Головна
ГоловнаНавчальний процесОсвіта і наука → 
« Попередня Наступна »
Авторський колектив гімназії № 11 ім. С.П. Дягілєва. Школа живої традиції. - М.: Еврика. - 208 с. - (Бібліотека культурно-освітніх ініціатив)., 2005 - перейти до змісту підручника

Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку

Є.Г. Плотникова, доктор педагогічних наук

У процесі наукового пізнання, спрямованого на досягнення нових знань, виявляються загальні закономірності природи і характеру наукової діяльності, спеціальним вивченням яких займається методологія науки, тобто вчення про принципи побудови, форми, способи наукового пізнання та практичної перетворюючої діяльності. Методологія здійснює дослідження з метою виявлення прийомів, засобів, методів відображення дійсності в науковому пізнанні. Після чого вони перетворюються на свідомо використовувані прийоми, засоби і методи, які можна розвивати й удосконалювати. Таким чином, методологія вирішує завдання раціоналізації, вдосконалення наукової діяльності.

Методологія науки є вченням про методи наукового пізнання, теоретичних засобах дослідження, про методи практичного осягнення істини, а також про прийоми організації наукової діяльності. Методологія науки дозволяє опанувати результативними методами дослідження, виступає засобом підвищення ефективності наукового пізнання, сприяє його інтенсифікації, являє собою базу розвитку науки. До методології відноситься знання історії науки, знання світоглядних, теоретико-пізнавальних і соціокультурних підстав, знання основних логічних форм і законів мислення, принципів побудови наукової теорії.

У широкому сенсі методологія математики вивчає сукупність математичних методів, зв'язок математики з іншими науками і з різними областями людської діяльності. Методологія математики визначає її об'єкт і предмет; місце математики в системі наук; співвідношення теоретичної та прикладної математики; внутрішню структуру науки; методи, застосовувані в дослідженні; філософські

проблеми математики; істинність теоретичного знання; перспективи розвитку науки .

Недооцінка методологічних проблем заважає формуванню наукового уявлення про основи, шляхи розвитку та перспективи математичних наук. Крім того, знання методології є необхідним елементом культури викладача, необхідним підставою його професійної майстерності.

1. Місце математики в системі наук

Об'єкт і предмет математики. Об'єкт будь-якої науки - це частина або певна властивість реального світу, на яке спрямована пізнавальна діяльність дослідника, тобто це об'єктивний світ, що існує незалежно від свідомості, незалежно від того, хто пізнає його суб'єкта. Наприклад, об'єкт пізнання фізики - нежива природа. Але неживу природу досліджує і ряд інших наук, тому треба уточнити, що фізика вивчає фізичну форму матерії, її будову (на рівні атомів і елементарних частинок), її властивості, такі, як енергія, швидкість, маса та ін Хімія вивчає хімічну форму матерії : речовини, їх синтез, перетворення одних речовин в інші, яке підпорядковується періодичному закону Д.І. Менделєєва. Біологія має своїм об'єктом пізнання біологічну форму матерії - живу природу, спосіб існування живої матерії - життя і розвиток живих організмів. Соціальну форму матерії вивчає суспільствознавство. Об'єкт філософії - весь світ (природа, ^ суспільство, свідомість), але в певному відношенні: загальні закони

vjy розвитку природи, суспільства і мислення. Аналогічно, об'єкт пізнання vP

математики - також весь світ, але тільки в інших його проявах. Для того щоб визначити об'єкт математики, необхідно виділити досліджувані нею властивості реального світу. Р. Декарт відносив до області математики "ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра, і абсолютно не суттєво, чи будуть це числа, фігури, зірки або що-небудь інше". А.Н. Крилов писав, що математика є наука про точно вимірюваних величинах. Ф. Енгельс визначив, що чиста математика має своїм об'єктом "просторові форми і кількісні відношення дійсного світу" (це визначення отримало найбільше визнання сучасних математиків, воно витримало перевірку часом і є найбільш наочним для використання в навчанні). Академік А.Д. Александров, розвиваючи уявлення Енгельса, зазначає, що математика вивчає "будь-які форми і відносини дійсності, які об'єктивно володіють такою ступенем незалежності від змісту, що можуть бути від нього повністю відокремлені". Він вважає, що математика може бути визначена як наука "про логічно можливих, чистих (тобто абстрактних від змісту) формах".

Якщо визнати, що відносини в математиці також є "чистою формою", то можна вважати об'єктом математики форму, взяту в відволікання від змісту. Такої позиції у визначенні об'єкта математики дотримувалися Г. Гегель, А. Пуанкаре. Останній зауважив, що "математиків займають не предмети, а відносини між ними. Тому вони вправі заміняти одні предмети іншими, аби відносини їх залишилися

при цьому незмінними. Зміст їх не хвилює, вони цікавляться тільки формою ". Тому слідом за Гегелем і Пуанкаре будемо вважати математику найбільш загальною наукою про форму. Філософію за аналогією можна визначити як найбільш загальну науку про зміст, виділеному в чистому вигляді.

Предмет науки не збігається з її об'єктом, він не тотожний об'єктивної реальності, а є її відтворенням у свідомості пізнає суб'єкта, теоретичною моделлю реальних речей, їх властивостей і зв'язків. Таким чином, предмет дослідження - відображення сутності і закономірностей об'єкта пізнання в теоретичних поняттях, його теоретичне осмислення. Власне, предметом науки є нею ж побудовані абстрактні поняття, теоретичні конструкції, такі, як нерозтяжна нитка, пряма, площина, матеріальна точка, ідеальний газ, біт.

