Філософія метаматематики Гільберта

Д. Гільберт. Обгрунтування математики

Філософські принципи метаматематики Гільберта

Згідно Гильберту, створення Кантором теорії трансфінітних чисел привело до того, що «[актуально] нескінченне було віз-ведено на трон і насолоджувалося часом свого вищого тріумфу. Нескінченне у своєму зухвалому польоті досягло запаморочливої висоти успіху »101. Правда, реакція на це відкриття не змусила себе чекати. «На радощах з приводу нових багатих результатів стали явним чином недостатньо критично ставитися до законності умовиводів; тому вже при простому освіту понять і застосуванні умовиводів, поступово стали звичайними, виявилися протиріччя, спочатку поодинокі, а потім все більш різкі і все більш серйозні: так звані парадокси теорії множин »102.

Як вихід з критичної ситуації Гільберт міг або відмовитися від теорії множин Кантора, або знайти задовільний способГ докази її несуперечливості. Гільберт не міг прийняти перших можливість, тому що надзвичайно високо цінував теорію Кантора, назвавши її «заслуговуючим подиву квіткою математичного духу». Проте головною причиною було те, що вона служила підставою провідних розділів математики. Відмова від теорії множин означав би фактично руйнування з таким великим трудом побудованого будинку всієї математики. Гільберт ніяк не міг з цим погодитися і вибрав другу можливість.

Парадокси теорії множин Кантора свідчили про те, що не можна механічно переносити методи, які довели свою успішність в кінцевій області математичних об'єктів, на нескінченні області. Була потрібна нова теорія докази, застосовна в нескінченній області з такою ж ступенем надійності, як і в кінцевій. Нескінченне повинно аналізуватися тими ж методами, що і кінцеве. У цьому полягала суть рішення, що розробляється Гильбертом. «Але існує цілком задовільний шлях, по якому можна уникнути парадоксів, не змінюючи при цьому нашій науці. Ті точки зору, які служать для відкриття цього шляху, і ті побажання, які вказують нам напрямок, суть наступні: 1. Ми будемо дбайливо стежити за плідними способами утворення понять і методами умовиводів скрізь, де є-ється хоча б найменша надія, будемо доглядати за ними, підтримувати їх, робити їх придатними до використання. Ніхто не може вигнати нас з раю, який створив нам Кантор.

2. Треба всюди встановити ту ж надійність висновків, яка мається на звичайної, нижчої теорії чисел, в якій ніхто не сумнівається і де виникають протиріччя і парадок-

~ 141

си тільки внаслідок нашої неуважності ».

Обгрунтування сумісності актуальної нескінченності, математичною моделлю якої була теорія трансфінітних чисел Кантора, з кінцевими розділами і методами математики стала провідним мотивом нової програми обгрунтування математики, названої формалізмом (теорією докази, метаматематиці).

Сказати, що деяка система (не тільки математичних) висловлювань несуперечлива, означає сказати, що вона не містить двох висловлювань, одне з яких є логічним запереченням іншого. Якщо Р є деяка висловлювання, що виводиться з формальної системи S, а ~ ЛР - логічне заперечення Р, то S несуперечлива, якщо і тільки якщо з неї не виведена кон'юнкція Р &.

Якщо досліджувана система містить невелику кількість висловлювань, то її несуперечливість встановлюється за допомогою прямого зіставлення кожного висловлювання з усіма іншими. Якщо виявиться, що не існує жодної пари висловлювань виду Р & ~ ІР, то система несуперечлива. В іншому випадку, тобто якщо існує хоча б одна така пара, система суперечлива. Але така безпосередня перевірка незручна або просто неможлива, якщо система містить дуже велике число висловлювань або якщо вони представляють приховані слідства аксіом системи. У цьому випадку необхідний більш ефективний метод перевірки систем висловлювань на несуперечливість.

