| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
Філософія математики Готтлоба Фреге |
||
|
Сподіваюся, в даному творі я зробив правдоподібним те, що арифметичні закони є аналітичними, а отже, апріорними судженнями. Згідно цьому арифметика є лише подальший розвиток логіки, а кожне арифметичне пропозиція є логічний закон, хоча і похідний. Г. Фреге, Основоположення арифметики Критика протилежних підходів до визначення числа Готтлоб Фреге (1848-1925) розглядав створення нової логіки не як кінцеву мету, а як засіб аналізу арифметики. Відсутність єдності думок серед математиків про значення її вихідних термінів підштовхнуло Фреге до того, щоб почати міркувати про логічному аналізі арифметики. У часи Фреге під арифметикою розуміли теорію натуральних чисел разом з підставами аналізу. Тому предметом інтенсивного логічного аналізу стали насамперед вихідні поняття арифметики - число, безліч, рівність, змінна і функція. Серед них обгрунтування поняття числа Фреге вважав найбільш актуальним і пріоритетним. На його думку, самі прості і неефективні відповіді на питання «що таке число?» Пропонують ті, хто вважає, що значення поняття числа може бути встановлено безпосередньо і не вимагає спеціальної методологічної і, можливо, логічної рефлексії. Число з цієї точки зору є або певний психологічний об'єкт, або той знак (цифра), яким воно позначається. Психологізм і формалізм в математиці беруть свій початок, вважає Фреге, саме з цієї порочної методологічної установки. Математики кажуть, що числа абстрагуються з класів, або множин, але вони при цьому не визначають, що саме вони розуміють під абстракцією і класом. Абстрагуючись, ми слідуємо від об'єктів до поняття, які йому підпорядковуються (утворюють його об'єк-ем). Але такий математик, як Г. Кантор, розуміє під абстракцією щось інше. Для нього абстракція означає створення нових об'єктів з уже даних. На його думку, зі спостереження п'яти точок, розташованих на одній лінії, ми спочатку абстрагуємося їх впорядкованість, що дає нам розуміння значення порядкового числа "п'ятий", а потім за допомогою нової абстракції від порядку, в якому розташовані ці точки, ми отримуємо визначення кардинального числа «п'ять». Така абстракція, згідно Фреге, є «чарівної» 29. На думку Фреге, легко довести безплідність будь-якого «безпосереднього» визначення числа. Якщо математик стверджує, що число - це ідея, знак, ціле, що складається з подібних один одному частин, або результат абстрагування від безлічі речей, то слід просто запитати про застосовність подібних визначень при конструюванні математики як цілісної науки. Якщо їх не можна застосувати буквально або їх використання не призводить до доказу законів арифметики, такі визначення слід визнати марними. Невизначеність у розумінні числа породжує невизначеність у визначенні інших вихідних понять арифметики. При розглянутої трактуванні поняття числа знак рівності не може бути використаний для позначення тотожності. Кожне входження числа «5» в рівність «5 - 5» буде позначати різні послідовності об'єктів, і отже, знак "=" не є знаком тотожності. Ім'я «змінна», що використовується для позначення невизначених величин, включаючи числа, саме по собі помилково, вважає Фреге. Математики говорять про змінних так, як якби вони позначали щось змінне і невизначене. Але це, на його думку, не так. Референтом виразу може бути тільки щось постійне і певне. Змінні величини принципово відрізняються від одиничних числових термінів і використовуються двома різними способами. Відповідно до першого, вони вказують відкрите місце, на яке може підставлятися константа, як, наприклад, у виразі «х + 3». Згідно з другим, вони функціонують як законів, як, наприклад, у рівності «х + у => + *». В обох випадках призначення змінних величин полягає в тому, щоб вказувати місце входження референта, а не позначати його. Проблеми з розумінням змінних величин переносяться на поняття функції. Загальноприйняте визначення функції «Якщо кожне значення дійсної змінної jc, що належить її рангу, корелює з певним числом у, тоді у визначається як змінна і називається функцією дійсної змінної х; у = Дх)», згідно Фреге, не витримує критики. Як і змінні, функції не можуть позначати невизначені числа або величини. Фреге називає кілька загальних методологічних причин невизначеності і плутанини в підставах математики свого часу. Це тенденції змішувати знак і те, що він позначає; об'єкт і поняття; суб'єктивне (психологічне) і об'єктивне (логічне); розглядати значення знаків поза їх контексту. Остання тенденція особливо поширена і небезпечна. Математики не бачать, що їх наука - комплексна система знань, в якій всі закони, ухвали і теореми взаємопов'язані і ніщо не має самостійного значення поза даної системи. Значення математичних