Різні математичні науки, маючи загальний об'єкт пізнання, відрізняються набором теоретичних понять і тому предметом дослідження. Так, предмет арифметики - числа, операції над ними, властивості чисел (операції ці відомі всім: додавання, віднімання, множення, ділення, порівняння). Предмет класичної алгебри, побудованої до 19 століття, - літерні вирази, операції над ними, властивості тих і інших. Операції: арифметичні, зведення в ступінь, корінь, логарифм. Предмет сучасної алгебри - алгебраїчні структури (групи, поля, кільця, ідеали, простору), операції над ними і властивості структур. Предмет математичного аналізу - функції, ^ операції над ними, властивості функцій і операцій. До названих операціями

vjy додалися нові: граничний перехід, диференціювання, vP

інтегрування. Предмет всіх розділів геометрії (які розрізняються тільки методами) - геометричні тіла і фігури.

Таким чином, предметом математики в цілому є математичні структури, їх елементи, операції над ними і властивості перерахованого. Звернемо увагу, що числа, геометричні тіла, функції в реальному світі не зустрічаються - це абстрактні теоретичні поняття. І в цьому основна відмінність об'єкта і предмета науки.

У літературі часто об'єкт і предмет математики ототожнюється. Але з методологічної точки зору відмінність цих понять дуже важливо. Об'єкт розвивається разом з розвитком матерії і відносно стійкий. Предмет розвивається разом з наукою і відображає результати досліджень. Визначення предмета науки відбивається на визначенні напрямків її розвитку і на систематизації розділів математики.

2. Методи математики

Метод в самому загальному значенні - спосіб досягнення мети, певним чином упорядкована діяльність. Як засіб пізнання метод є спосіб відтворення в мисленні досліджуваного предмета. Звідси випливає важливий принцип методології науки: єдність предмета і методу. Суть його полягає в наступному. З одного боку, будь-який науки включає в себе вивчення її методу (тобто метод науки включається в її предмет). З іншого боку, метод являє собою теорію в дії, він

ототожнюється з усією наукою і в цьому сенсі предмет (тобто закони науки, складові її предмет) включається в метод.

Методи пізнання прийнято поділяти на кілька рівнів, які характеризуються ступенем їх спільності. Будемо виділяти п'ять наступних рівнів (табл. 1): рівень частнонаучних методів, які призначені для вирішення конкретного завдання; рівень найбільш загальних частнонаучних методів (принципів) даного розділу науки, в результаті систематичного застосування яких він і формується (наприклад, принцип аналітичної геометрії - метод координат); загальнонаукові методи (спостереження, експеримент, абстракція, ідеалізація, індукція, дедукція, аналіз, синтез, аналогія, конкретизація, узагальнення, сходження від конкретного до абстрактного, сходження від абстрактного до конкретного, алгоритмізація, інформатизація, формалізація, математизація та ін ); загальнотеоретичні засади дослідження, тобто загальні основи спеціальних наук, на які спирається дослідження; рівень філософської методології, на якому обгрунтовуються закони розвитку науки та її окремих розділів, ці методи опосередковано присутні при конструюванні методів попередніх чотирьох рівнів, це рівень найбільш загального філософського обгрунтування. Методи математики представляють ту ж ієрархічну структуру.

Табл. 1. Рівні методів пізнання

-е-

-е-Частнонаучние методи математики. Математика має широким арсеналом відносяться до першого рівня частнонаучних методів. Власне, кожна математична дисципліна зіткана із способів вирішення деякого кола типових завдань. Наприклад, систему лінійних алгебраїчних рівнянь ми можемо вирішити методом послідовної підстановки невідомих, методом Гаусса, за правилом Крамера, обчислюючи зворотну матрицю, а для дослідження такої системи можемо застосувати ранги матриць. Ще приклади: метод невизначених коефіцієнтів у ряді математичних дисциплін, метод варіації постійних в теорії диференціальних рівнянь та ін Все це - частнонаучние методи. Класифікувати їх можна по основних розділах математики.

З арифметичних методів кожен починає своє ознайомлення з багатою структурою частнонаучних методів математики. Це найпростіші операції над числами, прийоми рішення арифметичних завдань (по діям, із зазначенням питань, на які ця дія відповідає), моделювання умов завдання на числовій осі, у вигляді таблиці, схеми, діаграми. Потім з'являються дробу, відносини, пропорції, відсотки, складні відсотки,

методи комерційної арифметики (ставки, облік векселів і т.д.). І, нарешті, з'являються методи теоретичної арифметики - теорії чисел.

Методи класичної алгебри виникли при вивченні властивостей рівнянь і нерівностей і спрямовані на їх вирішення, тому алгебра протягом багатьох століть трактувалася як наука про рішення рівнянь. Методи сучасної алгебри (теорії груп, полів, просторів і т.д.) утворюються на загальних підставах теорії множин і спрямовані на виявлення властивостей алгебраїчних структур. Несподівано ці методи, що здавалися спочатку зовсім абстрактними, стали знаходити численні практичні додатки в інших розділах математики, у фізиці, кристалографії.

