Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

1. Загальна характеристика програми

Ми можемо зрозуміти сутність програми Гільберта з його відношення до досліджень Рассела і Брауера. Гільберт вважав, що рас-селовское обгрунтування математики не є строгим, оскільки воно спирається на затвердження типу аксіоми сводимости і аксіоми нескінченності, які можуть бути прийняті тільки як гіпотези. Він був категорично не згоден з підходом Брауера, який, на його думку, є руйнівним для математики. Разом з тим, він погоджувався з логицистами в тому, що суворість математики може бути досягнута тільки через уточнення її мови і через прояснення логічної структури теорії. Гільберт, як це визнано, взяв у логи-цист поняття суворої аксиоматизации та формалізації математичної теорії. Він погоджувався з Брауером в тому, що закон виключеного третього не застосуємо до математичних твердженнями, пов'язаним з нескінченністю. Як і Брауер, він вважав, що істинність математичного судження щодо нескінченної кількості предметів не може бути перевірена і, внаслідок зтого, сувора альтернатива, висловлюване законом виключеного третього, не може бути застосована до нього як безумовною істіни45.

Це положення виразилося у Гільберта в його принципі фінітізма, згідно з яким «оперування з нескінченним може бути зроблено надійним тільки через кінцеве» 46, фінітізм Гільберта, однак, не настільки радикальний як фінітізм Брауера: якщо Брауер хотів усунути актуальну нескінченність з математики взагалі як поняття, що не має сенсу, то Гільберт вважав можливим зберегти його в тих межах, в яких воно допускає фінітного обгрунтування.

Процедура обгрунтування математики, узгоджена з цими загальними установками, передбачає повну формалізацію теорії, яка полягає у представленні її аксіом у вигляді не мають змісту рядків символів. Математична теорія тим самим перетворюється на об'єкт, підлеглий чисто зовнішнім (формальним) маніпуляціям, заснованим виключно на структурі її формул. У плані даної вище класифікації очевидностей можна сказати, що формалізація являє собою зведення всіх типів очевидності до предметної і логічної очевидності.

Формалізована теорія припускає змістовну метатеорію, яка включає в себе опис структури формалізму, а також загальні принципи логіки і спеціальні правил перетворення (принцип індукції і т. п.), допустимі для дій в рамках формалізованої теорії. Метатеорія, за задумом Гільберта, повинна бути безумовно істинної і достатньою для суворого обгрунтування несуперечності формалізму, яка повинна складатися в доказі неможливості отримання в його рамках виразу, що має вигляд «О = 1» 47.

Метою формалістского аналізу, як і всякого іншого обгрунтовуючих міркування, є, звичайно, реальні математичні теорії, що розрізняються за своїм змістом і методом. Специфіка формалістского підходу полягає в тому, що висновок про несуперечності реальної математичної теорії передбачається вивести тут з несуперечності її формалізованого аналога. Формалістской обгрунтування покоїться на допущенні, що несуперечність формалізму, будучи доведеною, гарантує повну надійність змістовної теорії.

Успіх формалістского обгрунтування забезпечується, очевидно, надійністю метатеоретіческого докази. Гільберт формулює ряд вимог до метатеорії, які відомі як принципи гильбертовськой фінітізма. Вони можуть бути зведені до наступних положень: 1.

Метатеорія є лінгвістичної теорією в тому сенсі, що вона має справу тільки зі знаковою структурою теорії і з перетвореннями, допустимими в цій структурі. Суворе метатеоретическое обгрунтування несуперечності теорії - це обгрунтування, що апелює тільки до синтаксису теорії і не використовує ніяких припущень про зміст її власних понять і принципів. 2.

Метатеорія є змістовною теорією в тому сенсі, що вона відноситься до конкретного формалізму як до свого предмету і в своїх предметних передумовах не виходить за межі опису його самоочевидних властивостей. 3.

Метатеорія є финитной в тому сенсі, що вона не спирається на висловлювання про актуально нескінченних множинах. 4.

Метатеорія є конструктивною в тому сенсі, що будь-яке твердження про існування об'єкта в її рамках має бути підтверджено процедурою його побудови.

