Класи і парадокси

Не можна бути впевненим ні в тому, що число реальних об'єктів і їх властивостей в універсумі, в якому ми живемо, звичайно, ні в тому, що воно нескінченно. Але оскільки математика має справу з нескінченними послідовностями чисел, то для логічного виправдання їхнього статусу і пояснення їх властивостей, вважають Рассел і Уайтхед, необхідно спеціальне допущення про неконечную характері універсуму, назване «аксіомою нескінченності».

Аксіома нескінченності представляє допущення, що якщо п - натуральне число, тоді в універсумі існує хоча б один клас з п + 1 елементами, Так як число п заздалегідь не фіксується, є довільним, то число об'єктів універсуму перевершує будь-яке число п. Головне наслідок прийняття аксіоми нескінченності - введення заборони для довільного числа об'єктів п виконання рівності п = п + 1 і тим самим порушення третьої аксіоми Пеано.

Якщо ця аксіома нескінченності справедлива, то легко довести, що універсум містить об'єкти різного типу, кількість яких не може бути натуральним числом. Справді, згідно аксіомі нескінченності, існує хоча б один клас з п + 1 елементами. Значить, згідно з визначенням натурального числа, існує нескінченне число еквівалентних класів, яке саме по собі натуральним числом вже не є. Причина цього в тому, що клас всіх натуральних чисел не може бути натуральним числом. Нехай N позначає клас натуральних чисел. Те, що N само не може бути натуральним числом, видно з того, що для цього класу справедливі, зокрема, наступні рівності: N +1 = N, N - 1 ~ N. Очевидно, що якби ці рівності виконувалися для натуральних чисел, то це означало б спростування третього аксіоми Пеано і руйнування арифметики як математичної теорії. Сказане пояснює логічний мотив прийняття Расселом аксіоми нескінченності. Якщо її не прийняти, то третя аксіома Пеано, яка стверджує, що ні за якими двома натуральними числами не слід одне і те ж натуральне число, не виконується і тим са-мим не виключається можливість збігу чисел п і п + 1. Наступний простий приклад ілюструє цю возможность79. Припустимо, в універсумі існує рівно дев'ять об'єктів. Тоді числа від О до 9 визначаються як звичайно. Але число 10, рівне сумі 9 +1, має бути прирівняне до порожнього класу. Справді, за визначенням, число п + 1 є клас тих класів, які включають клас х такий, що якщо його видалити, ми отримаємо число п. Згідно з цим визначенням, число 9 + 1 є клас, що складається з нульового числа класів, т . тобто містить пусте безліч елементів. Аналогічно для всіх наступних чисел: 9 + 2, 9 + 3, ..., 9 + і, де п не дорівнює нулю. Значить, всі числа починаючи з 10 еквівалентні один одному, так як всі вони рівні нуль-класу. Тим самим числа, наступні за числами 9 і 10, порушують третю аксіому Пеано, бо за обома слід одне і те ж число, саме нуль-клас.

Отже, аксіома нескінченності необхідна для того, щоб розрізняти класи сліп + 1 елементами, де п - довільне натуральне число.

Проти введення аксіоми нескінченності, зауважує Рассел, можна виставити таке заперечення. Припустимо, існує п об'єктів (причому п може дорівнювати навіть нулю). З п об'єктів можна утворити 2 "класів, з 2" класів можна побудувати 22я класів і ad infinitum. Якщо тепер скласти разом п об'єктів, класи цих об'єктів, класи класів цих об'єктів, то отримаємо перші трансфинитное число в ієрархії нескінченних чисел Г. Кантора (позначається як число алеф нуль). Це число, можна припустити, відображає реальну нескінченність універсуму і робить надлишковим прийняття аксіоми нескінченності.

Однак Рассел порівнює подібний аргумент з витягуванням з капелюха речей, яких, як знає власник капелюхи, що позичив її для фокуса, там ніколи не було. Якби клас, що складається з усіх об'єктів довільного сорти, які можна все перерахувати, реально існував, він мав би найбільшу кардинальне (кількісне) число з усіх можливих. Але таке число суперечливо. З теорії множин відомо, що число класів, які можна утворити з елементів будь-якого класу, завжди більше числа самих елементів (2Л> п). Сказане відноситься і до класу «найбільше кардинальне число». Але це неможливо, тому що число всіх його підкласів, які є його членами, не може бути більше числа всіх його членів за визначенням. Значить, такого числа не існує. Але саме таке неіснуюче число являє алеф нуль.