Методи математичного аналізу становлять ядро ??сучасних методів дослідження в усіх науках, де застосовується математика, тобто використовуються закони чистої форми, зокрема, кількісні відношення. Спочатку це були нові методи дослідження кривих, знаходження найбільших і найменших значень все розширюється класу вивчених функцій. Одночасно разом з виникненням аналізу в 17 столітті його методи стали застосовуватися для вирішення фізичних і технічних завдань: для обчислення швидкості руху, прискорення, моменту інерції, центру ваги фігури, роботи, тиску та інших фізичних величин. З побудовою теорії рядів дослідник отримав в руки новий апарат: наближене представлення багатьох функцій у вигляді многочленів, що дозволило вирішити ряд актуальних завдань у фізиці і техніці. Диференціальні рівняння істотно розширили клас доступних для ^ вирішення прикладних задач, так як похідна, що входить в рівняння, ^

vjy дозволяє моделювати численні умови, що накладаються на vP

швидкість рухомого тіла. Наприклад, без диференціальних рівнянь абсолютно неможливий розрахунок космічних траєкторій. Рівняння в приватних похідних настільки пронизані додатками, що навіть отримали назву рівнянь математичної фізики (про це ж говорять і самі назви рівнянь: хвильове, телеграфне, теплопровідності).

Методи функціонального аналізу знаменують содою найбільш загальний, абстрактний підхід до опису практичних предметних ситуацій за допомогою математики. Власне, теореми функціонального аналізу відносяться не до конкретних прикладних задач, а характеризують цілі класи задач, що володіють загальними структурними властивостями. Наприклад, вивчаючи рішення операторних рівнянь, ми отримуємо загальні закономірності, які потім можуть бути використані при вирішенні алгебраїчних, інтегральних та диференціальних рівнянь.

Коли ми говоримо про геометричній гілки математичних дисциплін, то завжди мова йде про вивчення властивостей геометричних тіл і фігур. Геометричні науки розрізняються застосовуваними методами: в елементарній геометрії використовується (крім геометричних теорем і додаткових побудов на кресленнях) арифметика, в аналітичній геометрії - методи алгебри, в диференціальної - методи математичного аналізу, топологія настільки пронизана методами функціонального аналізу, що стає його розділом.

 Принципи математики. Принципи - методи четвертого рівня (табл. 1) - проглядаються в кожній математичній науці: принципом 

 аналітичної геометрії є метод координат, принципом варіаційного обчислення - обчислення варіацій за допомогою рівняння Ейлера. Принципами є і три методи математичного аналізу - граничний перехід, диференціювання та інтегрування, в результаті постійного застосування яких сформувалася ця наука. 

 У чому полягає багатство змісту методу координат? Чому він породив аналітичну геометрію, а слідом за тим і всю сучасну математику? Ідея методу проста: поставити у взаємно однозначну відповідність геометричні та алгебраїчні об'єкти.

 Таким чином, точці на числовій осі відповідає дійсне число, точці на площині - впорядкована пара дійсних чисел, кривої - рівняння, області - нерівність або система нерівностей. Далі це відповідність застосовується на практиці, і в результаті геометричні задачі зводяться до алгебраїчних, а алгебраїчні - до геометричних. Тепер відстань можна не вимірюється, а обчислювати, перетин кривих знаходити не за допомогою креслення, а шляхом рішення системи рівнянь і т.д. Для вирішення цих завдань і народився новий науковий напрямок - аналітична геометрія. 

 Історики науки відзначали, що слідом за декартовій змінної стало "неминуче необхідним" виникнення диференціального числення. Справа в тому, що математик, отримавши широкий арсенал аналітичних методів для дослідження геометричних кривих, неминуче наштовхнеться на питання про побудову дотичної до кривої: а чи не можна знайти рівняння дотичної? Цей шлях відкриття похідної та побудови теорії vjy диференціального числення і був реалізований Г. Лейбніцем. vP 

 Поява нових операцій - диференціювання та інтегрування - породило вал досліджень, публікацій, вирішених практичних завдань, що призвело до необхідності виділення нової науки - математичного аналізу. Її принципами стали спочатку операції диференціювання та інтегрування як потужні, універсальні методи пізнання. Довгі роки вони не знаходили логічного обгрунтування, поки О. Коші (1789-1857) НЕ розробив теорію меж, на підставі якої були побудовані дедуктивні визначення похідної та інтеграла. 

 Велике методологічне значення має виділення та аналіз принципів двох основних частин математики - теоретичної та прикладної. Будь-яке дослідження в області чистої математики будується дедуктивно. Тому дедуктивний висновок є принципом теоретичної математики. 

 Водночас основа додатків математики - метод моделювання, це єдине адекватне засіб відображення реальної дійсності в поняттях математики, спосіб переказу завдання з мови інших наук на мову математики. Тому принципом прикладної математики є метод математичного моделювання. Таким чином, методологія науки дає нам принципова ознака для розрізнення математики-теорії ("чистої") і математики-методу (прикладної). Він виражається в тому, що якщо перша основну увагу приділяє гносеологічної стороні дослідження з її увагою до логіки, до теорем існування, єдиності, до умови збіжності величин, 

 то друга досліджує практичну сторону справи, що зводиться до побудови математичної моделі реального процесу і її дослідженню за допомогою точних або наближених методів. 

 Загально методи в математиці. Третій рівень методів пізнання (табл. 1) - загальнонаукові методи. Знаходячи застосування в математичному пізнанні, вони піддаються переломленню, пристосуванню до потреб математики. При цьому саме в ній вони отримують своє максимальний розвиток. 

