Формалізм. Математика як створення формально несуперечливих конструкцій

Треба погодитися, що стан, в якому ми знаходимося зараз відносно парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте; в математиці - цьому зразку достовірності та істинності - утворення понять і хід умовиводів, як їх всякий вивчає, викладає і застосовує; призводять до безглуздостей. Де ж шукати надійність і істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку?

Д. Гільберт. Про нескінченному

Формалізм як особлива програма обгрунтування математики пов'язаний з іншою історичною традицією думки, ніж логіцизм і інтуіціонізм (конструктивізм). Лейбніц шукав джерело самоочевидності математичних тверджень в логічних відносинах між судженнями і поняттями. Кант бачив таке джерело в апріорних формах чуттєвого споглядання. Якщо Лейбніц по праву вважається основоположником логіцізма, то Кант волею долі став основоположником одразу двох напрямків в обгрунтуванні математики - інтуїционізма (конструктивізму) і формалізму, Кант вважав, що хоча математичні теореми і слідують з аксіом згідно законам логіки, самі вони не є принципами логіки або результатом їх практичного застосування.

Гільберт прийняв загальний напрямок обгрунтування математики Канта. Математика, за його поданням, не може бути заснована тільки на логіці. До всяких логічних висновків у нашому спогляданні вже повинні бути присутніми конкретні внелогіческіе об'єкти. Щоб логічні висновки були надійними, число цих об'єктів має бути звичайно, вони повинні бути доступними для огляду у всіх своїх частинах і представимо в нашому спогляданні. Їх існування, відмінність і проходження один за одним повинні бути інтуїтивно очевидними настільки, що всяке зведення їх до чогось ще більш простому стає зайвим.

Як Кант, а потім і Брауер, Гільберт вважає, що якщо математика буде обмежена описом логічних зв'язків об'єктів зазначеного виду, тоді ніякі парадокси в ній будуть неможливі.

Інформація, релевантна " Формалізм. Математика як створення формально несуперечливих конструкцій "

1. Теоретичні методи.
   Формалізмів. Це допомагає успішніше вирішувати різні пізнавальні, проектувальні, конструкторські та ін завдання. Зі сказаного вже видно, що формалізація пов'язана з моделюванням, вона пов'язана також з абстрагуванням, ідеалізацією та іншими методами. По відношенню до моделювання вона носить допоміжний характер. Абстрагування і ідеалізація, навпаки, - передумови для формалізації.
   
2. 5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
   формалізму. Аналогічним чином, очевидно, буде ситуація справу і в позитивній теоретичної метафізиці з тією лише різницею, що в ній віра має місце лише до тих пір, поки не доведена несуперечливість мислимих в метафізиці сутностей. Але як тільки досягнуто усвідомлення несуперечності мислимих в позитивній теоретичної метафізиці надчуттєвих сутностей, то віра поступається місцем
   
3. Філософія метаматематики Гільберта
   формалізмом (теорією докази, метаматематиці). Сказати, що деяка система (не тільки математичних) висловлювань несуперечлива, означає сказати, що вона не містить двох висловлювань, одне з яких є логічним запереченням іншого. Якщо Р є деяка висловлювання, що виводиться з формальної системи S, а ~ ЛР - логічне заперечення Р, то S несуперечлива, якщо і тільки
   
4. фінітними обгрунтування математики
   формалізм, який виходить з елементарного обчислення з вільними змінними в результаті застосування до нього е-формули ... повністю включає в себе всі числення предикатів в цілому »110. Крім того, є-аксіома «містить ... ядро так званої аксіоми довільного вибору »111. За допомогою даної аксіоми Гільберта доводить, що квантори і вирази з е-оператором завжди можуть бути
   
5. Інтуїционістськая математика
   формалізмах для конструювання своїх об'єктів. Інтуїционістському витлумачений ряд натуральних чисел незалежний від будь-яких логічних припущень. Інтуїционістськая концепція континууму представляє поширення ідеї вільних актів вибору на безліч дійсних чісел77. Головна проблема для Брауера полягала в тому, щоб поєднати ідею вільно що стає послідовності,
   
6. Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера
   формалізму (до якої Брауер зараховує і логіцизм). Йнтуіціоністи визнають як джерело точності математики людський інтелект, формалісти - папір. «У філософії Канта ми знаходимо стару форму інтуїционізма, нині майже відкинуту, в якій час і простір вважаються апріорними формами чуттєвості, природженими людському розуму. Для Канта аксіоми арифметики і геометрії -
   
7. Глава шоста. ФУНКЦІЇ І забезпечує їх СТРУКТУРНА ОРГАНІЗАЦІЯ ДЕРЖАВИ
   формалізм, тяганина, кар'єризм, прагнення-ня до особистої вигоди, корумпованість і черствість, байдужість до людей і їх потреб. Для подолання цих негативних явищ використовуються демократичні методи і стиль роботи, поні-травнем не як абстрактна ідея, а як ціла система спеціально розроблених і реально діючих заходів і механізмів, покликаних приборкати, стримати бюрократизацію. Таким
   
8. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
   як право. При цьому головна увага приділяється закономірного і випадковому в праві, основним правовим системам, іншим головним характеристикам права в цілому як соціального інституту. Походження ж права було розглянуто в главі третій цієї книги. Тривалий час на попередньому етапі вітчизняної юридичної думки право розглядалося в нерозривній єдності з державою як продукт і
   
9. Глава сімнадцята. РЕАЛІЗАЦІЯ ПРАВА
   формалізму, часом демагогічного прикриття фактичного свавілля, незахищеності, особливо у сфері прав і свобод людини, до яскравого, іноді жорсткого, конституційному прямодействующім - такий стає основна характеристика нового етапу. Але на жаль, це ще й нове поле соціальної боротьби. Бо пряму дію Конституції означає за великим історичним рахунком формування фундаменту
   
10. § 3 Метафізичні аспекти проблеми сенсу життя людини
    математики. І та, й інша мають нелокалізованний об'єкт дослідження, тобто весь Універсум. Тільки математика цікавиться більше його кількісно-просторовими аспектами, а філософія - якісно тимчасовими (такий поділ, звичайно, умовно). Так само як і в математиці до основних питань філософії відноситься питання про співвідношення (збігу-розбіжності) специфічних
    
11. 2. ЦЕЙ НОВИЙ ДРЕВНІЙ СВІТ
    математики, в цілеспрямованій організації і навіть прямому провокуванні фінансово-економічних пертурбацій ... В результаті в смисловому полі світової економіки, поряд з настільки значущими для неї реаліями світової резервної валюти і глобального боргу, здається , сформувався третій, самостійний, досить значний феномен глобального ризику. Одночасно промальовувалися та інші вражаючі
    
12. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
    математики, як і метафізика, містить не тільки чуттєві, а й надчуттєві об'єкти (сутності). Розум при цьому, виробляючи судження про них, не виходить за межі можливого досвіду не тільки при конструюванні математичних понять, як це вважав Кант, але і при їх сімволізірованія. Аналогічно йде справа при сімволізірованія надчуттєвих об'єктів метафізики і теології. У процесі
    
13. «Механізм» вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
    математикою і кібернетикою. Широко відомі в психології роботи в області ризику, прийняття групового рішення, індивідуального прийняття рішення. Нам видається, що проблема передбачення і проблема прийняття рішення тісно взаємопов'язані. Передбачення вивчалося на основі категорії активності П.К. Анохіним, Н.А. Бернштейном, А.Р. Лурія, А.А. Ухтомским. При цьому досліджувалися моторні
    
14. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
    математики вивчає сукупність математичних методів, зв'язок математики з іншими науками і з різними областями людської діяльності. Методологія математики визначає її об'єкт і предмет; місце математики в системі наук; співвідношення теоретичної та прикладної математики; внутрішню структуру науки; методи, застосовувані в дослідженні; філософські проблеми математики; істинність