Несуперечність теорій доводилася і до того, як Гільберт почав свої дослідження в області обгрунтування математики. Якщо досліджувана область об'єктів була конечна, то для аксіом що доводиться теорії шукали підходящу модель, тобто систему об'єктів, що задовольняє цим аксіомам. Наприклад, аксіомам Пеано, як показав Рассел, задовольняє не тільки система натуральних чисел, але і нескінченна безліч систем інших об'ектов103. У цьому випадку несуперечливість теорії, для якої будується модель, обумовлена непротиворечивостью теорії, модель якої вибирається для перевірки. Виникає ставлення редукції: проблема, поставлена для однієї теорії, зводиться до аналогічної проблеми для іншої. Арифметика і теорія множин до виникнення парадоксів на рубежі XIX-XX ст. якраз і розглядалися в якості кінцевих моделей, що дозволяють встановити несуперечливість будь-якої математичної теорії більш високого порядку. «Всюди, де застосовується аксіоматичний метод, постає питання про доказ несуперечності аксіом. В геометрії і в фізичних теоріях вдалося звести цей доказ до питання про несуперечність аксіом арифметики. Цей метод, очевидно, не застосовний до самої арифметиці »104. Таким чином, залишилося вирішити останнє питання - як довести несуперечність арифметики і теорії множин, якщо область досліджуваних об'єктів нескінченний? Адже запровадження нескінченності саме по собі представляє абстрактне припущення, що вимагає спеціального обгрунтування. Вирішення цієї проблеми, назване прямим доказам несуперечності, дав Гільберт.

Основна ідея Гільберта проста. Щоб не бути залежною від абстракції нескінченності у своїй підставі, математика повинна будуватися з допущенням існування кінцевих систем об'єктів і використовувати змістовні, виключають судження про нескінченність, міркування. Які б досліди і спостереження ні проводилися, в природі існування нескінченного виявити не можна. Нескінченність - ідеальний конструкт, абстракція (інтерполяція або екстраполяція) дуже великих і дуже малих величин, винахід нашого розуму, але не більше. «Хіба не ясно, що коли ми, як нам здається, в якомусь сенсі пізнаємо реальність нескінченного, насправді ми лише дозволяємо собі спокуситися жахливо великими і жахливо малими розмірами, які так часто зустрічаються в дійсності» 105. Значить, нескінченне, якщо ма-тематик не хоче зробити помилку, має бути виключено з посилок його міркувань про підстави математики. Адже змістовні умовиводи про дійсних речах і процесах ніколи не обманювали людини, якщо не застосовувалися довільні способи утворення понять. Змістовний характер математики відстоювали багато філософів, в тому числі і Кант. «Вже Кант вчив - і це становить істотну частину його вчення, - що математика має незалежних від будь-якої логіки стійким змістом, і тому вона ніколи не може бути обгрунтована тільки за допомогою логіки, внаслідок чого, між іншим, прагнення Дедекинда і Фреге повинні були зазнати крах »145.

З аналізу яких саме об'єктів слід починати обгрунтування математики? Гільберт відповідає - з аналізу елементарних знаків. Вони кінцеві, наочні, легко розпізнаються, не потребують зведенні до чого-небудь більш простому. Самі по собі знаки не мають ніякого сенсу. Їх сенс конвенціален, задається правилами вживання. Знання властивостей знаків і відносин, в яких вони знаходяться, виникає інтуїтивно. З знаків математик конструює за певними правилами формули, що символізують його міркування. У підсумку будь математичний текст можна представити у вигляді доступною швидкої перевірки сукупності формул.

Подібна формалізація не просто заміщає думки послідовностями знаків, вона зводить до мінімуму початкові елементи математичних міркувань, запобігає появі протиріч і робить легко доступній для огляду структуру докази. «.. . У нашому уявленні вже повинно бути дано щось, а саме певні внелогіческіе конкретні об'єкти, які існують наочно, в якості безпосередніх переживань до якого б то не було мислення ... Це - та філософська установка, яку я вважаю необхідною як для математики, так і для всякого наукового мислення, розуміння і повідомлення. Зокрема, в математиці предметом нашого розгляду є самі конкретні знаки, вид яких згідно нашій установці може бути безпосередньо чітко і багаторазово пізнаний. Це - найменша кількість припущень, без яких жоден науковий мислитель не може обійтися і які тому кожен, свідомо чи несвідомо, повинен дотримуватися »'46. Дана вимога Гільберта прийнято називати допущенням финитности (фінітного способу міркувань).