 Метод абстракції застосовується у всіх теоретичних науках, при цьому дослідник відволікається від усіх сторін реального об'єкта, крім декількох, які він вважає суттєвими - це дає можливість досліджувати цю сторону глибше, повніше. А.Н. Кочергін визначать: "Абстрагування як метод наукового пізнання являє собою операцію уявного відволікання пізнає суб'єкта від ряду властивостей, зв'язків, відносин досліджуваного об'єкта, які з точки зору розв'язуваної задачі (або класу задач) представляються несуттєвими. Операція відволікання рівносильна операції виділення в об'єкті істотних властивостей, зв'язків, відносин ". 

 Результатом абстракції є поняття. У математиці цей метод досягає вищого рівня, так як вона використовує багатоступінчате абстрагування. Наприклад: еквівалентні кінцеві безлічі реальних об'єктів натуральне число дійсне число буквене позначення будь-якого числа мінлива функція функціонал оператор. При цьому ^ абстракція створюється від абстракції і сходить на вищий рівень, 

 СР все далі йдучи від реального прообразу. ЧТ " 

 Математична абстракція, виробляючи відволікання від деяких сторін об'єкта, разом з тим завжди здійснює його ідеалізацію. Цей загальнонаукових метод пізнання характерний тим, що він наділяє створюване мисленням абстрактне поняття рисами, не існує насправді. Ідеалізація в математиці виробляється до крайніх, граничних рівнів: зменшуючи розміри тіла, зменшуємо їх до нуля, так що вони взагалі зникають - виходить точка; розсуваючи межі відрізка, видаляємо їх все далі і далі - в нескінченність, поки вони не зникнуть - виходить нове поняття : пряма. 

 Метод аналогій полягає в перенесенні знання з більш вивченого на менш вивчений об'єкт на основі подібності їх істотних ознак. Один з проявів цього методу в математиці - встановлення ізоморфізму, тобто взаємно однозначної відповідності між елементами систем і тотожності їх структур. Ізоморфізм і є чиста форма, абстрактна від змісту, яка реалізовується в ізоморфних множинах. Інший прояв аналогії - схожість математичних описів декількох явищ, при цьому вони можуть мати різну фізичну природу. Ці описи виступають для всіх цих процесів в якості математичної моделі. 

 Аналіз - загальнонаукових метод пізнання, що полягає в уявному розчленовуванні об'єкта дослідження на складові елементи. При цьому виділяються і вивчаються окремі властивості, співвідношення об'єкта, його форма, структура. Такий підхід взагалі типовий для вирішення завдання 

 математичними засобами. Синтез - метод, протилежний аналізу і доповнює його. Він полягає в уявному поєднанні проаналізованих різних сторін предмета в одне ціле. Аналіз і синтез перебувають у діалектичній єдності, аналіз для того і проводиться, щоб синтезувати отримані знання. 

 Особливого розгляду вимагає співвідношення таких методів, як індукція - дедукція. Індукція - це загальнонауковий метод пізнання, заснований на міркуваннях від приватних, одиничних тверджень до спільного висновку. Існують повна та неповна індукції. Повна: якщо справедливо міркування для кожного елемента деякого кінцевого безлічі, то воно справедливо для всіх елементів. Неповна індукція використовується на нескінченній множині або на безлічі, що містить занадто велике, недоступне для повного перебору число елементів. Вона не є універсально істинним судженням і не має формально-логічного обгрунтування. Використовуючи неповну індукцію, дослідник спирається на інтуїцію. Таким шляхом здійснюється пізнання в природних науках. 

 У математиці метод індукції отримав своє крайнє вираження у вигляді методу повної математичної індукції. Певний гіпотетичний ознака, справедливість якого доводиться для будь-якого натурального числа, встановлюється для деяких конкретних значень, а потім, вважаючи, що гіпотеза справедлива для довільного натурального значення, виводять як наслідок, що вона повинна бути справедливою для наступного натурального числа. ^ Метод дедукції протилежний індуктивному. Це загальнонаукових метод ^ 

 vjy пізнання, заснований на міркуванні від загального до приватного, яке vP 

 являє собою процес логічного висновку за правилами формальної логіки. Найбільшого досконалості метод дедукції отримав у вигляді аксіоматичного методу. Це самий абстрактний і найбільш уживаний метод вивчення математичних систем. При цьому основні елементи, зв'язки між ними, а також перетворення висловлювань приймаються без визначення як дані. Далі основні властивості структур фіксуються у вигляді вихідних тверджень - постулатів, аксіом. Усі наступні поняття визначаються через основні, а все нові твердження (теореми) доводяться, тобто логічно виводяться з аксіом і попередніх тверджень. Зразком аксіоматичної теорії є геометрії Евкліда, Лобачевського, Рімана, теорія ймовірностей Колмогорова та ін 

 Методи індукції та дедукції знаходяться в діалектичній єдності так само, як аналіз і синтез. Індукція в чистому вигляді логічно необгрунтована, а дедуктивна теорія, не отримала інтерпретації за допомогою індукції, - беззмістовна, схоластичністю. Метод дедукції є основним методом теоретичної математики. Прикладна математика використовує індуктивну логіку й так звані "правдоподібні міркування". 

 Може здатися, що математика як наука абстрактна виключає із системи своїх методів спостереження й експеримент, так як ніяка апеляція до досвіду нічого не доводить. Підтверджене сотнями прикладів якесь твердження так і залишиться гіпотезою, поки не отримає суворого докази. Проте математики проводять чисельні 

 експерименти для того, щоб переконатися в правильності припущення, і тільки після цього шукають його доказ. 