Легко бачити, що всі ці вимоги є необхідними для метатеоріі з точки зору поняття строгості, сформованого на початку XX століття під впливом логіцістского і інтуїционістського аналізу проблеми. Часто вказується, і в певному сенсі це вірно, що Гільберт не дав повного визначення метатеоріі, що усуває всякі коливання щодо можливого її змісту. Його методологічний задум, однак, сов? (Ьшенно ясний. Він полягає в тому, щоб обмежити метатеоретическое міркування таким чином, щоб воно гарантувало його абсолютну достовірність. Метатеорія повинна бути здатною доводити несуперечливість формалізованих теорій, а отже, і несуперечність відповідних їм змістовних теорій незалежно від їх змісту.

Гільберт вважав, що метатеорія повинна мати внутрішнє, власне математичне виправдання. Йдеться тут про вимогу, яке отримало надалі назву принципу відділення підстав від філософіі48. Це положення означає, що виділення принципів метатеоріі повинно відбуватися на основі строгих математичних критеріїв. Приймаючи факт апріорність елементарної математики, Гільберт ототожнює апріорність з фінітними і формулює вимогу финитности як основний критерій для метатеорії. Мотив цієї заміни ясний: вимога финитности є математичним і, імовірно, більш визначеним, ніж філософське поняття апріорність.

У методології формалізму важливе місце займає так звана теорія ідеальних елементів, яка вимагає більш детального роз'яснення. Поділ ідеальних і реальних елементів було введено, Лейбніцем для пояснення нескінченно малих величин. Лейбніц вважав, що ці величини , не будучи реальними, тобто не маючи переконливої інтуїтивної основи, виконують в математиці роль корисних фікцій, що розширюють можливості оперування з реальними величинами. До таких фікціям він відносив також уявні і ірраціональні числа. Ця ідея була використана в методологічних міркуваннях Л.

Карно з обгрунтування математичного аналізу. «В алгебрі, - писав Карно, - вводять в обчислення чисто уявні поняття, фіктивні сутності, які не можуть ні існувати, ні бути понятими, але які нб втрачають, однак, від цього своєї корисності. Їх вживають допоміжним чином як терміни порівняння для полегшення зіставлення істинних кількостей, зв'язок між якими бажають отримати, і потім їх виключають допомогою перетворень, предотавляет, так би мовити, чисто механічну роботу »49. Н.І. Лобачевський використовував цю ідею для виправдання законності «уявної» геометрії. Він виходив з того, що навіть якщо винайдена ним нова геометрія ніде не виконується в реальності, вона є важливою для математики як засіб її внутрішнього развітія50.

Розуміння ідеальних елементів у Гільберта є новим в тому відношенні, що воно ставиться тут в залежність від точки зору на математичний об'єкт. Рівність

а + Ь = Ь + а

є, по Гильберту , реальним, якщо воно розглядається у відношенні нескінченної кількості своїх арифметичних інтерпретацій, і стає ідеальним, коли воно розглядається як позбавлена сенсу строчка символів в формалізованої теорії. Таке трактування ідеальних елементів необхідна йому насамперед для виправдання закону виключеного третього. Цей закон непридатний до зазначеної формулою в її змістовної інтерпретації, яка передбачає існування нескінченної кількості, але він застосовний до неї, коли вона розглядається як кінцева знакова конфігурація в системі об'єктів того ж типу. Закон виключеного третього, таким чином, включається в формалізовану теорію, яка складається з ідеальних (кінцевих) об'єктів, і виключається з змістовної метатеоріі, в якій ведеться обговорення структури теорії.

Центральне місце в системі ідеальних елементів займає е-функція, на основі якої формулюється е-аксіома, що займає важливе місце в гільбертовеком підході до обгрунтуванню математичного аналізу. Якщо ми маємо предикат А з областю визначення {ж}, то е-функція від предиката А (позначимо як е (А)) позначає об'єкт з області {ж}, для якого вона напевно виконується, якщо вона взагалі виконується для об'єктів цієї області. На основі цього, очевидно, неконструктивного поняття Гільберт формулює трансфинитное аксіому, що має вигляд:

