Теорія типів як спосіб виключення парадоксів

Парадокси можуть виникати у відношенні самих різних логічних і математичних об'єктів - висловлювань, класів, кількісних і порядкових чисел і т. д. Оскільки всі вони конкретні приклади єдиного породжує фрейма, названого «пропозициональной функцією», то принциповий аналіз парадоксів можливий тільки в термінах саме цієї функції.

Пропозіціональному функція - вираз, що містить щонайменше одну змінну як аргумент і що перетворюється на істинне або хибне висловлювання після підстановки на місце цієї змінної певного аргументу (об'єкта або функції).

Можна також сказати, що пропозіціональная функція - це функція, значеннями якої є дійсні або помилкові висловлювання. Наприклад, пропозіціональная функція «х - людина» після підстановки на місце змінної х ім'я Сократ як аргумент перетворюється на справжнє висловлювання «Сократ - людина». Пропозіціональная функція «2 + 2 = х» після підстановки на місце змінної х числа 5 як аргумент перетворюється на хибне висловлювання «2 + 2 = 5».

Пропозіціональние функції вводять класи певних об'єктів. Клас, по Расселу, не є ні властивістю окремого об'єкта (класів завжди більше, ніж об'єктів; деякі класи суперечливі), ні безліччю об'єктів (якби це було так, то неможливо пояснити появу чисел 0 і 1), Пропозіціональние функції, висловлювання про властивості об'єктів і класи пов'язані наступним чином. Затвердження «властивість об'єкта а» еквівалентно висловом «функція фх, яка істинна при підстановці аргументу а» і вираженню «об'єкт а належить класу а».

Непарадоксальное обговорення класів у термінах пропозіціональних функцій вимагає виконання наступних умов: -

Кожна пропозіціональная функція повинна визначати клас, що складається з тих аргументів, які роблять її істинною. -

Дві формально еквівалентні функції повинні визначати один і той же клас, і дві формально нееквівалентні функції повинні визначати різні класи. -

Повинен бути визначений формальний спосіб позначення не тільки класів, а й класів класів, класів класів класів, ... Число, за визначенням, представляє клас класів. Багато математичні поняття мають аналогічну природу. -

Визнати повністю безглуздим (але не хибним) питання про те, чи може клас бути членом самого себе. -

Повинен існувати логічний формалізм, що дозволяє висловлюватися про всіх класах, що складаються з об'єктів одного логічного типу. t

Виконання перших двох умов гарантує, що кожне безліч формально еквівалентних пропозіціональних функцій визначає один і тільки один клас об'єктів, що виконують їх.

Tperte умова виконується введенням функцій нового виду всякий раз, коли потрібно узагальнити колишній клас функцій (коли потрібно зробити їх аргументами нової функції).

Четверта умова виключає парадокси, які виникають через те, може чи не може який-небудь клас бути своїм власним членом. П'ята умова еквівалентно введенню аксіоми редуціруеми-сти. Виконання всіх п'яти умов разом породжує теорію типів - головне відкриття Рассела.

Нехай фх позначає довільну пропозіціональному функцію з однією змінною х. З даної пропозициональной функції можна утворити дві нових, приєднавши до неї квантор загальності (х), читається для всіх х, або квантор існування (Ех \ читається для деяких (можливо для всіх) х. У першому випадку отримуємо нову функцію (х) фх, яку можна прочитати для всіх х істинно, що ф; фх істинна завжди. У другому отримуємо нову функцію (Ех) фх, яка читається для деяких (може бути і всіх) х істинно, що ф; фх істинна іноді. Пропозіціональние функції, які вживаються з кванторами загальності або існування (в даній формулюванні або більше спеціальної), представляють функції функцій (висловлювання про функції, висловлювання про висловлювання) і утворюють вихідні логічні фрейми, достатні для породження будь-яких висловлювань математики.