 Широке застосування в даний час отримав загальнонаукових метод - математичне моделювання. Математичні моделі - це формули або рівняння, що виражають закономірності будови і поведінки реальних об'єктів чи явищ. При цьому вивчається не саме явище чи об'єкт у всьому різноманітті властивостей, а відповідна математична модель. Завдання побудови математичної моделі досліджуваного процесу полягає в тому, щоб, знаючи загальний хід протікання процесу, визначити його стан для будь-якого моменту і, навпаки, визначивши, в чому виражається закономірність процесу для певного моменту, знайти закон зміни всього явища, вираженого математичним співвідношенням. Теорія математичного моделювання - один з розділів прикладної математики. 

 Викладання математики і в школі, і у вузі - це перш за все вивчення математичних моделей. Як би не була проста модель, робота з нею відбувається в чотири етапи: формалізація, дослідження моделі, інтерпретація, модернізація моделі. Перший етап - побудова математичної моделі, висновок відповідних математичних співвідношень. Другий - власне рішення задачі математичними методами до отримання числового результату. На третьому етапі перевіряється адекватність отриманого рішення умовам вихідної задачі. На заключному - четвертому етапі, у зв'язку з появою новими даними про вивчається явище, здійснюється уточнення і модернізація Vjy моделі. ЧУ 

 Математика як загальнонаукових метод пізнання. Центральна ідея методології математики полягає в тому, що математика в цілому є загальнонаукових методом пізнання. Тому науково-технічний прогрес суспільства супроводжується інтенсивної математизацією знань, тобто проникненням математичних методів в інші науки. Можна виділити два типи математизації: перший, при якому наука використовує математику для опису і дослідження своїх об'єктів, друге, при якому математика використовується для обробки даних. 

 Математизація є однією з характерних особливостей розвитку сучасної науки. Практично у всіх науках як методу дослідження виступає кількісний опис досліджуваних конкретною наукою явищ, процесів, їх зв'язків; при цьому, природно, залучається апарат математики. Наприклад, фізика не може існувати без математики, однак існують дві конкуруючі точки зору на проблему співвідношення цих наук: перша розглядає математику як структурує і смислообразущую основу фізики, друга вважає математику інструментом фізичних досліджень. Таким чином, математика виступає як загальнонаукових метод пізнання для інших наук, служить інструментом побудови теорії в них. Тоді на ці останні поширюються факти, закони і теорії математики. 

 Виділяються такі особливості математики, мають загальнонауковий характер: доказовість математичного знання; випереджальний розвиток математики по відношенню до інших наук, що дає можливість 

 знаходження в її змісті таких структур, які можуть бути реалізовані у розвитку інших наук; яскраве вираження в математиці духу пошуку істини; реалізація в її змісті таких логічних принципів і законів, які не стали надбанням інших наук; рефлективний характер математики, яка дає не просто приклади , а й зразки реалізації принципу рефлексивності в науковому пізнанні (наприклад, метаматематика Д. Гільберта). 

 Основою застосування математики в інших галузях науки і техніки є метод математичного моделювання. У математиці спеціально розвинені цілі розділи для обслуговування додатків. Наприклад, математична статистика надає апарат для обробки експериментальних даних незалежно від того, в якій науці вони отримані. Крім того, окремі частнонаучние математичні методи переростають своє узкоматематіческое призначення і стають загальнонауковими методами. Так, методи розкладання шуканої функції в ряд, метод граничного переходу, метод Гаусса для вирішення систем алгебраїчних рівнянь застосовуються незалежно від природи досліджуваних явищ або об'єктів різних наук. 

 Можна розглядати три рівня застосування математики в інших науках. По-перше, це обробка даних конкретної науки математичними методами. По-друге, математичне моделювання різних явищ і процесів, що вивчаються в даній науці. Нарешті, по-третє, це зрощення конкретної науки з математикою, коли вона формулюється мовою математики (наприклад, теоретична механіка, математична фізика і vjy ін.) Однак для того щоб конкретна наука могла вийти на другий чи vP 

 третій рівні і використовувати математику для прогнозування процесів, вона повинна бути досить розвинена, повинна мати чіткі визначення, логічну строгість, кількісно виражені закони. Справедливо і зворотне судження: якщо наука застосовує математику, то це свідчить про її певному рівні розвитку. Теоретичні підстави математики і її викладання. У публікаціях останніх років все частіше виділяється особливий рівень методів - загальнотеоретичні (Не філософські) основи дослідження. У цій якості виступають загальні теорії спеціальних наук, результати яких використовує дослідник.

 Відзначимо, що в класифікації наук математика займає фундаментальне місце в основі піраміди, тому немає більше загальної науки, на яку вона спирається. Навпаки, сама математика виступає як теоретичного підгрунтя величезної кількості досліджень в інших науках. У певному сенсі теоретичним підгрунтям математики можна вважати філософію і логіку. 

 Інша справа - викладання математики. Для педагогіки математики та методики її викладання теоретичним підгрунтям є педагогіка. Для педагогіки загальним теоретичним підгрунтям служить все гуманітарне знання, а також деякі природні науки. Зокрема, педагогіка спирається на фізіологію і психологію. 

