|
Рассел повністю згоден з визначенням натурального числа, даними Фреге. Поняття числа може бути характеристикою тільки чисел, а не речей. Безліч, що містить певне число об'єктів - приклад окремого, конкретного числа, але не поняття числа. Трійка людей - приклад числа три, число три - приклад конкретного натурального числа, але трійка людей не є прикладом натурального числа. Конкретне число не ідентичне тому безлічі, елементи якого воно позначає. Число три не ідентичне трійці людей, що складається з Брауна, Джонса і Робінсона. Це число ідентично з тим властивістю, яке об'єднує всі трьохелементні безлічі в один загальний клас і відрізняє його від всіх інших подібних класів. З цих міркувань випливає, що всяке натуральне число є числом певного класу, характеристики якого пояснюють всі його властивості. Визначення натурального числа в термінах класів нічим принципово не відрізняється від аналогічного визначення Фреге75. Кількість класу - клас всіх тих класів, які подібні йому (перебувають з ним у відношенні взаємно однозначної відповідності). Натуральне число є все, що є числом деякого класу. Виконання даного відношення гарантує, що всі класи, що належать числу класу, еквівалентні один одному. Загальна дефініція натурального числа відкриває Расселу можливість логічно переінтерпретіровать аксіоми Пеано. Останні включають три вихідних терміну - «натуральне число», «число 0», «число, наступне за» - і наступні п'ять аксіом: П1.
О - натуральне число.П2. Натуральне число, наступне за будь-яким натуральним числом, є натуральне число. ПЗ. Ні за якими двома різними натуральними числами не слід одне і те ж натуральне число. П4. О не слід ні за одним натуральним числом. П5. Будь-яке властивість, яка належить 0 і натуральному числу, наступного за кожним натуральним числом, належить усім натуральним числам (аксіома математичної індукції). Кількість 0 є число класу, в якому немає жодного елемента, тобто воно - число порожнього класу, нуль-клас. Отже, згідно загальним визначенням числа, число елементів порожнього класу одно безлічі всіх класів, подібних пустому класу. Натуральне число 0 - клас, чиїм єдиним елементом є нуль-клас. Підкреслимо, що обсяг числа 0 НЕ дорівнює обсягу порожнього класу. Останній не містить жодного елемента, тоді як обсяг числа 0 містить рівно один елемент, саме нуль-клас. Поняття «число, наступне за» визначається так. Нехай а - клас, що містить п елементів і нехай х - клас, який не входить до а. Очевидно, що сума класів а і х визначає число п + 1. Кількість, наступне за числом класу а, є числом класу аих, в якому х - клас, що не належить а. Аксіоми Пеано, доводить Рассел, отримують логічне виправдання тільки в разі допущення нескінченної низки натуральних чисел. «Допустивши, що число індивідів в універсумі не кінцева, ми досягли успіху не тільки у визначенні трьох вихідних понять Пеано, але також в доказі всіх його п'яти аксіом за допомогою чисто логічних засобів. І оскільки вся чиста математика виведена з теорії натуральних чисел, випливає, що вся чиста математика є лише продовження логіки »56.
Всі інші види чисел визначаються у вигляді відносин між натуральними числами.Розглянемо для прикладу визначення позитивних, негативних і раціональних дрібних чисел. Припустимо, т є деяке натуральне число більше нуля. Позитивне число + т представляє відношення (взаємно однозначної відповідності) п + т до числа п. Відповідно негативне число-т представляє зворотне відношення п до числа п + т. Дріб т / п представляє відношення між двома натуральними числами х і у, коли справедливо рівність хп-ут. З цього випливає, що якщо т або п не рівні нулю, то т / п - пряме відношення (взаємно однозначної відповідності), а дріб л / т - зворотне відношення. Дріб т / 1 - відношення між числами х і у, якщо виконується рівність х = ут. Але як + т,-т, так і т / 1 не слід ототожнювати з числом т, тому що натуральне число як клас класів і позитивні, негативні та інші види чисел як різні види відносин натуральних чисел - об'єкти різного логічного статусу, або тіпа57. « Попередня
|