А (е (А)) Ala),

де а - предмет, що належить множині {ж}. Ця аксіома є для Гільберта важливою частиною метатеоріі, націленої на обгрунтування аналізу. Очевидно, що вона пов'язана з виходом за межі финитности, оскільки передбачає можливість вибору елемента з нескінченної кількості. Гільберт, однак, вважає, що введення цієї аксіоми чи не порушує финитной установки, оскільки е-функція може бути виключена з остаточного доказу несуперечності. Іншими словами, Гільберт розглядає е-функцію як ідеальний метатеоретичний об'єкт, який є лише засобом досягнення результату і який, зрештою, виключається з результату і з його докази. Тут ми маємо повну аналогію того процесу обгрунтування, про який говорив Л. Карно стосовно до використання фікцій в алгебрі.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 1. Загальна характеристика програми "
  1. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
    загальна дезорганізація господарства, виснаження мирних галузей виробництва, нестача сировини, продовольча, паливна, фінансова кризи. Загострилися національні проблеми: Фінляндія і Польща вимагали суверенітету, напруженими були ситуації на Україні і Кавказі. Всі спроби Тимчасового уряду вирішити нагальні проблеми тонули в бюрократичній рутині і безсилля влади протистояти хаосу.
  2. Киданів Р.В.. Організовані форми економічної злочинності. (Робота виконана за програмою малих грантів). Владівосток2002., 2002
    загальна характеристика основних економічних злочинів, викладаються юридичні та економічні аспекти контролю над організованою економічною злочинністю та забезпечення безпеки економічної
  3. 3.2. Контракт - основа посилення цивільно-правових відносин у силових структурах
    характеристикам - розряд обліку, ВУС до певних характеристикам. Наприклад, облік віку громадянина, який перебуває в запасі ЗС РФ, не дає необхідних даних для визначення ступеня його фізичної готовності, від стану якої залежить його приписка до певного роду військ, а облік за ВУС не дає об'єктивної інформації про його технічну, спеціальної та тактико- спеціальної підготовки. Тому
  4. Поняття вікової неосудності.
    Загальна ослабленість організму, сімейне неблагополуччя, що супроводжується по справі експертизи робить висновок про наявність відставання більш обгрунтованим і переконливим. Наявність психічного розладу неповнолітнього і пов'язаного з ним відставання в психічному розвитку виключає застосування ст. 20.3 КК РФ. У такому випадку мова може йти не про віковий, а про загальну неосудності, пов'язаної з
  5. § 4. Умовні види звільнення від кримінального покарання
    спілкуючись з підсудним, всебічно вивчаючи часто багато томи кримінальної справи, що розповідають про злочинну подію, професійно оцінює суспільне значення посягання і виразилися в ньому злочинні властивості особистості винного, втілює все це в той заряд кари, який, за його припущенням, з одного боку, є кримінально-правовим еквівалентом соціальної шкоди, заподіяної
  6. 2. Виконавчий орган товариства
    загальна характеристика виконавчого органу. Згідно з пунктом 1 статті 69, керівництво поточною діяльністю товариства здійснюється одноосібним виконавчим органом (директором, генеральним директором) або директором, генеральним директором і колегіальним виконавчим органом суспільства (правлінням, дирекцією). Кажучи іншими словами, директор (генеральний директор) 23 може один
  7. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
    загальна якісна характеристика взаємодії модернізації та російської державності, до якої ще слід повернутися, коли обговорюватимуться характеристики сучасного Російської держави. Крім того, необхідно підвести і деякий загальний підсумок розгляду «вічних» питань російської історії в їх впливі на державність. При цьому осібно постає питання власності -
  8. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
      загальна теорія права містить фундаментальні положення загальні для всіх правових систем, узагальнення правового розвитку всього людства. Походження права, його структура, ідеї правової держави, юридична відповідальність, теорія доказів - це і багато іншого входить у загальну теорію права, є предметом її описів і пояснень. Друге, юрідізірованное поняття загальної теорії права,
  9. Глава десята. ПРАВО В СИСТЕМІ СОЦІАЛЬНИХ РЕГУЛЯТОРІВ