Повідомивши про своє відкриття Г. Кантору (1901 р.) і продовжуючи роздумувати про причини неможливості найбільшого кардинального числа, Рассел відкрив суперечливість широко відомих тепер нормальних класів. Припустимо, існує клас, що включає все, що існує. Худа він повинен включати і самого себе, так як представляє один з існуючих об'єктів універсуму. Але нормальний клас не є членом. Самого себе. Наприклад, клас всіх людей не є людиною. Якщо тепер утворити клас всіх нормальних класів, то виникає питання: чи є він нормальним класом. При допущенні, що він - нормальний клас, слід, що він - ненормальний клас. При допущенні, що він - ненормальний клас, слід, що він - нормальний клас. Так як обидва припущення ведуть до протиріччя, то поняття класу всіх нормальних класів логічно суперечливо і, отже, безглуздо.

Помилка, вважає Рассел, виникає через утворення «погано певних класів», тобто класів, чий логічний тип чітко не визначений. Класи - логічні суті, і до їх визначення має пред'являтися вимога, щоб вислів про клас могло бути трансформовано в форму, в якій відсутній будь-яке згадування про те, як він сконструйований. Це накладає певні обмеження на номінальне використання висловлювань про класах. Класи зразок класу всіх нормальних класів позбавлені сенсу, тому що безглуздий питання про те, може чи не може він бути своїм власним членом. Отже, якщо існує п об'єктів в універсумі і 2 "класів про ці об'єкти, зважаючи зазначеного обмеження не можна утворити новий клас, що складається з п + 2" членів. З цієї причини спроба уникнути введення аксіоми нескінченності безглузда.

Інформація, релевантна " Класи і парадокси "

1. 2.« Так чи знаєте Ви, що таке Росія? »
   Проблема держави, форми політичної влади, характер взаємини його з суспільством в цілому і окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
   
2. 7.3. Софізми і логічні парадокси.Некорректние аргументи
   Софізм - логічно неправильне, неспроможне міркування, що видається за правильне. Так, за оповіданням Аристотеля, одна афінянка вселяла своєму синові: «Не втручайся в суспільні справи, тому що, якщо ти будеш говорити правду, тебе зненавидять люди, якщо ж ти будеш говорити неправду, то тебе зненавидять боги». Ненавмисна помилка, допущена людиною в мисленні, називається
   
3. 7.4. Міркування і способи переконання
   Вчення про міркуванні, про логічному висновку є основою формальної логіки. Переконання властиві кожній людині, вони супроводжують його протягом усього життя. З одного боку, це досить стійка категорія і багато людей зберігають свої переконання в незмінному вигляді, а хтось легко розлучається зі своїми переконаннями. Прикладів в історії людства достатньо. Сотні, тисячі, а іноді і мільйони
   
4. контрольні роботи
   Варіант 1 Вправа 1. Дайте повну логічну характеристику поняттям: Законність. Міністерство економіки. Форма. Російська Федерація. Батьківщина. Вправа 2. Визначте вид відносини між поняттями і покажіть його з допомогою кругових схем: Чиновник, державний службовець, російська, громадянин. Учасник Великої Вітчизняної війни, генерал, ветеран, полковник. Дипломат, посол, консул,
   
5. Парадокси матеріальної імплікації.
   Так позначається смислове розбіжність операції матеріальної імплікації з її символічною формулою: АгеВ. Згідно матеріальної імплікації істинність А, для істинності формули Az> B, необхідно, щоб і В було правдиве. У цьому випадку мова йде про змістовне розумінні хибності й істинності висловлювання. Однак формула ADB істинна не тільки в зазначеному випадку, але й тоді, коли А - помилково, а В -
   
6. ЕКЗАМЕНАЦІЙНІ ПИТАННЯ
   Формальна логіка як наука. Поняття логічної форми та логічного закону. Мислення і мова, основні аспекти мови: семантика, синтаксис, прагматика. Основні закони логіки. Поняття. Зміст і обсяг поняття, відношення між ними. Види понять. Поняття роду та виду. Операції обмеження й узагальнення понять. Відносини між поняттями. Операції над класами: об'єднання (додавання), перетин
   
7. 2. «Так чи знаєте Ви, що таке Росія?»
   Проблема держави, форми політичної влади, харак- тер взаємини його з суспільством в цілому та окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
   
8. Причини краху демократії і перемоги більшовиків
   У чому ж причини краху демократії і перемоги більшовиків? Серед безлічі чинників слід назвати традиційну слабкість в Росії ліберальних політичних сил, як і в XIX і на початку XX в., Так і в 1917 р. Лібералізм як ніби починав грати досить велику роль. Але парадокс полягав у тому, що, за словами М. Бердяєва, «ліберальні ідеї, ідеї права, як і ідеї соціального реформізму» виявилися не
   
