Криза математики на початку XX століття

Цієї точки зору (про законність існування абсолютної нескінченності. - В. С.), яку я вважаю єдино правильною, дотримуються лише деякі. Бути може, я за часом перший, що захищає її з повною визначеністю з усіма наслідками, але одне я знаю твердо: я не буду її останнім захисником.

Г. Кантор.

Про різні точках зору на актуально нескінченне Подією, яка, за загальним визнанням, потрясло весь математичний світ і стало причиною появи альтернативних програм обгрунтування математики, стала криза математики, що вибухнула на початку XX в. Стан, що передувала кризі , не віщувало ніяких катаклізмів. «... Після багатовікових блукань в тумані математикам начебто б вдалося до початку XX в. надати своїй науці ту ідеальну структуру, яка була декларована Аристотелем і, здавалося, була здійснена Евклидом в його" Засадах ". Математики нарешті повністю усвідомили необхідність невизначуваних понять; визначення були очищені від неясних або викликали які-або заперечення термінів; деякі області математики були побудовані на суворій аксіоматичної основі; на зміну умовиводів, які спиралися на інтуїтивні міркування або емпіричні дані, прийшли надійні, строгі дедуктивні докази . Навіть закони логіки були розширені настільки, що охоплювали тепер ті типи міркувань, які раніше математики використовували неформально і часом неявно, хоча, як показував досвід, ці міркування завжди приводили до правильних результатів »19.

Створена Г. Кантором (1845-1918) теорія трансфінітних (нескінченних) множин підірвала склалося спокій. Її головна особливість полягала в тому, що вона була теорією актуально нескінченних множин і, зокрема, дозволяла кількісно оцінювати і оперувати такими множинами.

Кантор розрізняв потенційну та актуальну нескінченність в наступному сенсі. Потенційна нескінченність представляє кінцеву величину, яка здатна приймати значення, більше будь-якого заздалегідь встановленої межі. Вона завжди залишається кінцевою, хоча і змінною величиною. З цієї причини потенційна нескінченність є величина, в Насправді не про-тівостоящая кінцевому і яка не є істинною нескінченністю. Подолання нескінченність - це актуальна (завершена, замкнута в собі) нескінченність, бо тільки вона насправді протилежна кінцевого, «Незважаючи на істотну відмінність понять потенційної та актуальної нескінченності, - причому перша означає змінну кінцеву величину, зростаючу понад всякі кінцевих кордонів, а остання - деякий замкнутий у собі, постійне, але що лежить по той бік усіх кінцевих величин кількість, - на жаль, занадто "часто зустрічаються випадки змішування цих понять. Так, наприклад, нерідко зустрічається погляд на диференціали як на певні нескінченно малі величини (тоді як вони являють собою лише змінні довільно малі допоміжні величини, абсолютно зникаючі з кінцевих результатів, а тому що характеризувалися вже Лейбніцем як прості фікції ...) грунтується на такому змішанні »20. Математичним аналогом актуальної нескінченності служить теорія трансфінітних кардинальних чіслел (трансфінітних множин).

У конспективному викладі суть теорії множин Кантора можна звести до наступних допущенням, визначень, результатами і проблем (визначення ординальних нескінченних множин і пов'язана з цим проблема неможливості їх повного упорядкування не розглядається, оскільки це не пов'язано з подальшим ходом викладу). -

«Під 'множеством1 ми розуміємо з'єднання в якесь ціле М певних добре помітних предметів т нашого споглядання або нашого мислення (які будуть називатися' елементами 'безлічі М) »21. Дане визначення поширюється на кінцеві і нескінченні множини. -

Всякому безлічі відповідає певна' потужність ', або' кардинальне число '.«' Потужністю ', або' кардинальним числом 'безлічі М, ми називаємо те загальне поняття, яке виходить за допомогою нашої активної розумової здібності з М, коли ми абстрагуємося від якості його різних елементів т і від порядку їх завдання »22. -

Два безлічі М і N рівнопотужні (їх елементи знаходяться у взаємно однозначній відповідності), якщо кожен елемент М є елементом N, і навпаки. -

Безліч М - підмножина множини N, тільки якщо кожен елемент М є елемент N . -

Якщо безліч М одно безлічі N, тоді воно - підмножина N. -

Якщо безліч М є підмножина множини N і існує принаймні один елемент N, який не є елементом М, тоді М називається власним (істинним) підмножиною N. -

Безліч М більше, ніж безліч N, якщо і тільки якщо N еквівалентно деякій підмножині М, але М не еквівалентно жодному подмножеству N. -

Множини можуть містити один і більше елементів або жодного елемента. -

Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожнім. Всі порожні безлічі рівнопотужні і є підмножинами будь-якого безлічі. -

