пред'явлено його конструювання. Ми не можемо припустити нічого більшого, ніж, як зауважив Кронекер Землерийка, інтуїція цілих чисел, що пропливають нескінченно, подібно ряби з цього холодного чистому струмку ... »

Коли оточуючі жовтня оговталися від шоку, вони помчали до Гильберту Миші розповісти про нову єресі. Між ними стрибав Коник, спльовуючи тютюнову жуйку, і кричачи: «Буде бійка! Тьху! Як тільки миша і жаба зустрінуться, буде відмінна бійка! Тьху! »

І бійка почалася! - Спочатку словесна, з використанням гучних сердитих слів, розноситься по всій Академічної Рощі, далеко за межі Струмка Математики.

В одному з епізодів драчки Гільберт Миша пропищав публіці: «Було два великих кризи в Підставах Математики. Перший трапився, коли Піфагор відкрив ірраціональність кореня квадратного з двох ... Другий стався, коли філософський єпископ Берклі Ведмідь вказав на суперечливість поділу на нуль ... Але Кантор Козел, його Спільна теорії множин показав нам, як вирішити ці проблеми, і позбутися від криз в Підставах Математики! І тепер ми повинні йти вперед к. .. »

« Не слухайте ви цю квіетістскую пропаганду, - бухнув голос із заростей. - Теорія множин Кантора атакувала ці проблеми, створивши третя криза в Підставах Математики] Гільберт добре знайомий з парадоксами теорії множин! »

« Але про них можна подбати! - Пронизливо запищав Гільберт Миша, протестуючи. - І математика стала багатшою з Загальною теорії множин Кантора, з його нескінченної послідовністю Алеф. Ніхто, - відрізав він, крутячи вуса, блискаючи очима, - не зможе нас вигнати з раю, створеного для нас Кантором! »

« Ну і дурниця! Ви постійно бовтаєте про спорудження маленького загороди з аксіом для того, щоб захистити безневинну вівцю ваших доктринальних тез від вовків протиріччя.

Іншого разу Брауер Жаба сидів на лілії і видавав нове реформістський євангеліє захопленої, і в той же час здивованою натовпі слухачів на березі Струмка Математики.

«Гільберт захищає використання для того, щоб доводити будь-яку математичну теорему так званих правил логіки ... Або саме твердження, або його заперечення істинно, і третього не дано. Але логіка не являє собою заповідей, спущених з неба, і не камінь, через який ви можете перескакувати з одного берега Струмка Математики на інший. Ні! Логіка є безліч (можливо) корисних правил того, як мислити або аргументувати, абстрагованих з нашого математичного досвіду головним чином, з теорії чисел і арифметики. Як зазначено в моєї докторської дисертації, нам дозволено абстрагувати обмежену форму цього правила логіки з нашого досвіду обра-домлення з кінцевими сукупностями, так як ми знаємо, що якщо виникне сумнів у висновках, отриманих за допомогою цього правила, ми завжди зможемо перевірити його за допомогою кінцевої послідовності випробувань! Але ми не маємо експериментальної гарантії безпеки цієї процедури у разі нескінченних сукупностей! Тому ми не можемо ... використовувати доказ існування (або докази від протилежного) для постулирования властивостей нескінченних сукупностей, про які ми знаємо настільки мало! »

При цьому Гільберт Миша став стрибати вгору і вниз на березі в страшних муках. «Відмова від закону виключеного третього для математика рівносильний відмови астронома від телескопа, або відмови біолога від мікроскопа! Не слухайте Брауера! Ви ж бачите, що за жалюгідні залишки від математики чекають вас, якщо ви підете його конструктивистским методам! »

Тут заквакала Брауер Жаба:« Це не будуть жалюгідні залишки! Але це не буде також Абсурдна Захмарна Територія, яку ви створюєте з вашою Аксіомою Вибору ... Ви знаєте, до яких помилкам можна прийти за допомогою Аксіоми Вибору? »

« Ні, - вигукнула натовп, - до яких? »

« Так прислухайтеся! Вдаючись до аксіом Вибору, я вільний заявити, що можу розсікти луну на п'ять частин, потім скласти їх назад і заштовхати в свій рот, як цю муху! УУП - і одним ковтком! .. Ця аксіома запевняє нас, що кожна сукупність - кінцева або нескінченна - так само лічильно, як кола на цьому холодному, свіжому струмку! »

« Ось це так! - Вигукнули слухачі. - І як же це можна зробити? »

« Будьте пильні! Не питайте Гільберта Миша, або ж Рассела Кролика, або ж Цорна мускатного Щура, тому що вони не знають як ... Вони кажуть, що Бог був їх Порадником, і запам'ятав всі кінцеві і нескінченні сукупності, рассовать їх по ящиках. І всякий раз, коли в доказі вимагається приклад чи контрприклад, їм варто лише звернутися до Бога, їх порадником, і Він тут же, благодійник, витягує відповідну папку або впорядковану в'язку папок, і відсилає їх на землю - в останньому математичному журналі ».