термінів визначається не тим уявленням, яке вони викликають в нашому розумі, а тим місцем, яке вони займають в математичній системі; тими конкретними функціями, які вони в ній виконують. Переконання Фреге в дефектності всіх існуючих в його час підстав арифметики визначає структуру Осново положень арифметики. Головне завдання цієї книги - обгрунтувати новий підхід до визначення поняття числа, усунути всі невизначеності в підставі арифметики. У першу чергу Фреге прагне усунути всі сумніви в аналітичному характері математичних істин. Якщо цього не зробити, вважає він, неможливо буде довести об'єктивність і загальність математичних законів. Хоча Фреге і не збирався, за його словами, вкладати новий сенс у визначення аналітичних і синтетичних істин, а тільки більш точно витлумачити, що мали на увазі інші автори, і перш за все Кант, результат вийшов вражаючим . Наприкінці «основоположні арифметики» Фреге зміг навіть звинуватити Канта в тому, що запропонована ним дихотомія аналітичного і синтетичного не є ісчерпивающей30. Підстава фрегевской класифікації пропозицій на аналітичні і синтетичні, апріорні і апостеріорні становить положення, що нас має цікавити тільки, яке обгрунтування слід вважати найкращим. Таким обгрунтуванням, вважає Фреге, є дедуктивний доказ. Результат обгрунтування залежить від усіх використаних посилок. У досконалому обгрунтуванні жодна з початкових посилок не вимагає доказу. Посилки за своїм статусом діляться на «факти» - недоведені істини, які висловлюються про властивості приватних об'єктів, - і «універсальні закони» - затвердження загального порядку, які не потребують самі по собі докази. Виключаючи можливість пропозицій, аналітичних та апостеріорних одночасно, як суперечливу за визначенням, Фреге вважає, що Пропозиція - апріорне, якщо воно дедуктивно виводиться з деякої безлічі посилок. В іншому випадку воно - апостеріорне. Пропозиція - аналітичне, якщо воно виводиться з одних тільки універсальних логічних законів і ухвал, включаючи всі висловлювання, від яких залежить їх коректність. В іншому випадку, тобто коли хоча б одна з посилок представляє судження про приватний факті, що виводиться пропозиція - синтетичне. Ві межі області мислимого і вважаю, її логічну завершеність. З цього факту можна прийти до поспішного висновку, що фундаментальні принципи арифметики не мають ніякого відношення до обмеженої області об'єктів, відмітні ознаки яких вони висловлюють, як висловлюють аксіоми геометрії відмітні ознаки просторових відносин. Навпаки, ці фундаментальні принципи повинні охоплювати всі, що мислимо; а висловлювання, відповідне цьому вищому рівню універсальності, з повною підставою має бути віднесено до сфери логіки »31. Кант недооцінив значення аналітичних істин, вважає Фреге. Як і синтетичні істини, вони можуть давати нове знання про світ. Знання небагатьох законів арифметики дозволяє обгрунтовувати аналітично істинність арифметичних тверджень, що мають пряме відношення до вирішення реальних практичних проблем. Іншими словами, аналітичний характер арифметичних істин, заснований на їх дедуктивної виводимості, ніяк не можна назвати безплідним. Разом з доказом аналітичності арифметичних істин Фреге спростовує їх можливість бути апостеріорними істинами. Якби арифметичні істини були апостеріорними, тоді вони були б індуктивними істинами. Але останнє неможливо, тому що індуктивне обгрунтування саме засноване на використанні теорії ймовірностей і тим самим - законів арифметики. «Ймовірно, саму процедуру індукції можна виправдати тільки за допомогою спільних пропозицій арифметики, якщо під нею не розуміти просту звичку. Остання абсолютно не володіє ручається за істину силою. У той час як наукова процедура згідно об'єктивним стандартам то знаходить обгрунтованою високу ймовірність в одному єдиному прикладі, то вважає що не мають ціни тисячі подій, звичка визначається числом і силою вражень і суб'єктивними обставинами, які не мають жодного права впливати на судження. Індукція повинна спиратися на вчення про ймовірність, оскільки вона може зробити пропозицію не більше ніж імовірним. Однак не видно, як це вчення можна розвинути, не припускаючи арифметичних законів »32. Далі, якби арифметичні істини були апостеріорними істинами, тоді вони за визначенням залежали б від психологічних, фізіологічних і фізичних обставин і умов. Але в цьому випадку математика втратила б свою загальність, об'єктивність і обов'язковість. По суті вона б самоупразднілась як наука, так як кожна нова емпірична ситуація вимагала б створення нових законів і теорем. Нарешті, якби математичні істини були апостеріорними, тоді вони були б правдиві тільки в дійсному світі і не мали б ніякої обов'язкової сили для можливих об'єктів просторового споглядання, що відносяться