      загальна директива, спрямована на вирішення важливої соціально-економічної задачі, досягнення великої мети, але засоби розв'язання задачі або досягнення мети, зазначені в директиві, не мають безпосереднього нормативного значення або не містять вказівки на конкретну поведінку адресатів директиви. Сюди ж можна віднести і політичні програми, платформи, звертання-ня, заяви, що набувають
  10. Розділ двадцять другий. Громадянське суспільство і правова держава
      загальна нові відомості про минуле. Вони вважають, що поширюючи таким чином інформацію, надаючи своєрідне «мале вплив» на політичне життя, залишаються при справі. І такий ознака правової держави як взаємодія громадянина і держави також «працює» на громадянське суспільство. Взаємні права та обов'язки громадянина і держави забезпечують дотримання як приватних інтересів,
  11. Відповідальність
      характеристики ПМ-9 мм (ІЖ-71). Часткове розбирання (складання) ПМ-9 мм. Сім основних частин, матеріальна частина ПМ-9 мм (ІЖ-71). Статті КК РФ і КоАП РФ. Ст. 38 КК РФ "Заподіяння шкоди при затриманні особи, яка вчинила злочин". Ст. 37 КК РФ "Необхідна оборона". Ст. 39 КК РФ "Крайня необхідність". Ст. 224 КК РФ "Недбале зберігання вогнепальної зброї". Ст. 159 КоАП РФ "Стрілянина в
  12. ГЛОСАРІЙ
      загальна сума грошей, що надходить економічним агентам у вигляді заробітної плати, платні, ренти, дивідендів, відсотків, підприємницької прибутку протягом певного періоду (за рік). Одиниця угоди - група службовців, які уповноважують профспілка представляти їх інтереси при укладенні колективної угоди Ежедневник - органайзер, основним елементом якого є система бланків
  13. Американська модель оцінки.
      загальна культура, культура мови і мислення) Основні методи - пряме вивчення особистості (тести, анкети, інтерв'ю, біографічний метод, самооцінка, самоаналіз), експертний висновок, оцінка товаришів по службі, начальства, включене спостереження, спрямоване інтерв'ю, психо - фізіологічні та медичні методи (темперамент, стан нервової системи), професійне переміщення і особистісний ріст
  14. 1.2 ПІДХОДИ ДО УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ В ОСВІТНЬОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ
      загальна сума таких функцій. У сучасній літературі обговорюються різні управлінські функції, наприклад, планування, організація, распорядительство (або командування), мотивація, керівництво, координація, контроль, комунікація, дослідження, оцінка, прийняття рішень, підбір персоналу, представництво та ведення переговорів або укладення угод. З них чотири функції - планування,
  15. 1.1.4. Управління створенням робочих місць. Забезпечення зайнятості на підприємствах
      загальна схема розробки та реалізації програми, в тому числі із залученням усіх зацікавлених організацій, розподіляються обов'язки між ними, встановлюються обсяги їх повноважень і терміни реалізації, порядок контролю виконання програми та її заходів. Основні завдання моніторингу в соціально-трудовій сфері. Актуальність проблем соціолого-економічного аналізу становлення і розвитку ринку
  16. 1.2.1. Ринок праці та проблема зайнятості робочої сили в РФ
      загальна потреба економіки в найманій робочій силі. Вони складають сукупний ринок праці. Сукупний ринок праці: С - сукупний попит іштруд; Л - мвокушіоепретложеішетруда; УС - задоволений попит на працю Таким чином, та частина, яка утворюється шляхом перетину сукупного попиту та сукупної пропозиції, носить назву задоволений попит на працю (УС). Не перетинаються частини
  17. 1.3.2. Російська безробіття: диференціація за соціально-демографічних груп
      загальне безробіття серед молоді приблизно вдвічі перевершувала среднероссийский рівень. Проте в деяких інших перехідних економіках ситуація була ще більш критичною, причому навіть після їх вступу в фазу підйому. Тільки в 1997-2000 роках безробіття серед молоді в Росії наблизилася до показників, характерним для країн ЦСЄ. В останні роки вона досягала 20-25%. Високу молодіжну
  18. контрольні роботи
      характеристику поняттям: Законність. Міністерство економіки. Форма. Російська Федерація. Батьківщина. Вправа 2. Визначте вид відносини між поняттями і покажіть його з допомогою кругових схем: Чиновник, державний службовець, російська, громадянин. Учасник Великої Вітчизняної війни, генерал, ветеран, полковник. Дипломат, посол, консул, розвідник. Вправа 3. Встановіть вид складного
© 2014-2021  ibib.ltd.ua