Логічне визначення числа

Що таке логічний об'єкт? (2)

Що таке логічна об'єктивність? (3)

Що таке закон логіки?

Вихідний пункт роздумів Фреге - не всяке знання є емпіричним. Це випливає з існування апріорних та аналітичних істин арифметики, фундаментальних як для теоретичного, так і емпіричного знання. Без них неможлива індукція і тим самим - апостеріорне обгрунтування. Математика, отже, - не просто частина загального і спеціального знання людини про природу, а його фундамент. Не було б математики - ніяка наука була б неможлива в принципі.

Фреге далі доводить, що не всяке знання є суб'єктивним. Ідеї не існують без суб'єкта, але суб'єкт не є ідея. Отже, існує щось, що не є суб'єктивним знанням. У кожній ідеї існує те, що пов'язує її саме з цим, а не іншим суб'єктом, робить її суб'єктивною, і те, що пов'язує її з більш ніж одним суб'єктом. Саме ця друга компонента якої ідеї, звана думкою, представляє первинний логічний об'єкт.

Поняття об'єкта Фреге визначає протилежним чином традиційному уявленню і з істотною відмінністю від кантівського. Об'єкт - формальний зміст судження, тобто думка, яка ніяким чином не залежить від зовнішнього світу, інтуїції і здатності почуттєвого споглядання. Так як думки не володіють просторово-часовими характеристиками, то об'єкти Фреге носять виключно логічний характер. «Проте, бути може, на це заперечать, що навіть якщо Земля і насправді непредставіма, вона все-таки є зовнішньою річчю, що займає певне місце; але де знаходиться число 4? Його немає ні поза нас, ні в нас. У просторовому сенсі останнє розуміється правильно. Визначення місцезнаходження числа 4 не має сенсу; але звідси випливає тільки те, що воно не є просторовим предметом, а не те, що його взагалі немає »48.

Об'єкти характеризуються властивостями тих виразів, які їх позначають і називаються їх власними іменами. Фреге формулює чотири критерії, яким повинні задовольняти об'єкти. Їхні власні імена, не повинні починатися з невизначеного артикля; не повинні містити вільних змінних; не можуть використовуватися предикативно (але можуть входити як частина предиката); можуть входити ліворуч і праворуч від знаку рівності, тобто утворювати закінчені пропозиції. Вирази, що містять числа (наприклад, «число сім», «бути рівним числу сім»), задовольняють цим критеріям. Отже, числа, які вони позначають, є логічними об'єктами.

Думки, але не ідеї, частиною яких вони є, об'єктивні, існують поза часом і простором, самодостатні і самі по собі досконалі. Суб'єктивно те, що пов'язане з деяким носієм, залежить від суб'єкта, визначається ним. Об'єктивно те, що розуміється більш ніж одним суб'єктом в одному і тому ж сенсі, тобто те, що за своєю природою інтерсубьекгівно. Будь-яка думка істинна чи помилкова незалежно від того, яке особисте значення істинності приписує їй її суб'єкт або навіть всі суб'єкти разом. Гносеологічна незалежність думки робить її об'єктивною. Але об'єктивність думок лише логічна, тобто вона не постулює реального існування мислимих речей. Логічна об'єктивність не тягне реального існування ні самих думок, ні їх референтів. «Я відрізняю об'єктивне від відчутного, просторового, дійсного. Земна вісь, центр маси Сонячної системи є об'єктивними, але я не можу назвати їх дійсними, як саму Землю. Екватор часто називають уявною лінією, але було б помилковим назвати його вигаданої лінією; він не є результатом душевного процесу, виникли за допомогою думки, але лише пізнається, схоплюється допомогою думки »49. Область мислимого і ісчісліми - вища і універсальна область об'єктивного знання, що включає логічні закони і всі логічні об'єкти - думки і їх обсяги, істину і брехню, поняття, числа, функції, відносини і т. п.: «Для понятійного ж мислення можна прийняти протилежне тієї чи іншої геометричної аксіомі, без того щоб, якщо слідства виводяться з таких конфліктуючих з спогляданням передумов, заплутатися в суперечностях з самим собою. Ця можливість показує, що геометричні аксіоми незалежні один від одного і від первинних логічних законів і є синтетичними. Чи можна сказати те ж саме про основоположеннях науки про числа? Чи не змішається Чи все, якщо захотілося б заперечувати одну з них? Чи було б тоді ще можливо мислення? Чи не лежить підстава арифметики глибше, ніж основа всього досвідченого знання, навіть глибше, ніж основа геометрії? Арифметичні істини панують над областю ісчісліми. Це підстава є всеосяжним, так як йому належить не тільки дійсне, не тільки созерцаемое, а й все мислиме. Хіба не повинні тоді закони чисел знаходиться у тісному зв'язку з законами думки? »35

Логічні закони - строго універсальні твердження, що поширюють свою істинність на всі речі універсуму. Відмінні риси логічних законів - їх універсальність і істинність. Універсальність законів логіки означає, що їм підпорядковуються всі без винятку речі універсуму. Їх істинність - істинність правил виводу. Логіка взагалі повинна розглядатися як наука про закони істини. Істина - її справжній предмет і єдина мета.