Залежність значення істинності пропозициональной функції від вибору аргументу прояснює логічну причину феномена, еквівалентного класу всіх нормальних класів: він виникає тоді, коли в число аргументів пропозициональной функції потрапляє вона сама або те, що з неї випливає. Нехай фх позначає довільну пропозіціональному функцію з однією змінною х. Тоді допустимі наступні підстановки замість х \ фа, фЬ, фс, .. де а, Ь, с, ... - об'єкти, що перетворюють функцію фх в істинне або хибне висловлювання. Але абсолютно неприпустимі підстановки виду ф (ФГ) ^ в яких як аргумент фігурує сама функція, а також підстановки виду ф (фа \ ф {фЬ), ф {фс \ ... Якщо є дві і більше нееквівалентні пропозіціональние функції, застосовні до одного і того ж аргументу, то тоді слід, що жодна з них не може бути аргументом для інших. Отже, значення пропозіціональних функцій повинні задаватися функціями, а не наоборот81.

Припустимо, універсум складається з трьох об'єктів: а = Сократ, b ~ Платон, с = Аристотель. Нехай пропозициональной функцією першого рівня буде фх = <сс - давньогрецький філософ ». Зазначені три об'єкти є її аргументами. Підставляючи їх послідовно у функцію фх> отримуємо три істинних висловлювання: фа ~« а - давньогрецький філософ », фЬ =« Ь - давньогрецький філософ »і фс =« с - давньогрецький філософ ». Підстановка об'єктів нульового типу в пропозіціональному функцію першого рівня перетворює останню в справжнє висловлювання. Але яке значення істинності можна приписати, наприклад, наступної підстановці: ф (фа) =« 'я - давньогрецький філософ' - давньогрецький філософ »? Вислів« Сократ - давньогрецький філософ »не є аргументом зазначеної функції, тобто його підстановка не перетворює її ні в істинне, ні помилкове твердження. Причина цього в тому, що висловлювання про давньогрецьких філософів і давньогрецькі філософи - об'єкти різного логічного типу. Отже, вислів «'а - давньогрецький філософ' - давньогрецький філософ» безглуздо і випадає з області істінностной оцінки.

Сказане про ієрархію об'єктів і функцій про ці об'єкти можна проілюструвати такою спрощеною схемою: 0.

Існують об'єкти універсуму, які не є класами, функціями або висловлюваннями: а, 6, с,.

Існують функції, що позначають властивості (класи) індивідів: ф \ х, ф \ х, ф \ х, ... Вони називаються функціями першого порядку і являють аргументи для функцій 2-го порядку. 2.

Опції, що позначають властивості властивостей (класи класів) індивідів: ф \ х, ф \ х, ф \ х, ... Вони називаються функціями другого порядку і представляють аргументи для функцій 3-го порядку.

п. Функції, що позначають властивості ... властивостей (класи ... класів)

індивідів: ф "х, фп2х, ф \ х Вони називаються функціями л-го

порядку і представляють аргументи для функцій п + 1 порядку.

Згідно з наведеною типології, жодна функція, якщо вона претендує на статус значущого (істинного або хибного) висловлювання, не може бути своїм власним аргументом; жоден клас не може бути своїм власним членом. Жодне висловлення не може бути своїм власним референтом. Якщо функція визначена на рівні п, її аргументами, крім індивідів, можуть бути функції не вище рівня п -1. Аналогічно д ля класів і висловлювань.

Звідси випливає, що необхідно розрізняти різні рівні організації універсуму - індивіди, їх властивості, властивості властивостей індивідів , ... «Таким чином, ми підійшли до того, щоб ввести ієрархію. Починаючи з терміна а та інших термінів, які можуть бути аргументами тих же функцій, що і для аргументу а, ми отримуємо функції, для яких термін а є можливим аргументом, потім функції, для яких дані функції самі є можливим аргументом і т. д. »58

Введення різних типів функцій робить безглуздими висловлювання виду« все (деякі) властивості об'єкта а »,« для всіх (деяких) властивостей об'єкта а », в яких квантори« все »« деякі »відносяться до аргументів функцій будь-якого типу. Жодна функція не може бути значимою на всіх рівнях, тобто бути функцією для аргументів усіх типів. Таке змішання не є логічною помилкою, але призводить до безглуздих висловлювань типу «те, що я зараз стверджую, хибно». Теорія типів дозволяє в якості осмислених лише висловлювання виду «все (деякі) властивості об'єкта а типу я», «для всіх (деяких) властивостей об'єкта а типу п ».

