| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
фінітними обгрунтування математики |
||
|
Логіко-математичний сенс математики, побудованої відповідно до допущенням финитности, Гільберт пояснює так: « Основна думка моєї теорії докази така: всі висловлювання, які складають разом математику, перетворюються у формули, так що сама математика перетворюється на сукупність формул. Ці формули ртлічаются від формул математики тільки тим, що в них, крім звичайних знаків, зустрічаються також і логічні знаки ... Деякі певні формули, які служать фундаментом цього формального побудови математики, називаються аксіомами. Доказ є фігура, яка повинна наочно постати перед нами, вона складається з висновків, зроблених згідно схемою [modus ponens], в якій кожна посилка ... кожен раз є або аксіомою, або виходить з аксіоми шляхом підстановки, або збігається з отриманою раніше з докази формулою або виходить з такої формули за допомогою підстановки. Формулу ми будемо називати доказовою, якщо вона або є аксіомою, або кінцевої формулою деякого докази »149. Як зазначалося, фінітними підхід вимагає обмежити математичну думку об'єктами, даними в безпосередньому спогляданні ще до всякого мислення, і такими операціями з цими об'єктами і способами міркування, які не вимагають залучення абстрактних понять, включаючи допущення про завершені нескінченних послідовностях. Розглянемо на прикладі арифметики, які об'єкти (знаки) є для неї вихідними, які фінітні висловлювання про ці об'єкти припустимі і які методи конструювання і міркування прийнятні. Вихідний об'єкт арифметики - цифра 1. Вона символізує число, зване одиницею. Операція породження - приписуючи-ніє цієї цифри праворуч від даного об'єкта. Застосування даної операції до 1 породжує ряд натуральних чисел: 1, І (Два), Ш (три), ... . Ці об'єкти елементарні, наочні і кінцеві. Їх порівняння один з одним дозволяє встановлювати між ними базисні відносини рівності або нерівності. Якщо цифри а і Ь графічно рівні, то рівні і символізована ними числа. Якщо цифра а збігається з частиною цифри b, то а менше b; якщо цифра b збігається з частиною цифри а, то Комерсант менше а. Для всякої пари елементарних об'єктів арифметики істинно одну з таких суджень: а = h, а> Ь, а <Комерсант. За допомогою зазначених суджень визначаються всі арифметичні операції. Наприклад, операція складання вводиться такий спосіб. Якщо цифра b збігається з частиною цифри а, то залишок з також є цифра така, що виконується рівність а = b + с. Буквально операція додавання чисел b і з означає процедуру приписування b цифри 1, з якої починається з, стільки разів, скільки разів 1 входить в с. Операції віднімання, множення, ділення визначаються аналогічно. Асоціативний, комутативними і дистрибутивний закони разом з принципом індукції грунтуються як наслідку даних операцій. Фінітними метод побудови арифметики допускає і рекурсивні визначення. Наприклад, функція п \ = р (п) = 1х2хЗх ... хи, звана факторіалом, визначається равенствами: /> (!) =!; /> (Л + 1) - /> (л) х (і + 1). Функцією з вказаною точки зору розуміється наочне припис, на підставі якої заданої цифрі зіставляється деяка нова цифра. Наведені рівності, що визначають факторіал, називають рекурсією. Рекурсивне визначення показує, яким чином, починаючи з деякого значення р (п) і не використовуючи нічого, крім додавання і множення, можна обчислити р (п) для будь-якої даної цифри п. фінітними висловлювання можуть об'єднуватися логічними союзами («і», «або», «якщо ..., то», «якщо і тільки якщо», «або ..., або») в складні висловлювання. Крім того, до них може застосовуватися операція заперечення і в формулювання теорем можуть входити квантори існування і спільності. Останні операції, на перший погляд, вступають у протиріччя з финитной установкою, так як вимагають виходу за межі кінцевого. Наприклад, вислів Гільберта «існує просте число між п + 1 і і! + 1 », пце п є просте число, більше 2, вимагає для доведення своєї істинності нескінченної області об'єктів. Це висловлювання еквівалентно висловленню «або і +1, або і + 2, або п + 3, або ... або п \ + 1 є просте число ». При прямому тлумаченні воно явно не фінітними. Виникає наступна проблема. Коли слова «все» і «існують», що вводять квантори спільності та існування відповідно, вставляються в фінітні міркування, то «логічні закони, якими люди ... завжди