МНОЖИНИ

У цій главі йдеться про теорії множин Кантора, яка народилася в останній чверті XIX в. Незважаючи на те, що ця теорія давно стала класичною, становлять інтерес ті її аспекти, які описують основні ідеї, що призвели до теорії. Подання цих ідей здійснено у формі наративу про нескінченність, де показується, що логіка нескінченності Кантора розвивалася поступово. Наприклад, незалежне в значній мірі введення кардинальних і ординальних чисел привело до деяких аномалій, які були ліквідовані пізніше. Саме логіка (і якщо так можна висловитися, діалектика) побудови теорії трансфінітних чисел є предметом нашого розгляду. І хоча філософію теорії множин не можна назвати сучасною, досі навколо самої теорії зберігається атмосфера захмарних ментальних конструкцій, настільки абстрактних, що викликало вигук одного з математиків - сучасника Кантора: «Це вже не математика, а теологія якась!».

Філософія математики концентрується навколо невеликого числа вибраних прикладів, обговорення яких стосується найважчих і невирішених проблем теорії множин. Безумовно, мова йде в першу чергу про континуум-гіпотези Кантора і аксіомі конструюються ™ Геделя. У кожному з цих випадків у нас немає аргументів, які б привели до визначення истинностного значення відповідних тверджень. Починаючи з пізнього Віттгенштей-на, думку про те, що нерозв'язні твердження з'являються в результаті спроб відповісти на неправильно поставлені питання, стала майже загальним місцем у філософії. У рамках такого підходу природно виникає питання про те, чи не є, скажімо сумна ситуація з континуум-гіпотезою результатом того, що вся теорія нескінченних множин і нескінченних чисел Кантора є г

1.

продуктом уяви. Якщо це так, тоді на деякі питання цієї теорії, - зокрема, питання, поставлене в континуум-гіпотези - не існує відповіді, оскільки творець вимислу не вклав в нього достатньо інформації, і в цьому випадку відповідь може бути більш-менш довільним, сумісним , правда, з деякими обмеженнями. Першим, і найважливішим, таким обмеженням, є несуперечність. Але перед обговоренням основних питань потрібні деякі деталі трансфинитной теорії чисел Кантора.

Інформація, релевантна " МНОЖИНИ "

1. Підклас (підмножина)
   безліч, кожен елемент якого водночас є елементом більш широкого безлічі. З двох і більше класів за допомогою певних операцій можна утворити новий клас. Основними операціями над класами є об'єднання класів (додавання), перетин класів (множення), освіта доповнення до класу (заперечення) і віднімання класу (різницю). {Foto7}
   
2. IV. ЛОГІКА АБО МАТЕМАТИКА
   множин множин множин ... множин індивідуальних об'єктів) до логіки. Це рішення рівнозначно твердженню, що не існує межі «між» математикою і логікою; математика складає частину логіки. Якщо комусь до душі «проміжна» позиція, то, можливо, розглянуту «кордон» слід провести між логікою другого порядку і логікою третього порядку. Однак, ми не будемо особливо
   
3. IX. НЕВРАХОВАНІ СКЛАДНОСТІ
   безлічі, проігнорувавши безліч інших питань. Я міг би проаналізувати ще одну групу питань, пов'язану з існуванням так званих «еквівалентних побудов» в математиці. Наприклад, числа можна побудувати на основі множин різними способами. Більш того, безліч не єдине поняття, яке можна вибрати в якості початкового; ми вже відзначали, що, принаймні,
   
4. 3J. Еквівалентність
   безліч формул. Прикладом цього служать динаміки Гамільтона та Лагранжа. Хоча структура їх відрізняється через відмінності первинних базисів, їх формули можуть бути взаімопереводіми, якщо тільки ми маємо для цього підходяще правило перекладу (наприклад, - L). Іншими словами, з точки зору безлічі формул ці теорії однакові. Звичайно, це справедливо і для будь-яких двох різних формулювань або
   
5. ЗА. Включення або формальна редукція
   безліч формул, дедуктивно замкнене, яким буде не всяке підмножина теорії Г) і (Ь) всі формули теорії Г2 є також і в теорії 7Ь але не навпаки. 2Іо можна виразити й інакше. Нехай 71 Н-Т2 буде об'єднанням теорій Г | і Г2 в сенсі Тарського Тобто Ті - {- Т2 є безліч логічних наслідків об'єднання теорій Тг і 7 * 2 * У такому випадку, ми можемо сказати, що [7J Т2 є субтеорія
   