Аналітична істинність арифметики, особливий статус її об'єктів несумісні з формалістской інтерпретацією її тверджень. Фреге спеціально підкреслює, що якщо арифметичні рівняння вважати неінтерпретірованнимі формулами, то їх істинність матиме не більше сенсу, ніж особливе розташування фігур на шаховій дошці. Найбільше, на що здатна формалісткі інтерпретована арифметика, - це доказ несуперечності своїх правил. Але з цього докази не слід з необхідністю істинність її тверджень.

Логічні об'єкти не можуть бути дані за допомогою інтуїції або наочного споглядання. Вони задаються, згідно Фреге, контекстом тих пропозицій, в які входять твердження з їх власними іменами. У наступному уривку з «основоположні арифметики» Фреге вводить так званий контекстний принцип значення. «Стало бьггь, непредставімо змісту слова не є підставою позбавити його всякого значення або виключити з ужитку. Протилежний погляд, ймовірно, виникає внаслідок того, що ми розглядаємо слова ізольовано, а потім запитуємо про їх значення, за яке потім приймаємо подання. Таким чином, здається, що слово, якому бракує відповідного внутрішнього образу, не має змісту. Необхідно, однак, завжди враховувати повну пропозицію. Тільки в ньому слова володіють справжнім значенням. Внутрішній образ, який при цьому ніби витає, не обов'язково відповідає логічно складової частини судження. Досить, якщо пропозиція має сенс як ціле; завдяки цьому свій зміст отримують також і його частини »37.

Яким чином, запитує Фреге, можна визначити число, якщо ми не в змозі володіти його уявленням або спогляданням? Адже слова позначають щось тільки в контексті пропозиції. Відповідь наступна - за допомогою пояснення сенсу пропозиції, в яке входить числівник. Контекст пропозиції задає мета рахунки і тим самим поняття числа і саме число як його об'єкт.

Необхідний також критерій рівності для чисел, які визначаються як поняття. Про значення рівності для математики в цілому свідчить наступне визнання Фреге, «Якщо ми видалимо, - пише він, - рівність з арифметики, навряд чи щось залишиться від неї як науки» 38. Завдяки відношенню рівності розрізняються і ототожнюються всі об'єкти універсуму. Відносно чисел важливе відкриття Фреге полягає в наступному. Усяке вираз виду «Існує п об'єктів, що виконують поняття F» можна замінити судженням рівності «число речей, що виконують поняття F, дорівнює й». Це відкриття дозволило Фреге ввести критерій рівності для висловлювань, що містять числа: «Число, відповідне поняттю F, є тим же самим, як і число, відповідне поняттю С». Дане визначення, визнає Фреге, він запозичив у Лейбніца: «Тотожні [об'єкти] суть ті, один з яких може бути поставлений замість іншого із збереженням істинності [все відносини]» 39. Дане запозичення свідчить про те, що Фреге не розрізняє відносини рівності і тотожності. Причина цього в тому, що в кожне визначення він розглядав як рівність.

Введений критерій дозволяє утворювати судження рівності, кожна сторона якого є числом (є рівночисельний поняттям). Нехай F's позначає число об'єктів, які утворюють об'єм поняття F \ аналогічно для G's. Ставлення взаємно однозначної відповідності обсягів Фреге називає рівночисельний стю.

Поняття F і G рівночисельний (об'єкти їх обсягів знаходяться у взаємно однозначній відповідності), якщо і тільки якщо число F's дорівнює числу G's.

Фреге роз'яснює наведене визначення наступним міркуванням: «Якщо офіціант хоче бути впевнений, що він поклав на стіл ножів стільки ж, скільки і тарілок, йому немає потреби вважати і ті й інші; як тільки він праворуч від кожної тарілки поруч покладе ніж, кожен ніж на столі буде знаходитися поряд з відповідною тарілкою. Тарілки і ножі будуть взаємно однозначно співвіднесені один з одним, і притому, в рівному співвідношенні місць розташування »40.

