Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Свєтлов Віктор Олександрович. Філософія математики. Основні програми обгрунтування математики XX століття: Навчальний посібник. - М.: КомКнига. - 208 с., 2006 - перейти до змісту підручника

Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем

На початку 20-х рр.. XX в. німецький математик Давид Гільберт (1862-1943), підштовхуваний власними дослідженнями, а також суперечками з логицистами і інтуіціоністи, запропонував нову програму обгрунтування класичної математики, що отримала назву програма Гільберта. Інші назви цієї програми, прийняті в літературі, - теорія докази, метаматематика. Її метою були формалізація всієї математики в аксіоматичної формі і доказ певними «фінітними» методами, що отримана аксиоматизация несуперечлива. Крім Гільберта, в розробці програми в різний час при-нітрохи активну участь такі логіки і математики, як В. Аккер-ман, П. Бернайс, Г. Генцен, Дж. фон Нейман і Ж. Ербран. Програма Гільберта включає наступні тези: -

Ні класична, ні логіцістская, ні интуиционистская програми обгрунтування математики не запропонували критерію, що обгрунтовує всю математику. Таким критерієм може бути тільки її несуперечливість. Поки не буде розроблений метод доказу несуперечності всієї математики, суперечки в цій області знання ніколи не припиняться. -

Новий метод повинен бути формально аксіоматичним, бо змістовна аксіоматика апелює до інтуїтивної або дослідної очевидності аксіом.

Формальна аксіоматика теж потребує очевидності, але особливого роду, властивої не окремої конкретної галузі математичної науки, а всієї математики в цілому. -

Кожна теорія - спрощує ідеалізація, екстраполюється свої базисні поняття за межі готівки даних досвіду. Тому для встановлення несуперечності теорії недостатньо посилання на її сумісність з наявними даними. Необхідно мати впевненість, що теорія несуперечлива для всіх об'єктів відповідного виду. -

Несуперечність математики не може бути встановлена ??загальноприйнятим методом інтерпретації її основних об'єктів за допомогою чисел і числових систем, а основні відносини між ними - за допомогою рівностей і нерівностей. Те, що годиться для доказу несуперечності, припустимо, геометрії, не може бути перенесено на всю математику. Бо в цьому випадку постає питання про несуперечності тієї математичної теорії - арифметики чи аналізу, за допомогою яких доводиться несуперечливість всіх інших частин математики. -

Несуперечність всієї математики не може бути дедуціровать з аксіом логіки або даних інтуїції. Всі спроби вивести математику з логіки виявилися неспроможні, тому що засновані на проблематичному уявленні про натуральному ряді чисел як завершеної сукупності.

Ще більш проблематичними через очевидного суб'єктивізму виглядають спроби обгрунтувати несуперечливість математики на апріорної інтуїції часу. -

Доказ несуперечності всієї математики складається з двох етапів. На першому формалізується базис математики - теорія множин, арифметика і аналіз, тобто будується формальна система, з аксіом якої за допомогою чітко визначених правил виводяться всі теореми, які стосуються переліченим розділах. Система повинна бути формалізованою до такої міри, щоб до уваги бралися тільки вид і порядок символів і нічого більше. -

На другому етапі доводиться, що застосування правил виведення до аксіом побудованої формальної системи ніколи не зможе привести до протиріччя виду 1 * 1. У побудованій формальній системі неприпустимі не тільки протиріччя, але і застосування закону виключеного третього до нескінченних совокупностям об'єктів, екзистенційні затвердження на підставі хибності загальних тверджень, а також непредикативні визначення, -