 Психологія, поряд з іншими гуманітарними дисциплінами, грає методологічну роль у викладанні математики, так як навчальна 

 діяльність опирається на психічне відображення дійсності, і досвідчений педагог свідомо чи інтуїтивно враховує стан і зміна психіки учня в процесі виховання і навчання. Це його позиція, а у викладанні (як і в дослідницькій діяльності) доводиться мати справу, як правило, з методами пізнання перших трьох рівнів: частнонаучнимі, загальнонауковими методами та принципами приватних наук. 

 В останні роки ми спостерігаємо засилля психології в педагогіці, яке грунтується на утопічних надіях, що психологія вирішить всі проблеми навчання, виховання і приватних методик викладання конкретних дисциплін. В результаті психолог без достатніх підстав диктує вчителям-предметникам, як і що вивчати на уроках математики, російської мови чи хімії. Однак педагогіка та психологія - це різні науки, у них різні предмети дослідження, різна діяльність, тому психологія не може вирішувати за педагогіку такі завдання, як визначення цілей освіти, змісту і методів викладання і виховання. 

 Останнім часом на передній план як загального теоретичного підстави педагогіки виходить філософія освіти, що має цілісний об'єкт - освіта в усіх його ціннісних, системних, процесуальних та результативних характеристиках, що враховують, природно, і міждисциплінарні, фонові параметри і фактори, так чи інакше впливають на функціонування і розвиток сфери освіти. Філософія освіти є інтегративної наукою, визначальною vjy політику у сфері освіти, що дає міждисциплінарний знання про чу 

 сутності об'єктів цілеспрямованого вивчення і управління в даній сфері, про оптимальні шляхи досягнення суспільно і особисто необхідних цілей освітньої діяльності, про перспективи розвитку системи освіти. 

 3. Філософські підстави математики 

 Підстава методів пізнання (табл. 1) складає їх філософський рівень. Цей підхід знаменує загальний універсальний метод пізнання. Філософія і математика відносяться до наук однієї групи - про загальні закономірності реального світу, мислення і пізнання. У той же час в методах математики виділено спеціальний рівень - філософський. Тому необхідно розглянути співвідношення філософії і математики, а також використання філософії в математичному пізнанні. Філософія - наука про загальні закони розвитку природи, суспільства, мислення, загальна методологія наукового пізнання. Вона володіє гранично широкої ступенем спільності. Математика також може використовуватися у всіх областях наукового знання. Але, незважаючи на певну схожість, філософія та математика виконують різну роль у пізнанні. Філософія виконує по відношенню до всіх спеціальним наук методологічну, теоретико-пізнавальну функцію, в той час як математичний спосіб є допоміжним способом теоретичного опису дійсності. Можна говорити про те, що всі науки залежать від філософії, а філософія доповнюється математикою. Якщо 

 філософія є загальна наука про зміст, то математика - найбільш загальна наука про форму. І як закони філософії, так і закони математики є обов'язковими для всіх наук. Математичний апарат проникає в самі різні науки, об'єднуючи їх між собою єдністю методу і своєрідним спільною мовою. Аналогічну роль відіграє категоріальний апарат філософії. Філософські проблеми математики базуються на глибокому зв'язку математики і філософії. Для математики філософськими виявляються такі питання, як специфіка математичних абстракцій, природа об'єктів математики і способи їх обгрунтування, особливості істини, її критеріїв та шляхів її осягнення, риси математичного творчості. Фокусом перерахованих проблем виступає ставлення математики до дійсності. Скажімо, різні геометричні опису простору - математичний факт, але з'ясування відносин цього опису до реального світу є вже завдання філософської науки. 

 Жодна з наук не може обійти питання про ставлення матерії і свідомості. Для математики це питання співвідношення математичних абстракцій і ідеалізацій (математичного свідомості), з одного боку, і реального світу - з іншого, тобто визнання чи невизнання її об'єктивного змісту. Тут можливі різні точки зору. Ідеаліст скаже, що математичні поняття створені математиками і не мають ніякого відношення до реального світу. Метафізик-матеріаліст впаде в іншу крайність, стверджуючи, що математика вивчає лише реальний світ, тобто 

 поняття математики тотожні предметів, явищ реального світу. ^ 

 vjy Учням буде корисно ознайомитися зі спектром думок з цього чу 

 питання, бо від того, як його вирішує те чи інше філософський напрямок, залежить і вирішення інших філософських проблем науки. 

 З точки зору діалектичного матеріалізму, математичні поняття отримані з відносин реального світу за допомогою абстракції та ідеалізації. 

 <...> Основне питання філософії по відношенню до математики можна сформулювати і в іншій формі: чи вивчає математика реальний світ? Власне, ми вже дали дві відповіді на це питання. Перший: вивчає, бо її об'єктом є реальний світ (ну, нехай частина його, одна сторона). Отже, завдання математики, як і всієї науки, - пізнання світу. Друга відповідь: математика не вивчає реальний світ, бо її предметом дослідження є продукт свідомості - сукупність теоретичних понять даної науки. Це всього лише модель реальних об'єктів, їх абстракція і ідеалізація. Загальний висновок цілком диалектичен: математика одночасно вивчає і не вивчає реальний світ, так як її об'єкт - властивості реального світу, а предмет - продукт свідомості, теоретичні поняття. 