6. 3.1. Можливі формальні відносини
   безліч основних (невизначуваних) понять теорії. Якщо брати до уваги елементарні теорії, чи теорія першого порядку, яких и фактуальной науці недостатньо, то вихідний базис шбой фактуальной теорії Т, виражався на мові еоріі множин, складається з впорядкованої л-ки таких понять: безлічі 2 і п - 1 основних специфічних і взаємонезалежних (взаємно неопреде-шемих) предикатів
   
7. Перетином класів (множенням)
   множин, що у відношенні несумісності, виходить нульовий клас. Наприклад, множення класів «гуси» і «качки» дає порожній безліч, так як немає таких об'єктів, які одночасно були б і гусаками, і качками. Властивості перетину (множення): АПВ = ВПА АПА = А ІАі ~ | В = ~ | (АПВ) Ап (ВПС) = (АПВ) ПС АП1 = А АПО = А АПВ = 1 (ІАіІВ) Операція перетину (множення) над класами , обсяги яких знаходяться
   
8. 1.5. Операції над класами (множинами)
   безліч (тобто сукупність предметів, охоплювана обсягом поняття), може включати в себе підкласи, або підмножини. Наприклад, клас «міст» включає в себе підклас «міст Росії», клас «річок» - підклас «річок Сибіру» і т. д. Поняття, з обсягу якого відбувається виділення підкласу, називається родовим, або родом; поняття, обсяг якого виділяється з родового поняття - видовим, або
   
9. Запитання і завдання для самоконтролю
   безлічі змістовних елементів? 3. Прослідкуйте за поведінкою пасажирів, що їдуть вранці на роботу, і пасажирів, що відправляються на відпочинок в суботній 439 день: чи вдасться вам помітити відмінність змісту їх поїздки в громадському транспорті? 4. Назвіть систему ціннісних відносин, інтегруючих в собі нескінченну безліч відносин до навколишнього світу. 5. Окресліть в загальних рисах
   
10. Ринок
    безлічі власників товарів; наявність безлічі покупців товарів; вільна купівля-продаж товарів за стихійної ціною ринку. При соціалізмі ринок зберігається тільки в сфері споживання, виступаючи регулятором попиту населення та пропозиції державними і кооперативними виробниками предметів споживання. Однак при цьому перша умова відсутня, тому що "Продає" предмети споживання
    
11. Глава двадцята 1
    безлічі: а. Безліч всіх підлягають присудка А: {X: аах}, б. Безліч всіх присудків підлягає Б: {Y: YaB}. Нехай перетин цих множин буде не порожнім, а В нехай буде його елементом: В = X = Y, для деяких X і Y. Тим самим ми знайшли середній термін. Залишається побудувати силогізм: (ААВ і ВАБ) z => ААБ. Цим способом легко описати всі випадки, що розглядаються нижче. - 176. 2 Підмет
    
12. ЛІТЕРАТУРА
    множин і розвиток поняття числа. Л.: Вид-во Ленінгр. ун-ту, 1978. Гетманова ДА. Підручник з логіки. М.: Владос, 1994. Зегет В. Елементарна логіка. М.: Вища школа, 1985. Іванов Є.О. Логіка. М.: Изд-во БЕК, 1996. Івін А.А. Мистецтво правильно мислити. М.: Просвещение, 1986. Карпінський М. Класифікація висновків / / Вибрані праці російських логіків XIX в. М., 1956. Кондаков Н.І. Логічний
    
13. 4J. Труднощі Копенгагенської інтерпретації
    безліч цілісних комплексів, які з об'єкта, вимірювального пристрою і спостерігача. На перший погляд нібито не існує ніяких труднощів у побудові копенгагенської версії будь-якої фізичної теорії, керуючись, наприклад, способом, викладеним у попередньому параграфі. Для цього достатньо було б реінтерпретувати X як безліч трійок. Насправді на цьому шляху виникає два
    
14. 4.5, Роз'яснення поняття зміни значення
    безлічі формул, що містять з або випливають з с, тоді як клас референтів R (с) є сукупність об'єктів, на які посилається с, зовсім незалежно від того, правильно він посилається на них чи ні. Безліч конструктів, що містять с, може бути названо його змістом (purport), збори ж конструктів, що містяться в с - його під-хто розумів значенням (import). Чим ширше що на увазі
    
15. VII. НАСКІЛЬКИ ТЕОРІЯ МНОЖИН ДІЙСНО НЕОБХІДНА НАУЦІ?
    Безлічі (або деякий еквівалентне поняття, наприклад, поняття функції) необхідно науці. Однак, тепер ми повинні запитати: яке поняття безлічі необхідно науці - «суворе» (непредикативне) або тільки «слабке» (предикативное)? Якщо ми дійсно хочемо розібратися з номіналізм і реалізмом, то нам слід допустити в якості альтернатив не тільки (а) номіналізм, а й (б) прийняття