Формалізований варіант класичної математики повинен бути вільний від обмежень, які намагалися на неї накласти інтуіціоністи.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем "
  1. Теоретичні методи.
    Програми поведінки системи, міняю-щейся або постійною. Багато авторів нерідко ототожнюють поняття структури та організації. Зауважимо, що внутрішня форма системи - це її каркас і опора. Існує різноманіття видів систем: 1) за формою - це централістами-ські і Ацентріческіе (зоряні), 2) за природою - матеріальні та ідеальні, включаючи інформаційні; біокосні і живі; природні та
  2. Глава шоста. ФУНКЦІЇ І забезпечує їх СТРУКТУРНА ОРГАНІЗАЦІЯ ДЕРЖАВИ
    програм підтримки охорони здоров'я, соціального забезпечення непрацездатних, захист прав і свобод громадян та багато іншого. Найбільш мінливими, жорстко прив'язаними до соціального призначенням і формою конкретної держави є класові функції держави. Класову боротьбу в суспільстві виділяв ще Платон. Він же прив'язував до її різним формам, ступеня впертістю або, навпаки
  3. ЗМІНА ФОРМ ДІАГНОСТИКИ ТА ОЦІНКИ ОСВІТНІХ РЕЗУЛЬТАТІВ ШКОЛЯРІВ
    програм; учням будуть заздалегідь пред'являтися «відкриті» вимоги до оцінюванню виконуваних ними завдань та критерії оцінювання; в зміст навчання будуть включені методи самоконтролю і самооцінювання старшокласником своїх результатів за критеріями, виробленим спільно з учителем і іншими учнями; процедури поточної та підсумкової атестації будуть адекватними технології єдиного
  4. Форми наукового пізнання.
    Програмою і парадигмою (тобто особливим кутом зору на проблеми деякої предметної області), фундаментальними поняттями, гіпотезами та законами підводять нас до можливості розгорнути наукову теорію. Наукова теорія. Під науковою теорією якраз і розуміють систему тверджень про об'єкти, пов'язаних відносинами виводимості і залежності. Наукова теорія - це не тільки форма знання і пізнання. В
  5. Поняття вікової неосудності.
    Програм виправлення таких підлітків без ізоляції від суспільства. Слова "не повною мірою" у формулюванні ст. 20.3 КК РФ вказують на специфічний ознака вікової неосудності. Походження терміну "вікова" в теорії кримінального права пояснюється тим, що неосудність неповнолітніх, пов'язана з відставанням у психічному розвитку, регулюється ст. 20 КК РФ, яка іменується "вік,
  6. § 4. Теорії складу злочину як єдиної підстави кримінальної відповідальності
    програмувати про цес застосування кримінально-правової норми, чітко визначивши юриди ческие факти і юридичні наслідки »(В. М. Коган. До питання про формалізацію галузі права. - В зб.: Питання кібернетики і право. Вид-во« Наука », 1967). З такою постановкою питання согла сіться не можна. Слабкість своєї позиції визнає і сам автор, констатуючи той факт, що кримінально-правової формалізм чреватий
  7. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
    програмних положеннях багатьох політичних об'єднань і рухів такі формули , як «державність», «соборність», «націонал-патріотизм», «державник», «євро-азійство», і тому подібні займають велике, а часом і ключове місце. Всі ці формули, що прийшли з динаміки, з історії Російської держави , також потребують наукового розкритті та науковій оцінці. Поняття державності. Ось
  8. Глава десята. ПРАВО В СИСТЕМІ СОЦІАЛЬНИХ РЕГУЛЯТОРІВ
    програми) до синергетичних (атракторів, біфуркації). З приводу аттракторов треба зробити кілька зауважень. Так в синергетики позначаються фактори, які притягують, формують навколо себе більш-менш однорідні стану, групи явищ, причому відбувається це на самоорганізаційної основі, мимовільно. Процеси ці виникають у всіх середовищах - соціальної, фізичної, біологічної .
  9. РОЗУМІННЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ ЯК СВІДОМОГО ДОСВІДУ Розумова діяльність
    програми, що працюють з трансцендентальним свідомістю, виявилися дуже плідними. Вони дозволили виявити умови "чистого" пізнання і розробки евристичних установок , необхідних для виробництва загальнозначущого знання. Абстракція трансцендентального «Я» при «зануренні» суб'єкта в глибинні, сутнісні шари реальності, де виявляються безпорадними установки наївного реалізму, рятує
  10. МЕТОДОЛОГІЧНІ ПОЯСНЕННЯ
    програм в міжнародно-зіставний набір категорій для визначення ступенів (рівнів) освіти. Сходинки освіти за МСКО 1997 Назва щаблі по МСКО 1997 Еквівалент в російській системі освіти МСКО 0 - ДОПЕРВІЧНОЕ ОСВІТА Початкова стадія організованого навчання, призначена насамперед, щоб підготувати маленьких дітей до навчання в умовах школи МСКО 1
  11. 5.2. Державні витрати на освіту
    програм в міжнародно порівнянний набір категорій для визначення ступенів (рівнів) освіти. Ступени освіти згідно МСКО 1997р.: Назва щаблі по МСКО 1997р. Еквівалент в Російській системі освіти МСКО 0 - Дошкільна освіта - Початкова стадія організованого навчання призначена насамперед, щоб підготувати маленьких дітей до навчання в умовах школи
  12. ЗМІНА Зміст освітньої ПРОЦЕСУ
    програми і підручники або за рахунок заміни одних відомостей іншими. На думку багатьох дослідників, цінність змісту шкільної освіти для учнів можна підвищити, якщо його результати будуть забезпечувати можливість вирішення значущих для них проблем. Охарактеризуємо зміна змісту освіти в логіці задачного підходу. У загальному вигляді задача складається з інформаційного блоку і
  13. ЗМІНА ТЕХНОЛОГІЙ І СПОСОБІВ Взаємодія СУБ'ЄКТІВ ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ
    програміст + фахівець в галузі інформаційних технологій + лаборант, який готує роздаткові матеріали та підтримуючий в робочому стані необхідні технічні засоби). Критеріями відбору технологій виступають: інтерактивність, діяльнісний характер, спрямованість на підтримку індивідуального розвитку дитини, надання йому необхідного простору свободи для прийняття
  14. § 2. Політичні та суспільно-демократичні процеси розвитку країни
    програм соціально-економічного розвитку країни, виборі пріоритетних напрямків і засобів їх виконання. Одночасно активізувалася діяльність Рад, профспілок, комсомолу в напрямку розвитку самостійності та ініціативи. Після XX з'їзду колишнє сталінське оточення - В.М. Молотов, Л. Каганович, Г.М. Маленков зайняли антагоністичну позицію стосовно Н.С. Хрущову і
  15. 1.3. «Новая» політична географія: витоки, проблематика, теорія
    програми соціал-демократів. Для нормального функціонування та забезпечення масової підтримки держава перерозподіляє між соціальними групами значну частину національного доходу. Природно, продовжує Тейлор, великий ефект від цього може бути досягнутий лише в країнах, що знаходяться на досить високому рівні економічного розвитку, тобто в країнах світового «ядра *. У країнах