«Ось це так!» - Ахнули слухачі.

«Саме так!» - У цей момент Брауер видув величезний міхур, який лопнув з оглушливим шумом.

«Якщо злочинець при скоєнні свого вчинку ухитряється знищити єдину доказ, яка могла б свідчити проти нього, чи повинен я прийняти вердикт про його невинність? Ні! Або може бути доведено, що він винен у злочині, або ж не винен у ньому, або ж немає доказів, хоча він і винен. Точно так само і в математиці, твердження може бути доведено або спростовано конструктивно, або ж ми повинні визнати, що воно не доведено.

Прихильники різних шкіл думки сперечалися годинами на березі Струмка Математики ...

Вейль Барсук, довгий час вважався учнем Гільберта Миші, був настільки вражений аргументами Бра-Уера Жаби, що висловив наступне песимістичне думку: «Ми повинні навчитися нової скромності. Ми штурмували небеса, але досягли успіху тільки в тому, що водружали один туман на інший, а туман не може підтримувати того, хто хотів би знайти під ногами твердий грунт ... »

Тим часом різні аспекти протиріч призвели до того, що населення регіону розділилося на невеликі групи сваряться доктринеров. Серед них були Формалісти, логицистами, інтуіціоністи, Неоінтуіці-оністи, Фінітісти і т.д. Просто неможливо було погнатися за всіма питаннями і діями, що виходять із настільки багатьох штормових центрів. Тому Коник вирішив, що саме час вирішити протиріччя, влаштувавши дебати між двома головними (і вихідними) противниками - Гильбертом Мишею і Брауером Жабою.

Вранці напередодні великої події всі мешканці Струмка Математики, а також із сусіднього Ліси Логіки, зібралися під величезним дубом, в Академічній Рощі, щоб вислухати основні аргументи.

Але дискусію відкрила не Коник, а Мураха, який повідомив, що його сусід Коник раптово відлучився, попросивши замінити його. І дискусія почалася.

Через годину гарячність двох доповідачів та інтелектуальні пристрасті опанували натовпом, яка своєю чергою розохочують крикливий обмін між двома прихильниками повністю різних філософій математики.

Раптово, посеред крику і ора, звідкись вискочив Коник, збуджений від новин: «Стійте! Зачекайте! Є дещо краще, ніж наші дебати! Гедель Лис отримав зовсім несподіваний результат: він довів, що ви не можете довести несуперечності арифметики! »

« Що? »- Вигукнув ошелешений Гільберт Миша.

«І що, він насправді зробив це?» - Прогудів з сумнівом Брауер Жаба.

«Так, він зробив це, Брауер. Насправді, точно. Гедель Лис використовував методи, з якими ти не можеш посперечатися. Бачиш, його доказ сконструйовано відповідно до моделі, яку він витягнув зі структури натуральних чисел, якраз твоєї парадигми всієї математики. І - Гільберт, мій друг - Гедель довів, що будь-яка аксіоматична система, яка вам угодна, повинна або зазнати невдачі в схоплюванні істотних результатів арифметики, або ж у неї вже проникли вовки протиріччя! »

Повне мовчання , полегле на збори під дубом, було порушено практичним Мурашкою: «Тоді - дебати завершені. Пора повертатися до наших справ ... »

А на Лугу Вівця, яку пас (класичний математичний) пастух, мекала по ходу наступну пісню:

Бог мій Порадник; і я не помиляюся. Він влаштовує мені публікації в респектабельних журналах; він вчить мене, як використовувати доказ від протилежного. Він спрямовує мене на шлях істинний; Він веде мене шляхом класичної логіки,

в ім'я істини. І у своїх блуканнях по долинах доказів існування я не боюся

протиріч, тому що Він редагує мою роботу. Мене цілком влаштовує і Аксіома Вибору, і Лемма Цорна. Він запрошує мене на колоквіуми

з класичного аналізу, коли там немає конструктивістів. Він часто і з схваленням відгукується про мої роботи

в Mathematical Reviews; моя репутація зростає в усьому світі. Звичайно ж, на мене виливаються гранти і почесті І я піднімуся в своєму департаменті до звання Почесного Професора.

Амінь!

Інформація, релевантна " Прітча58 "