 Не менш важливим є філософське питання про нескінченність. Філософи давно зрозуміли, що поняття абсолютної нескінченності (як заперечення всього кінцевого, будь-якого визначеного) внутрішньо суперечливе, тому що заперечує і саме себе. Тому на поняття нескінченності накладаються обмеження. У математиці розглядається актуальна і потенційна нескінченності. Потенційна (нескінченність 

 є процес) - виникає як процес побудови математичних об'єктів, тобто передбачається, що нескінченний об'єкт нібито може бути "потенційно" побудований (наприклад, нескінченний ряду чисел). Актуальна нескінченність вважається завершеною, тобто заданої відразу з усіма елементами, в цьому випадку відволікаються від принципової незавершеності нескінченного процесу. При цьому результат є цілком побудованим, "що стала", а не "що стає" нескінченністю. Логічно довести існування нескінченності неможливо, у всіх математичних визначеннях це питання обходиться. Наприклад, у визначенні границі функції вже передбачається, що в деякій околиці функція приймає нескінченне число значень. Таким чином, поняття нескінченності не може бути розкрито одними засобами математики. Філософія виводить існування нескінченності з усієї людської практики, з даних всіх наук. 

 До питання про нескінченність примикає питання про дискретності та безперервності. Безперервність і переривчастість (дискретність), з одного боку, - філософські категорії, з іншого - математичні поняття. Вони можуть бути пояснені тільки одне через інше: безперервність увазі нескінченну подільність об'єкта, відсутність розривів; дискретність припускає об'єкт складається з окремих елементів, припускає кінцеву подільність обмеженого об'єкта. 

 Розглянемо також співвідношення філософських категорій зв'язок, ймовірність, ентропія і відповідних їм понять математики. Зв'язок - важливе філософське поняття. Два об'єкти пов'язані, якщо зміна одного ^ 

 vjy з них тягне зміну іншого. Будь-яка наука починається з виявлення vP 

 стійких зв'язків між предметами, явищами. Математика вивчає різні види зв'язків: необхідні і випадкові; суттєві і несуттєві; жорсткі, однозначні, імовірнісні та ін Так, необхідні зв'язки призводять до поняття функції, на основі істотних будуються математичні об'єкти, причинно-наслідкові зв'язки виявляються практично в кожній теорії, моделі. Дослідження причинно-наслідкових зв'язків, що носять випадковий характер, привело до розвитку теорії ймовірності. З вірогідністю пов'язано поняття ентропії, яка виступає як міра ймовірності перебування системи в даному стані і характеризує міру невизначеності системи. 

 4. Істинність математичного знання 

 Математика, як і всяка наука, спрямована на пізнання природи і знаходиться в постійному осягненні істини, що розуміється як відповідність знання реального світу. Ми знаємо, що істина відносна і цей рух нескінченно. У той же час саме по відношенню до математики вживається поняття абсолютної істини, тобто такого знання, яке повністю вичерпує предмет (два плюс два завжди буде чотири). 

 Математика має двоїстий характер, будучи єдністю теоретичного і прикладного знання. Прийнято вважати, що істинність теорії полягає у відповідності логіці, тому необхідний логічний аналіз вихідних положень теорії і всіляких наслідків з них. Питання про істинність прикладного математичного знання надзвичайно 

 актуальне у зв'язку з найширшими додатками математики. Це дійсно питання відповідності практиці: досить довести розрахунки до числа і порівняти з параметрами реального процесу, з фактами, результатами спостережень і експериментів. 

 Важливе методологічне значення має проблема логічних підстав математики, вивчення якої дозволяє простежити історію розвитку науки, а також історію розвитку її предмета і методу. Внутрішньо суперечливий характер взаємовідносин кінцевого і нескінченного, дискретного і безперервного постійно породжував парадокси в математиці і з'явився причиною трьох великих криз логічних і методологічних основ математики. 

 <...> Вивчення проблеми підстав математики приводить нас до важливого методологічного висновку: процес побудови математики та її підстав ніколи не буде завершений, пізнання нескінченно. 

 Розвиток математики. Йдеться про закони і джерелах розвитку науки і її логіки. Це, звичайно, тісно пов'язане з історією науки, але не зводиться до неї: це не хронологія, а логіка розвитку ідей. Історію математики прийнято поділяти на чотири етапи: зародження математики; період елементарної математики (математика постійних величин) - з 6 століття до н. е.. по 16 століття; період створення математики змінних величин - 17-18 ст.; сучасна математика - починаючи з 19 століття. 

 До першого періоду відноситься математика найдавніших цивілізацій. Необхідність обчислень (кількості зерна, довжини доріг тощо) ^ породжує арифметику натуральних чисел, призводить до розробки прийомів 

 vjy виконання арифметичних дій над дробами. Вимірювання площ і чу 

 обсягів, потреби будівельної техніки, а дещо пізніше астрономії викликали розвиток геометрії. 

 Другий період починається з формування дедуктивного методу викладу. Багато дали науці греки: Фалес (624-547 рр.. До н. Е..) Ввів математичні докази, Піфагор (582-500 рр.. До н. Е..) Вніс в науку математичні методи, Аристотель (384-322 рр.. До н . е..) створив логіку, Евклід (3 століття до н. е..) реалізував аксіоматичний метод, Архімед (287-212 рр.. до н. е..) дійшов до зачатків інтегрального числення. Третій період. Знаменитий французький математик Лаплас вважає, що "день, коли Декарт усвідомив собі свій метод, можна вважати офіційним народженням сучасної математики". Це було 10 листопада 1619. З декартовій змінної з неминучістю випливає математичний аналіз і вся сучасна математика. Виникає диференціальне та інтегральне числення. Основні закони фізики і механіки записуються у вигляді диференціальних рівнянь, і завдання інтегрування цих рівнянь висувається як найважливіше завдання математики. 