користувалися і про які учив вже Аристотель, несправедливі в кінцевому. Ми б могли знайти вихід у тому, щоб встановити логічні закони, справедливі в області кінцевих висловлювань; але це не принесло б нам ніякої користі, так як ми ж не хочемо відмовитися від користування простими законами аристотелевой логіки, і ніхто, говори він навіть ангельською мовою , не втримає людей від того, щоб заперечувати будь-які судження, утворювати часткові судження і застосовувати закон виключеного третього. Для вирішення даної проблеми Гільберт доповнює свій метод обгрунтування математики ідеальними елементами. Як алгебра вимагає введення уявних (ідеальних) величин, щоб зберегти загальність своїх законів, так і при фінітними обгрунтуванні «до кінцевих висловлювань ми повинні приєднати ідеальні висловлювання для того, щоб утримати формально прості закони звичайної аристотелевой логіки» 108. Під ідеальними елементами Гільберт розуміє математичні та логічні формули, тобто схеми висловлювань, які не мають прямої змістовної інтерпретації і на місце яких можуть підставлятися будь задовольняють їм конкретні арифметичні (кінцеві) висловлювання. Порівняння алгебри з арифметикою допоможе зрозуміти зміст сказаного. Замість того щоб доводити нескінченне число приватних теорем виду «1 + 1 = 2», «2 + 2 = 4», «3 + 3 = 6», ..., достатньо знає алгебру довести загальну формулу, тобто ввести ідеальний елемент, «а + а = 2а», яка обгрунтовує істинність всіх арифметичних суджень зазначеного виду. Розширення финитной математики за рахунок додавання ідеальних елементів означає, висловлюючись сучасною мовою, її повну формалізацію, побудова логічного числення, що дозволяє разом з математичними аксіомами чисто формально доводити математичні теореми. Створення теорії ідеальних елементів мало одну єдину мету. З її допомогою Гільберт мав намір ввести контроль над актуальною нескінченністю і тим самим обгрунтувати застосування логічних законів класичної логіки, поширити фінітними підхід на нескінченну область об'єктів. «Якщо ми цей погляд узагальнимо, то математика зведеться до сукупності формул, по-перше, таких, яким відповідають змістовні повідомлення кінцевих висловлювань, тобто, по суті, числових рівностей або нерівностей, і по-друге, інших формул, які самі по собі ніякого значення не мають і які є ідеальними образами нашої теорії »109. Згідно Гильберту, ідеальні елементи не мають самостійного значення, і їх значення визначається правилами вживання. З ними не можна оперувати як із змістовними висловлюваннями. Вони - елементи формального аналізу, їх принципова призначення - бути засобом формалізації теорії. Ідеальні елементи, які вводяться виразами, що включають квантори спільності та існування, допускають фінітними, фактично конструктивну інтерпретацію. Нехай дано загальне твердження, що всяке число, ділене на шість, ділимо також і на три. Воно означає, що, починаючи з першого об'єкта, який ділиться на шість, і підставляючи по черзі інші з цим же властивістю, ми будемо отримувати кожного разу справжні висловлювання, що кожне з них ділиться також і на три. Як би далеко ми ні просунулися в цьому процесі контролю, всі отримувані виска-зв'язування будуть фінітними перевіряються. Але оскільки при цьому залишається нескінченна послідовність ще неперевірених чисел, що діляться на шість, ми маємо справу з потенційно істинним міркуванням. Екзистенціальне твердження виду {Ех) Ах інтерпретується аналогічно. Воно являє часткове, неповне і тим самим потенційно істинне судження, симптом більш повного і певного висловлювання, яке або позначає факт безпосереднього пред'явлення об'єкта, що володіє властивістю Ах, або вказує процедуру конструювання такого об'єкта. До ідеальним елементам, як логічним інструментам формалізації, пред'являється надзвичайно важлива вимога: вони не повинні суперечить! * Змістовної частини математичної теорії, до якої вони приєднуються. «Існує одна умова, правда, тільки одне, але зате абсолютно необхідне, з яким пов'язано застосування методу ідеальних елементів; цією умовою є доказ несуперечності; розширення, здійснюване додатком ідеалів, допустимо тільки за умови, що через це в старій, вузькій області ніяких протиріч не виникає, тобто за умови, що співвідношення, які вийдуть для старих образів після виключення ідеальних, завжди в старій області мали місце »153. Сказаного достатньо, щоб зрозуміти характер фінітного побудови не тільки арифметики, а й інших розділів математики. Финитная математика в цілому, згідно Гильберту, - це формалізована математика, тобто машина, що породжує свої об'єкти виключно формальними методами. Головна перевага формалізації полягає в тому, що вона дозволяє звести доказ несуперечності арифметики (як і будь-який інший математичної теорії) до доказу несуперечності її аксіом, т. Для формалізації математичної системи необхідно: 1. Задати алфавіт вихідних знаків. 