Можна припустити, що ієрархія типів нескінченна. Але, стверджує Рассел,« ми не досягаємо функцій нескінченного типу, тому що число аргументів і реальних змінних функції завжди звичайно. Оскільки сходження по типам функцій відбувається поступово, ніякого 'руху до межі' немає, і функції нескінченного рівня не входять в теорію типів ».59 75

Логіцизм

Але навіть якщо ієрархія типів конечна, залишається проблема ідентифікації тотожності значень істинності висловлювань, що належать різним рівням. Тотожні функції, до якого б рівню ієрархії типів вони не належали, повинні позначати одні й ті ж логічні об'єкти. Це допущення Рассел і Уайтхед називають аксіомою редуціруеми ^:

Два висловлювання, що мають одне і те ж розширення (один і той же обсяг, одне і те ж предметне значення), повинні бути тотожні на всіх рівнях ієрархії типів. ніє, яке я стверджую і яке хибно ». Це висловлювання являє аргумент пропозициональной функції «я стверджую р, і р хибно», де р позначає «я брешу». Припустимо, р - висловлювання п-то рівня. Але висловлювання, в яке р входить в якості змінної, відноситься вже до п + 1 рівня. Отже , якщо твердження про р істинно, то р хибне; а якщо твердження про р хибне, то р істинно. Суперечності немає, так як істиннісні оцінки висловлювання «я брешу» належать вищому рівню, ніж саме це висловлювання. Парадокс ісчезает60.

Інформація, релевантна "Теорія типів як спосіб виключення парадоксів "

1. § 1. Поняття злочину
   теорія кримінального права тим самим орієнтують на те, що зміст даного терміну включає в себе всі складові злочину. В результаті виникає , якщо так можна висловитися, гранично широке трактування смислового значення терміна "діяння", що охоплює зовнішню і внутрішню сторони злочину, об'єкт і суб'єкт. Але існує й інша, гранично вузьке трактування, яка виявив-'
   
2. 3 . Публічний договір і договір приєднання
   типові договори, положення і т. п.), тобто визначати їх утримання незалежно від волі сторін. Нарешті, відповідно до п. 3 ст. 426 ЦК споживач може через суд спонукати підприємця до укладення такого договору або передати на розгляд суду розбіжності за його окремими условіям1. Отже, щодо вибору контрагента та умов договору для підприємця тут виключається
   
3. Глава шоста. ФУНКЦІЇ І забезпечує їх СТРУКТУРНА ОРГАНІЗАЦІЯ ДЕРЖАВИ
   теорія також йде від попередньої методологічної вульгаризації і догматизації, враховує нові проблеми, але разом з тим зберігає і те позитивне, що було напрацьовано в цій галузі на попередньому етапі. Цінним виявилося насамперед саме поняття функції держави, її зміст і значення як однієї з важливих харак-теристик діяльної сторони держави. Дійсно, функціональний підхід
   
4. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
     теорія держави і права була б неповною, якби в ній не розглядалися деякі найбільш важливі теоретичні питання російської державності. Перш за все тому, що теоретична і методологічна частина юридичної науки - теорія дер-жави і права - тільки тоді буде мати соціальну цінність, якщо зможе правильно описати, об'єк-яснити, прогнозувати, і в деяких
   
5. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
     теорія держави. Предмет і методологія теорії права. Теорія права в системі суспільних наук. Загальна теорія права. Спеціальні теорії права. Теорія права і галузеві юридичні науки. Функції теорії права. У другій частині, присвяченій теорії права, розглядаються з урахуванням сучасного рівня юридичного знання функціонування та розвиток такого яскравого і складного соціального інституту, як
   