до області геометричних істин, і необхідних об'єктів мислимих речей, що становлять область універсальних логічних істин. Значить, робить висновок Фреге, математичні істини носять апріорний характер. Арифметичні істини, розвиває далі свою думку Фреге, також не можуть бути синтетичними істинами. На його думку, можливі тільки три джерела пізнання - спостереження; апріорна просторова й тимчасова інтуїція; логічна здатність. Спостереження може сказати нам тільки, якими є речі насправді. Апріорна просторова й тимчасова інтуїція повідомляє нам, якими повинні бути речі, якщо нам доводиться їх уявляти в просторі та часі. Але ні спостереження, ні інтуїція не дозволяють дізнатися, які речі насправді, коли їх не спостерігають або уявляють. Знання про речі поза спостереження і уяви здатна дати тільки наша здатність логічного мислення. ; Отже, всі математичні істини - апріорні та аналітичні. Даний висновок Фреге визнає хоча і ймовірним, але все ж важливим «виправленням» точки зору Канта44. Досягнувши цього висновку, Фреге розгортає критику всіх визначень поняття числа, які не задовольняють вимоги апріорність та аналітичності. Числа не є властивостями, за допомогою яких предикативно розрізняються окремі речі. Приписування числа речі відрізняється від вказівки кольору коні, довжини дороги, ваги шматка металу. Сказати, що на цьому дереві листя зелене, означає ска-зати щось про кожному аркуші і про листі дерева в цілому. Затвердження ж, що на цьому дереві тисячі листя, означає твердження щось, що не може бути приписано ні окремій листу, ні листі дерева в цілому. Таким чином, число не є властивість того ж роду, що і властивість «зелений» 33. Відповіді на питання «Скільки?» Вимагають попереднього знання того, що потрібно порахувати. Коли задають таке запитання, спочатку визначають безліч речей, що підлягають рахунку, - дерева, автомобілі, будинки, людей, гроші і т. п. Відповіді на питання «Якої довжини ця річ?», «Скільки вона важить?» Такого знання не вимагають. Одне і те ж безліч речей може бути злічило різними способами і відповідно представлено різними числами. Черевики можна порахувати як чотири черевика, як дві пари черевиків, як два правих і два лівих черевика. Це також доводить, що число не є властивістю фізичних речей, невід'ємно властивим їм зразок протяжності або ваги. Простими аргументами проти того, що числа є властивості речей, служать, згідно Фреге, числа О і 1 - відсутність яких або речей, відповідних першому, і двозначність другого. Справді, неможливо точно відповісти, якій речі відповідає число 0. Але не меншою мірою невизначеними, доводить Фреге, і питання щодо числа 1. «Ми знову ставимо запитання: Який сенс у тому, щоб якому-нибудь предмету докладати властивість« один », якщо згідно розумінню кожен предмет може як бути, так і не бути одним? Яким чином на настільки розпливчастому понятті може грунтуватися наука, яка здобула собі славу як раз самій більшою визначеністю і точністю? »34 А адже саме з 1 допомогою послідовного додавання все нових одиниць породжується натуральний ряд чисел - фундамент всієї математики. Рахунком підлягають всі речі універсуму, матеріальні і ідеальні, реальні та уявні. Отже, числа є універсальні властивості. Висловлювання про числа - НЕ властивості речей, що не досвідчені істини, що не суб'єктивні уявлення і, хоча і функціонують на зразок прикметників, що не прикметники. Вони існують об'єктах- тивно, незалежно від того, хто їх мислить, поза часом і простором і не схильні яким змінам. Отже, вони можуть бути тільки поняттями. Поняття - не суб'єктивні уявлення, не тотожні предикатам. Предикат може позначати число, але тільки якщо це число підпадає під певне поняття. Властивість «Земля має одну Місяць» - властивість не подання, не слова, а поняття Місяць Землі. Число як поняття пояснює, чому можна вважати фізичні та нефізичні речі окремо і разом; чому можна утворити число 0, якому не відповідає жодна річ. Наприклад, відомо, що планета Венера не має супутників. Але існує поняття Місяць Венери, якому можна приписати число 0 допомогою затвердження «Венера має 0 Лун». Висновок Фреге категоричний: «числом не абстрагується від речей по типу кольору, ваги, твердості і не є властивістю речей в тому сенсі, як ці останні. Все ще залишається питання, до чого відноситься те, що висловлюється за допомогою вказівки на число. Число - не матеріальне, але також і не суб'єктивно, воно не є представленням. Число не виникає додатком речі до речі. Також нічого в цьому відношенні не змінює і додання імені відповідно кожному додатку. Вирази «багато чого», «безліч», «множинність» через їх невизначеності не годяться для пояснення числа »47.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "Філософія математики Готтлоба Фреге" |
||
|
||