2. Визначити, які послідовності знаків є формулою. 3. Відібрати формули, які будуть виконувати функції логічних і математичних аксіом. 4. В якості правил висновку використовувати наступні два. Правило відділення (ПО): з формулою (X ~ r> Y) слід формула Y. Правило підстановки (ПП): замість будь-якої змінної для висловлювань у формулі можна підставити будь-яку формулу всюди, де ця змінна входить в дану формулу. 5. Визначити правила побудови докази (виводу). Передбачається, що якщо пред'явлена довільна рядок символів, що входять в алфавіт формальної системи, то в кінцеве число кроків можна вирішити, чи є вона формулою, і якщо так, то чи є вона аксіомою. Аналогічним чином передбачається, що щодо довільної послідовності формул можна в кінцеве число кроків вирішити, чи є вона доказом. Формула вважається доказовою, якщо можна побудувати її висновок з наведених аксіом за допомогою правил ПО і ПП. Висновок являє кінцеву послідовність формул, кожна з яких або аксіома, або наслідок попередніх формул, отримане за допомогою правил проходження. Згідно Гильберту, для формалізації елементарної арифметики натуральних чисел (в якій виконується тільки операція додавання) та докази її несуперечливості досить наступних аксіом. Аксіоми логіки висловлювань А А2. (В z> Q = е ((А з В) Із (А з Q) А3. (Az> (B8i-ПВ)) з-А Пекло.-1-ІА е. А Трансфінітні аксіоми (додавання посилки), (виняток висловлювання), (закон протиріччя), (закон подвійного заперечення). А5. (х) (АХ з> Аа) (висновок від загального до приватного). А *,-ч (х) Ах z> (Ех) ~ \ Аа (якщо властивість А невірно для всіх х, то існує суперечить приклад). Ay.-і (? х) Лх (x)-Aa (якщо не існує прикладу здійсненності властивості Ау то воно помилково для всіх х). А8. Ах zd А (ЕХА) (логічна є-аксіома). У аксіомі А8 вираз ЄХА позначає річ, для шторою висловлювання Аа істинно. Більш точно, є - функція вибору, сопоставляющий кожному х, котрий володіє властивістю А, деякий елемент з класу речей, якщо річ, яка задовольняє цій властивості, вже існує. Якщо висловлювання А виконується для однієї і тільки однієї речі, то JEXA є та сама річ, для якої дане висловлювання справедливо. Зв'язок s-аксіоми з кванторами існування і спільності пояснюють наступні два визначення: DF \. (ЕХ) АХ = А (ЕХА). DF 2. (х) Ах =-і (Ех)-Л (х) = А (ЕХ (-Л », так як -> (? х)-Ах =-іл (єх-Л). Згідно Гильберту, гідність s-аксіоми полягає в тому, що з неї виводяться трансфінітні аксіоми А5-А7 і, значить, дана аксіома представляє загальний символ всіх ідеальних елементів формалізованої математики. Це означає, що «формалізм, який виходить з елементарного обчислення з вільними змінними в результаті застосування до нього е- формули ... повністю включає в себе всі числення предикатів в цілому »110. Крім того, є-аксіома« містить ... ядро так званої аксіоми довільного вибору »111. За допомогою даної аксіоми Гільберта доводить, що квантори і вирази з е-оператором завжди можуть бути виключені з виведення формули, яка не містить кванторів, з інших бескванторних формул. Для Гільберта це має особливе значення, тому що виражає суть його фінітного підходу: введення ідеальних елементів, тобто висловлювань про нескінченному (висловлювань з кванторами існування і спільності), виправдано тоді і тільки тоді, коли вони завжди можуть бути видалені з докази. Це озна- чає, що всякий доказ, що включає судження про актуальну нескінченності, може бути зредуковано до доказу, включающему судження тільки про кінцевих множинах елементів. Роль е-аксіоми особливо важлива для Гільберта в доказі несуперечності. Якщо S - математична система, чиї формули не містять кванторів, б-оператора і розв'язні, тоді S несуперечлива в строгому сенсі: кожна виводиться в ній формула істинна.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "фінітними обгрунтування математики" |
||
|
||