9. Структура наукового пізнання
   Наукове пізнання має два рівні - емпіричний і теоретичний. На емпіричному рівні здійснюється встановлення та узагальнення наукових фактів, на теоретичному - їх пояснення. Основними методами емпіричного пізнання є спостереження, вимірювання та експеримент. Спостереження досліджує об'єкт в природних умовах. Воно може бути безпосереднє і опосередковане (за допомогою приладів та інших
   
10. 2.2. Категорії діалектики.
    Категорії - елементи діалектики. Через них розкриваються відносини, які належать не до окремих предметам і процесам, а всього буття. Філософські категорії - висловлювання, прикмета - це фундаментальні поняття, які відображають загальні відносини матеріальної, соціальної дійсності і пізнання. У категоріях (і не тільки в філософських) людина систематизує знання. Розвиток
    
11. Структура суспільства
    Духовні та матеріальні форми суспільного життя. Єдність матеріального і духовного в суспільному житті. Суспільне буття і суспільна свідомість. Історичний характер співвідношення матеріального і духовного. Критерії розподілу культури на матеріальну і духовну. Виробничо-економічні структури і їх функціональна диференціація. Класична концепція соціального детермінізму.
    
12. 8.6. Тенденції та проблеми розвитку зарубіжної демократії
    Отже, демократія відкриває перед громадянами широкі можливості, яких вони позбавлені при інших політичних режимах. Громадяни демократичної держави «надійно захищені від деспотичних правителів, вони володіють фундаментальними політичними правами, і, крім того, їм наданий широкий спектр свобод, вони отримують способи захищати і відстоювати свої особисті інтереси, вводячи їх в число
    
13. 9.2. Народовладдя як термін і як об'єктивна реальність
    Як ми бачили, слово «народовладдя» має дорадянський походження. Проте в Радянському Союзі була зроблена спроба надати цьому слову по перевазі ідеологічне звучання. Іншими словами, особливо в епоху так званого розвиненого соціалізму «народовладдя» стало своєрідним словом-символом, яке презюміровать принципове перевагу комуністичної формації над усіма
    
14. 1. Європа на шляху модернізації суспільного і духовного життя. Характерні риси епохи Просвітництва
      XV-XVII ст. в Західній Європі називаються епохою Відродження. Для цього є певні підстави, про які йшлося у попередній темі. Однак об'єктивно цю епоху слід було б характеризувати як епоху Перехода, тому що вона є мостом до системи суспільних відносин і культурі Нового часу. Саме в цю епоху закладаються передумови буржуазних суспільних відносин, змінюється
    
15. 3. Ідейні течії і суспільно-політичний рух XIX в.
      У XIX в. в Росії народилося надзвичайно багате за змістом і методами дії громадський рух, багато в чому визначило подальшу долю країни. XIX століття принесло з собою відчуття унікальності, самобутності російського національно-історичного буття, трагічного (у П.Я. Чаадаєва) і гордовитого (у слов'янофілів) усвідомлення своєї несхожості з Європою. Історія вперше стала для освічених людей
    
16. 2. ЦЕЙ НОВИЙ ДРЕВНІЙ СВІТ
      Філософія історії - непроста наука. Її численні загадки і парадокси прямо пов'язані з унікальним статусом людини в світі, свободою її волі. І в той же час - з набагато більш передбачуваними, хоча аж ніяк не елементарними, законами розвитку складних систем. Життєздатність же подібних систем, в свою чергу, багато в чому пов'язана з їхньою внутрішньою неоднорідністю, "квітучої складністю",
    
17. 1.Мир ПОСТМОДЕРНА ЛАМАЄ ГОРИЗОНТ ІСТОРІЇ
      М ір XX століття змушує згадати часи переселення народів. Що Завершується століття демонструє небачені раніше можливості доступності і миттєвого "переміщення подій", проекції владних рішень практично в будь-який регіон Землі. До того ж багато загрози та виклики, що постали в повний зріст перед нами на порозі нового тисячоліття, також носять глобальний, всесвітній характер. Соціальний бульйон,
    
18. II. Постмодерн і його "ізм".
      Відомо нам від давніх днів Що людина сильніше смерті А в наші дні вже, повірте - І життя теж він сильней Д.А. Прігов24. Результати тріумфальної ходи модерн-проекту по просторах землі загальновідомі: * безпрецедентна універсалізація продуктивних сил; * інтенсивних глобалізовані інформаційні та