 Початок четвертого періоду - відкриття Н.І. Лобачевским "уявної геометрії", яка потрясла тисячолітні підвалини математики. В цей же час К. Гаусс доводить основну теорему алгебри, закладає основи диференціальної геометрії, О. Коші дає обгрунтування диференціального числення, Е. Галуа пише першу роботу з теорії груп. Всі ці дослідження революційно розширюють предмет математики. 

 У кожному новому напрямку математики проглядаються витоки в потребах практики, а також логіка розвитку самої науки. Тому викладач вузу повинен звертатися до історії математики всякий раз, коли вводяться нові поняття, коли освоюється новий метод розв'язання задач. Історія науки показує, за яких умов зроблені ці відкриття. При цьому слід залучати біографії видатних учених: знайомство з авторами великих відкриттів та історичної обстановкою, в якій вони творили, допомагає краще зрозуміти, яким шляхом йшов розвиток науки, його соціально-історичну обумовленість. 

 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку"
  1.  РОЗУМІННЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ ЯК СВІДОМОГО ДОСВІДУ Розумова діяльність
      методологічні установки, пов'язані з трансцендентальним суб'єктом, виявляють свою обмеженість, бо вони безсилі сформувати те саме «знання життя», яке окреслює смисловий простір нашого життєвого світу і виступає грунтом, на якій розум зрощує паростки всіх інших знань і усвідомлених уявлень. «Життєві знання» є продуктом людської життєдіяльності
  2.  ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
      методологічному плані концептуалізація має на меті конституювання в будь-який з цих сфер нових змістовно-смислових схем, в яких втілений певний задум чи вихідна ідея 150. Ідея як форма осягнення в думці об'єктивної реальності включає в себе свідомість мети і проекції подальшого пізнання. При цьому Лейбніц попереджає, що «не завжди буває безпечно посилатися на ідеї.
  3.  РОЗУМІННЯ ПЕРЕЖИВАННЯ У ФІЛОСОФІЇ І ПСИХОЛОГІЇ
      методології органицизма, евристично плідною при пізнанні складних систем. Навпаки, у філософії життя поняттю «органічне» надається біологічний і психологічний відтінок. Тільки потік органічного життя визнається реальним, і тільки те має цінність, що може бути пережито і органічно засвоєно, і навпаки, те, що не можна втиснути в межі органічного переживання,
  4.  1. Теоретичні передумови формування філософсько-історичної концепції Вл. Соловйова
      методологію, систему категорій і принципів мислення, але була далека від реалій історичного буття людини. І емпіричне напрямок у філософії, і відвернений раціоналізм прийшли до миру, який в основах своїх виявився порожнім, безглуздим, беззмістовним. Тому Вл. Соловйов обгрунтовує необхідність створення «новітньої філософії», яка повинна сформулювати принцип єдності
  5.  Енергоінформаційні зв'язку в природі і самоізоляція людства
      методології наукового пошуку багатьма сприймаються не інакше як блюзнірські. Тоді як зміни назрівають. І це вже видно неозброєним оком. Адже не будемо ж ми вічно заперечувати наявність непізнаних феноменів у природі і заради мнимого самозаспокоєння наче страус ховати від них голову в пісок? Неминуче настане пора їхньої пильної вивчення. Якими засобами? Думається, новими, з
  6.  «Механізм» вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
      методології дослідження. Це означає, що дослідження має бути в принципі направлено на вивчення саме ситуації вільного вибору альтернативних можливостей навколишнього світу. У зв'язку з цим корисно згадати роздуми Мотроші-ловой над питанням Гуссерля про розум і нерозумному, про людей як суб'єктах волі. Сенс існування є нагальним питанням для сучасного
  7.  Наукова діяльність учнів на уроках літератури та в позаурочний час
      методологією і технологією самопізнання, творчого самовизначення, самоврядування, самовдосконалення та творчої самореалізації. Ці системоутворюючі компоненти (самоорганізація, самопізнання, творча реалізація, самовдосконалення і саморозвиток), що виступають як специфічні види людської діяльності, яким можна і необхідно цілеспрямовано навчати. Більш того, в
  8.  2.1. «НОВА ФІЛОСОФІЯ» В КОНТЕКСТІ постмодернізму
      методологічного аналізу. Особливо гостро потреба в новій методології відчувається у сфері постнекласичного об-ществознанія, яке знаходиться в стадії формування. Протягом тривалого часу спостерігаються процеси природної та соціальної дійсності сприймалися і описувалися як впорядковані або квазіупорядоченние. Існувало відоме упередження, що їх пояснення
  9.  4. Жовтень 1917 (питання методології)
      методології дослідження револю ций У сучасній методології дослідження революційних епох намітилася критика концепції модернізації, оскільки вона виділяє закономірність у розвитку суспільства, розглядає як ідеал західне капіталістичне, ліберально-демократичний розвиток і по суті є ліберальним аналогом, дзеркальним відображенням марксистської схеми капіталістичного розвитку. Обидві
  10.  2. Проблеми науки і культури
      математики, він продовжував створювати художні твори: «Раковий корпус». «У колі першому», закінчив автобіографічне і публіцистичний твір «Архіпелаг Гулаг», яке з'явилося в «самвидаві», а потім і за кордоном. У 1974 році А. І. Солженіцин був висланий з країни як антипорадник, так як засуджував і революцію, і Леніна, і сталінський режим, і головне - закликав все це зруйнувати.