Після аналізу і критики визначень, з якими він не згоден, Фреге досягає, нарешті, власної дефініції числа. Як логічний об'єкт, всяке натуральне число є поняття, елементи обсягу якого знаходяться у взаємно однозначній відповідності з елементами обсягів усіх еквівалентних йому понять. Більш точно ":

Числом поняття F називається обсяг поняття« рівночисельний поняттю F », тобто клас всіх понять, які можна поставити у взаємно однозначну відповідність з F (клас всіх еквівалентних класів, які утворюють об'єм поняття F).

Говоритимемо, що об'єкт виконує поняття F (підпадає під поняття F, в термінології Фреге), якщо і тільки якщо він є елементом обсягу F.

З наведеного визначення випливає, що: Число 0 = число поняття F ~ бути не рівним самому собі. = число поняття F, обсяг якого містить 0 F's. ~ не існує жодного об'єкту, що виконує поняття F.

Кількість 1 - число поняття F - бути рівним 0.

= число поняття F, обсяг якого містить точно 1 F. = існує об'єкт х, що виконує поняття F, і для всякого іншого об'єкта ^, виконує F, істинно: х - у.

Кількість 2 = число поняття F = бути рівним 0 або 1.

= число поняття F, обсяг якого містить точно 2 F's. - існують два різних об'єкта х і у> х * у, що виконують поняття F, і для будь-якої третьої об'єкта 2, що виконує F, істинно: або z = х, або z = у.

Число п = число поняття F = бути рівним 0 або 1, ..., або п.

= число поняття F, обсяг якого містить точно п F's. = існують п різних об'єктів X, у, ..., л, що виконують поняття F, X * у, X * Z, у * Z, ..., і для всякого (і + 1)-п> об'єкта w, що виконує F, істинно або W - X, або w = у, або w = п.

0 визначається Фреге як число поняття бути не рівним самому собі. З цього визначення і визначення рівності випливає, що число 0 дорівнює числу F's, якщо і тільки якщо речі , що виконують F's, можна поставити у взаємно однозначну відповідність з речами, які не рівні самим собі. Але жодна річ не є не рівної самій собі. Тому число F's можна поставити у взаємно однозначну відповідність з речами, які не рівні самим собі, тільки в тому випадку, якщо і тільки якщо не існує жодної речі, що задовольняє поняттю F.

Відносно вибору поняття для числа 0 Фреге дає наступне пояснення.« Я можу прийняти за визначення 0 будь-яке інше поняття, під яке нічого не підпадає. Але справа в тому, що мені потрібно вибрати таке поняття, яке може бути доведено чисто логічно; і для цього "не рівне собі" представляється зручним. Причому для "рівне" (насправді тотожне. - В. С.) я визнаю наведене вище пояснення Лейбніца, що є чисто логічним. Тепер за допомогою порожніх встановлень має бути можливим доказ того, що кожне поняття, під яке нічого не підпадає, рівночисельний з кожним поняттям, під яке не підпадає нічого, і тільки з такими поняттями, звідси випливає, що 0 - це число, відповідне такому поняттю, і що предмети не підпадають під поняття, якщо відповідне йому число є О »41.

 Число 1 визначається як число зрозуміла бути рівним 0. Так як тільки одна річ дорівнює 0, то число F's одно 1, якщо і тільки якщо F's можна поставити у взаємно однозначну відповідність з речами, рівними 0 (тобто якщо і тільки якщо існує рівно одна річ з властивостями F). 

 Коментар Фреге: «Щоб тепер перейти до числа 1, ми повинні відразу ж показати, що існує щось таке, що в натуральному ряду чисел слід безпосередньо за 0. Ми розглянемо поняття - або, якщо завгодно, предикат - "одно 0"! Під нього підпадає 0. Навпаки, під поняття "дорівнює 0, але не дорівнює 0" не підпадає ніякої предмет, так що 0 - це число, яке належить даному поняттю . Таким чином, у нас є поняття "дорівнює 0" і якийсь предмет 0, під нього підпадає, звідси імеет'сілу наступне: число, відповідне поняттю "дорівнює 0", дорівнює числу, відповідному поняттю "дорівнює 0"; 0 - це число, відповідне поняттю "дорівнює 0, але не дорівнює 0". Стало бути, згідно з нашим поясненню, число, відповідне поняттю "дорівнює 0", в натуральному ряду чисел безпосередньо слід за О »42. 