Допущення финитности дозволило Гильберту по-новому сформулювати проблему актуальної нескінченності. Така нескінченність не дана нам ні в досвіді, ні в інтуїції. Вона не є атрибутом реальності. Значить, проблема завершеною нескінченності - виключно внутріматематіческіе проблема і повинна вирішуватися математичними засобами. «В результаті цих роздумів ми приходимо до розуміння того факту, що питання про існування якого-небудь нескінченного різноманіття не може бути дозволений за допомогою вказівки будь-яких внематематіческіх об'єктів, а має вирішуватися всередині самої математики» 106.

За задумом Гільберта допущення финитности повинно було звести всі міркування про актуально нескінченних числах, множинах і числових послідовностях до кінцевих перетворенням знаків або формул; забезпечити максимальну надійність математичних доказів за рахунок обмеження їх кінцевими процедурами. «Ми повинні нескінченне, в сенсі нескінченної сукупності ... розуміти як щось позірна ... І подібно до того як дії з нескінченно малими були замінені процесами в кінцевому, які дають ті ж результати і приводять до тих же витонченим формальним співвідношенням, висновки, що містять нескінченне, повинні бути взагалі замінені кінцевими процесами,

14К

дають в точності ті ж самі результати ». Допущення финитности обгрунтовує принципове рішення проблеми законності системи аксіом математичної теорії в разі нескінченної області її об'єктів. Оскільки дослідження такої області з метою перевірки здійсненності аксіом стає безглуздим, то єдиний вихід у цій ситуації полягає в доказі неможливості виникнення протиріччя при припущенні, що теорія істинна.

Інформація, релевантна " Філософія метаматематики Гільберта "

1. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
   Науковість позитивної теоретичної метафізики обумовлена не тільки реальним існуванням об'єктів, які вона описує. У ній є ефективна процедура обгрунтування необхідної істинності вихідних принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів,
   
2. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
   Є.Г. Плотникова, доктор педагогічних наук У процесі наукового пізнання, спрямованого на досягнення нових знань, виявляються загальні закономірності природи і характеру наукової діяльності, спеціальним вивченням яких займається методологія науки, тобто вчення про принципи побудови, форми, способи наукового пізнання та практичної перетворюючої діяльності. Методологія здійснює
   
3. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
   . Проти цієї тези можна сформулювати такі типи аргументації. А. Аргументація від здорового глузду. Ймовірно, тільки живі істоти, що не мають другої сигнальної системи - мови, - такі, як риби, миші, ящірки та інші тварини, живуть у світі твердого, сухого, гарячого, холодного і т.д., тобто живуть лише у світі емпіричних предметів, а людина вже в звичайному житті визнає
   
4. П Р І М Е Ч А Н І Я
     Поппер К. Логіка і зростання наукового знання / Пер. з англ. М.: Прогресс, 1983. 1 Дубровський Д.І. Загадкові явища психіки в дзеркалі філософської публіцистики / / Філософські науки. 1987. № 10. 2 Войшвилло Є.К. Поняття як форма мислення. М.: Изд-во МГУ, 1989. 3 Різниця введено Є.К. Войшвилло (Поняття. М.: Изд-во МГУ, 1967). 4 Див: Войшвилло Є.К. Поняття як форма мислення. С. 92. 5 Там
   
5. Форми наукового пізнання.
     Далі ми зупинимося на основних формах, в яких представлено і організовано наукове і технічне знання. Серед них - факт, гіпотеза, закон, принцип, теорія. Факти утворюють живу тканину будь-якого знання. У науці і техніці - вони повітря, яким дихає вчений, дослідник. Але факти ще треба добути, описавши їх на мові теорії, передати їх зміст і оформити у вигляді істинних суджень. Суб'єкт
   
6. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
     Абрагам Макс - 246. Августин св. - 212-124. Аквінський Фома-74. 82, 84. 92, 172, 180, 517; критерії прийняття принципу - 75, 76; для. нижчого типу істини-227, 268; і теорія епіциклів - 82; нерухомий двигун - 176. Амальді Умберто - 162. Анакреон - 90. Аналогія - 62-65; аналогією повсякденного здорового глузду і сучасна фізика -366-369; інтелігібельний характер 'закону інерції -
   
7. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
     На початку 20-х рр.. XX в. німецький математик Давид Гільберт (1862-1943), підштовхуваний власними дослідженнями, а також суперечками з логицистами і інтуіціоністи, запропонував нову програму обгрунтування класичної математики, що отримала назву програма Гільберта. Інші назви цієї програми, прийняті в літературі, - теорія докази, метаматематика. Її метою були формалізація всій
   
8. 1.Поіск в галузі методології
     Зміни, що відбуваються в світі і в нашій країні, політичні пристрасті і турботи повсякденного буття не тільки не послабили інтерес до історії, а навпаки, призвели до ще більш гострого сприйняття минулого. Це закономірно. На початку XX в. Н.А. Бердяєв зазначав, що «історичні катастрофи і переломи ... завжди мали у своєму розпорядженні до роздумів в області філософії історії, до спроб осмислити історичний
   
9. Петро Великий
     Суперечки про особистості та діяльності Петра I так само, як і суперечки про особистості та діяльності Івана IV, почали вже сучасники. Автором цілого ряду історичних та історико-філософських трактатів стали сподвижники імператора Ф. Прокопович, П. Шафіров, А. Манкієв та ін Феофан Прокопович був помітним політичним діячем, одним із засновників Синоду, яскравим публіцистом. Такі його роботи, як «Слово про
   
10. 1. Національний характер
      До недавнього часу в історичній, філософській і взагалі в гуманітарній науці проблема національного характеру не ставилася. У радянський час панувала ідея інтернаціоналізму, а в застійний період - теорія нової історичної спільності, об'єднаній поняттям «радянський народ». Такий ідеологічний підхід передбачав пошуки уніфікує тенденцій у житті населення СРСР на противагу
    
11. 2.Самодержавіе і самодержці
      Дореволюційним історикам писати про царів, імператорів було складно не тільки в силу того, що самодержавство було фактором реальної дійсності, але і з суб'єктивної точки зору - теж, т. к. вільно чи мимоволі вони перебували в рамках загальних уявлень того часу і про самодержця, і про самодержавство. Самодержавство тоді не могло ще бути предметом наукового аналізу, для цього воно повинно було
    
12. Олександр I
      Імператор Олександр I (1777-1825) жив і царював в складне, суперечливе і багато в чому - в переломний для доль світу час. Нелегким було і становище Росії. Волею Провидіння вона опинилася в непростому внутрішньому і міжнародному становищі. В особистості і долі Олександра I переплелися гучні події, передові і реакційні ідеї, надії і розчарування російського народу. Ким же була ця людина,
    
13. Микола II
      З усіх імператорів XIX століття Микола II (1868-1918), ймовірно, найменше відповідав ролі керівника великої Росії. Особу його мало підходила для складного часу рубежу XIX-XX ст., Часу соціальних, революційних і міжнародних бур. Зріст (1,7 м) і фігура Миколи II були далеко не царствені і набагато менш вражаючі, ніж у всіх попередніх імператорів. Зовні він справляв
    
14. 5. Декабристи
      Зазвичай історія революційного руху починалася з декабристів і це, ймовірно, правильно. Однак рух декабристів, як вже зазначалося вище, не можна зводити тільки до революційності. За своїм змістом воно було набагато ширше. Тут поєдналися різні погляди, групи з різними ідейними установками та інтересами, по-різному розуміють цілі, завдання руху та шляхи їх досягнення. Права