6. Глава дванадцята. ФОРМА ПРАВА
     теорія права. Справа в тому, що поряд з нормами права (соціальними правилами поведінки), які втілює, містить нормативно-правовий акт, існують і норми, що не мають правового (соціального) характеру і значення, проте вони також втілені, закріплені в письмовій та іншої документальній формі . Наприклад, в інструкціях, в яких визначаються правила поводження з електротехнікою, з побутовими
   
7. Глава чотирнадцята. СИСТЕМА І СТРУКТУРА ПРАВА
     теорія висуває в якості такого тип права, його прив'язку до соціально-економічному ладу, до типу го-державу. І треба відзначити, що право соціалістичного суспільства мало, мабуть, дійсно чітку системну характеристику. Державне право, цивільне право забезпечували одержавлення економіки, насамперед власності, розподільну систему - планування і управління
   
8. Глава шістнадцята. ПРАВОТВОРЧЕСТВО
     теорія права рушила в бік диференціації проблем об'єктивного в праві. Посилилися і уявлення про суб'єктивному в праві. Дійсно, об'єктивному в праві протистоїть суб'єктивне і праві, ко-гда результати право-творчого процесу не відповідають суспільним потребам, виявляються підсумком свавілля владних структур або навіть особистим свавіллям. Закони і цієї ситуації з'являються як
   
9. Соціально-психологічні проблеми.
     теорія реалізації трудової активності без тиску і примусу в ім'я досягнення організаційних цілей шляхом самоствердження і самореалізації особистості отримала назву «теорії мотивації». Виділяють такі мотиви успішної та ініціативної трудової діяльності: впевненість у завтрашньому дні; визнання; самостійність; право приймати рішення; участь в управлінні виробництвом. При цьому
   
10. контрольні роботи
      як розіпнувши людини »(Ф. Ніцше). Всі люди народжуються вільними і рівними. Вправа 4. Зробіть висновок шляхом перетворення. Всі студенти нашої групи є устигаючими. Жодна загарбницька війна не є справедливою. Всі волгоградські підприємства рентабельні. Вправа 5. Зробіть висновки шляхом звернення. Деякі вчені (і тільки вчені) академіки. Всі випускники МСІ - кваліфіковані
    
11. 2.2. Категорії діалектики.
      типів зв'язків. Система (від грец. Sistema - ціле, що складається з частин, з'єднання) - філософська категорія і загальнонаукове поняття, яке виражає сукупність елементів, що знаходяться у відносинах і зв'язках один з одним і з середовищем, утворюють певну цілісність, єдність. Типи систем дуже різноманітні: матеріальні і духовні, неорганічні і живі, механічні та органічні,
    
12. Частноправовая уніфікація у вигляді типових контрактів.
      теорія права визнає властивості творця права не тільки за державою-сувереном, а й за приватними учасниками комерційних відносин саме в рамках приватноправових відносин. Особливо яскраво це проявляється у Загальних праві: по-перше, в силу другорядної ролі права у вигляді закону і, по-друге, в силу визнання за зазначеними приватними учасниками комерційних відносин широкої автономії волі. Тому
    
13. 3.3. Частноправовая уніфікація і lex mercatoria
      теорія Жоржа Селла, що вважав, що окремі групи всередині суспільства створюють власні юридичні правила, тому міжнародна спільнота комерсантів також прагне створити юридичні правила для організації діяльності своєї спільності і укладених ними угод; теорія правового плюралізму Санті Романо, згідно з якою правові системи не є монолітними, а являють собою
    
14. 1. Поняття та правова природа третейського (арбітражного) угоди
      теорія договору. М., 2006. У юридичній літературі розвивається ідея і так званих приватних договорів. Під такими мається на увазі широке коло договорів, що укладаються приватними суб'єктами, але породжують при цьому не тільки цивільні права та обов'язки (див.: Пугинський Б.І. Приватний договір в науковій картині світу / / Джерела російського права: питання теорії та історії / Відп. Ред . М.Н.