 Визначення довільного числа п принципово нічим не відрізняється від наведених визначень чисел 0, 1 і 2. Вислів «п - число поняття F» має в загальному випадку йнтерпреті- роваться як «обсяг поняття F знаходиться у взаємно однозначній відповідності з числами, меншими або рівними л», або як «існує точно п об'єктів х таких, що кожен з них є елементом обсягу F». 

 Нехай вираз xFx символізує логічний об'єкт, пов'язаний з поняттям F, т, е. обсяг F (для кожного об'єкта Jt, якщо х виконує F, істинно, що він є елементом обсягу F). Тоді наступні два рівності виражають основний зміст визначення числа Фреге: 

 О = число xFx (х * х); 

 S (n) = число xFx (х <і). 

 Незважаючи на те, що визначення числа Фреге породжує всю послідовність натуральних чисел, цього ще недостатньо для того, щоб назвати її натуральним рядом чисел. Для цього необхідно визначити відношення слідування, в якому знаходяться будь-які два суміжних члена натурального ряду чисел. Неформально це означає, що необхідно довести, що за кожним натуральним числом п завжди слід число, більше його на одну одиницю, п + 1, і що не існує кінцевого члена натурального ряду чисел. 

 З цією метою Фреге спочатку визначає ставлення ^ безпосередньо випливає за хм: 

 у безпосередньо випливає за х, якщо й Тільки якщо існує поняття F і об'єкт z такий, що: -

 z виконує поняття F; -

 / - Є число поняття F; -

 х-число поняття об'єкт, що не рівний z, що виконує поняття F. Поясненням визначення ставлення у безпосередньо випливає за х служить наступний прімер43. Припустимо, розглядається пара чисел 1 і 2. Ясно, що число 2 безпосередньо слід за числом 1 по числовий Шкалою. Нехай дано поняття F = бути співавтором Principia Mathematica і об'єкт z = А. Уайтхед такі, що: -

 Уайтхед виконує поняття бути співавтором Principia Mathematica; -

 2 - число поняття бути співавтором Principia Mathematica; -

 1 - число поняття співавтор Principia Mathematica, відмінний від Уайтхеда. 

 Остання умова прикладу істинне, тому що існує точно один об'єкт, саме Б. Рассел, який виконує поняття об'єкт, відмінний від Уайтхеда і виконує поняття бути автором Principia Mathematica. 

 Ставлення безпосереднього проходження визначає нескінченну послідовність пар <0, 1>, <1, 2>, <2, 3>, лівий член кожної з яких менше правого члена рівно на одиницю. 

 Потім Фреге визначає ставлення х передує у в ряду чисел, пов'язаних ставленням безпосереднього проходження. Припустимо, дана послідовність чисел від 0 до 3, що виконують ставлення безпосереднього проходження: 1 слід за 0,2 слід за 1, 3 слід за 2. Ставлення передувати є більш ліберальним, ніж ставлення безпосередньо слідувати: якщо виконується відношення безпосереднього проходження, тоді число 0 передує не тільки числу 1, але і числам 2 і 3; число 1 передує не тільки числу 2, а й числу 3. 

 Сказане пояснює визначення натурального числа і тим самим всього натурального ряду чісел44: 

 х є натуральне число, якщо і тільки якщо або х = 0, або 0 є найменше число в ряду чисел, що виконують ставлення передування (тобто 0 передує всім числам, пов'язаним ставленням безпосереднього проходження). 

 ве визначення всіх чисел натурального ряду. Це визначення дозволяє ввести принцип математичної індукції у формі «Якщо 0 виконує поняття F і деяке натуральне число п виконує F, тільки якщо п + 1 виконує F, тоді кожне число виконує F». Отже, відношення передування і допущення, що 0 утворює найменший клас натуральних чисел, дозволяє побудувати модель для аксіом натуральних чисел Пеано. Цим самим досягається повна формалізація арифметики. 

 Інформація, релевантна "Логічне визначення числа"

1. § 2. Кримінальну правовідносини і елементи складу злочину
     логічно припускає об'єкт посягання. А. Н. Трайнін, прагнучи бути вірним своїй концепції про те, що для складу злочину необхідно наявність всіх утворюють його елементів, і стверджуючи, що будь-який склад «немислимий без елементів, що характеризують об'єкт злочину» 2, основне протиріччя у вирішенні цієї проблеми бачив у явній невідповідності з цим загальним становищем іншого, настільки ж
   
2. § 2. Класифікація об'єктів злочину
     логічно завершеною класифікації на базі марксистсько-ленінського положення про співвідношення загального, особливого та окремого. Класифікація об'єктів посягань, - стверджує він, - як загального об'єкта (вся сукупність охоронюваних кримінальним законом суспільних відносин - загальне), родового об'єкта (окремі однорідні групи суспільних відносин - особливе) і безпосереднього об'єкта
   
3. § 4. Господарські товариства і суспільства
     логічного завершення. Так, відповідно до п. 1 ст. 83 ГК товариші-вкладники можуть навіть не брати участь у підписанні установчого договору (хоча, як буде показано далі, це вкрай бажано). Але товариство на вірі - договірне об'єднання осіб і тому установчий договір є його єдиним установчим документом. На чому ж грунтуються взаємні права та обов'язки повних
   
4. Глава четвер-тая. ХАРАКТЕРИСТИКА І ПОНЯТТЯ ДЕРЖАВИ
     логічний підхід до держави додає і оцінку ролі держави як зберігача прав і свобод людини і громадянина, демократичних процесів, що дозволяють етносу вижити і відтворюватися в сучасних умовах глобальних криз: екологічного, демографічного, енергетичного, сировинного та ін Тому в рамках сучасної теорії держави стає актуальним не так догматичне і
   
5. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
     логічні передумови виникнення Радянської держави. Етапи розвитку радянського суспільства і Радянського дер-жави. Радянська форма правління та її еволюція на сучасному етапі. Основні зовнішні та внутрішні функції Радянської держави, їх еволюція. Форма правління, національно-державний і адміністративно-територіальний устрій, політичний режим сучас-ного Російського
   
6. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
     логічній основі, що включає положення про єдність держави і права, їх загальної класової природі і була сформована так звана марксистсько-ленінська теорія держави і права. Вона досить успішно забезпечувала теоретичними положеннями та обгрунтуваннями тоталітарна держава, його правову систему, інші державно-правові сторони суспільного життя при соціалізмі сталінського
   
7. Глава шістнадцята. ПРАВОТВОРЧЕСТВО
     логічно точно описує, а швейцарський відповідає - відбувся референдум. Правотворчої діяльністю займаються і судові органи, по-перше, там, де в правовій системі допускається судовий прецедент, по-друге, де прецеденти мимовільно, синергически складаються і стають орієнтирами, підчас обов'язковими для суб'єктів права. Зрозуміло, про-цес появи судових прецедентів,
   
8. Глава дев'ятнадцята. Правомірної поведінки, ПРАВОПОРУШЕННЯ І ЮРИДИЧНА ВІДПОВІДАЛЬНІСТЬ
     логічних форм такої поведінки є егоїзм і його крайні прояви у вигляді его-центризму. Разом з тим егоїзм може формувати мотиви підприємливості, діловитості, кар'єрна (а не тільки кар'єризму), що в загальному не завжди заслуговує негативної оцінки. У свою чергу інші установки можуть формувати мотиви, що визначають поведінку, корисне для «ближнього», для суспільства, так звані
   
9. Глава двадцята. ПРАВОСВІДОМІСТЬ І ПРАВОВА КУЛЬТУРА
     логічного свідомості до логічного, а від нього до логіко-правовому - так можна визначити основний вектор в просуванні общественною свідомості до подальших рубежів і висот. Правосвідомість надає суспільній свідомості характер раціональності, свідомості «здорового глузду». Таке твердження може здатися дивним, але по суті в ньому немає нічого дивного. Зростає роль і цінність права як
   
10. 6. Оцінка психофізіологічних якостей.
      логічних можливостей і особливостей індивідуума. Звідси і ряд високих специфічних вимог до уваги, координації рухів, об'єму пам'яті і т. д. При виборі методів психофізіологічних досліджень необхідно враховувати характер виробничої діяльності, з тим щоб оцінити важливі для даного роду робіт психофізіологічні якості людини, які визначають успішність його
    
11. ГЛОСАРІЙ
      логічний інститут в Петербурзі; в лютому 1903, який на місяць раніше Ф. Тейлора, виступив з публічною доповіддю застосування наукового методу у виробництві (в Південно-російському центрі гірничометалургійної промисловості). Адаптація працівника (в управлінні персоналом) - процес пристосування працівника до нового місця роботи (при переході в нову фірму, на нову посаду та ін.) Активна кадрова
    
12. 1. Моделювання ітеративного навчання: завдання і проблеми
      логічний словник, М.: ІПЛ, 1985. с. 201). Ми будемо докладно розглядати лише один з видів навчання, а саме итеративное научение (iterative від лат. Iterativus - повторюваний) - багаторазове повторення навченою системою (живий або неживий - технічної або кібернетичної) дій, проб, спроб і т.д. для досягнення фіксованої мети при постійних зовнішніх умовах. Ітеративне научение