Безліч нескінченно, якщо воно еквівалентно свого власного подмножеству. В іншому випадку воно звичайно, -

Безліч називається рахунковим (перелічуваних), якщо існує взаємно однозначна відповідність між його елементами і безліччю цілих позитивних чисел. Зокрема, безліч позитивних раціональних чисел перечислимого, але безліч дійсних чисел - ні, тобто воно незліченно. -

Теорема Кантора: кардинальне число безлічі всіх підмножин будь-якого безлічі більше кардинального числа самого безлічі. Доказ випливає з того факту, що якщо безліч містить і елементів, число його підмножин одно 2 ", а 2"> п. Наприклад:?

Пусте безліч містить одне підмножина, саме саме себе (2 ° = 1).?

Безліч з одним елементом містить дві підмножини - порожній безліч і саме себе (21 = 2).?

Безліч з двома елементами містить чотири підмножини - порожній безліч, само себе і дві підмножини по одному елементу (22 = 4).

»Найменшим кардинальним числом в ряду нескінченних множин є кардинальне число безлічі натуральних чисел. Для його позначення Кантор використовував знак Ко (читається - алеф нуль). Нехай D - безліч всіх дійсних (раціональних і ірраціональних) чисел. Тоді доводиться: D = 2 * °. -

Ієрархія нескінченних множин породжується таким чином: 1.

«о (найменше трансфинитное число = кардинальне число безлічі натуральних чисел). 2.

« і = 2 * ° (кардинальне число безлічі дійсних чисел). 3.

К2 = 2 \ 4.

К3 = 2 \ - Проблема (гіпотеза) континууму: чи існує у зазначеній ієрархії нескінченних множин трансфинитное кардинальне число, більше «о, але меншу« і? Кантор припустив, що не існує жодного кардинала (трансфинитное кардинального числа), що задовольняв би вказаній умові, і намагався це довести.

Проблеми почалися, коли Кантор спробував визначити безліч всіх трансфінітних множин. Згідно з теоремою Кантора, існує нескінченне число трансфінітних кардинальних множин. Згідно з цією ж теоремі, якщо таке «сверхмножество» існує, то має існувати і безліч всіх його підмножин, яке має бути більше «сверхмножества». «Отже, уклав Кантор, повинно існувати трансфинитное число, що перевершує найбільше з трансфінітних чисел. Прийшовши до настільки безглуздого висновку, Кантор спочатку розгубився, а проте потім він вирішив, що всі множини можна розбити на суперечливі і несуперечливі, і в 1899 р. повідомив про це Дедекіндом. Таким чином, множина всіх множин і відповідне йому трансфинитное число потрапляли в розряд 'суперечливих' - і тим самим виключалися з розгляду »28.

Рассел, дізнавшись про парадокс «сверхмножества», спочатку засумнівався в правильності міркувань Кантора. ГІО його думку, Кантор, має бути, «вчинив дуже тонку логічну помилку, яку я (Рассел. - В. С.) сподіваюся пояснити в одній з наступних робіт »33. Результатом роздумів Рассела стала формулювання нового парадоксу, названого на його честь парадоксом Рассела.

Рассел звернув увагу на те, що можливі два види класів: що містять себе в якості власного елемента і не со- що тримають себе в якості власного елементу. До перших належать, наприклад, поняття «список», «каталог», «класифікація», «абстракція» і т. п. Подібні поняття складають меншість, тому їх називають нестандартними. Зазвичай ж класи не містять себе як елемент свого класу, не входять в обсяг власного безлічі (стандартні класи). Скажімо, елементами безлічі «студент» є конкретні студенти, але очевидно, що саме це безліч студентом не є, бо не має ні віку, ні національності або факультетської приналежності .

Логічно парадокс виявляється в тому, що невідомо, куди помістити стандартне безліч. У класі, який є власним елементом, йому не місце, оскільки він не входить у свій клас. Але його не можна включити і в клас, який власним елементом не є, оскільки він представляє стандартний клас і не повинен перебувати серед власних елементів. Формально це виглядає так. Нехай R = «сімейство тих і тільки тих класів X, які не є своїми елементами і тому задовольняють умові X (г X ». Таким чином, має місце еквівалентність X є. R s X g X. Підставивши замість змінної X символ R, отримаємо Re R = R? R, тобто протиріччя.

Парадокс Рассела - найвідоміший з відносяться до підстав математики, але не єдиний. Оскільки всі вони володіють однією і тією ж логічною структурою, саме структурою парадоксу «Брехун», вони тут не рассматріваются36. Цей парадокс виникає як наслідок незаконної, що має характер порочного кола, на думку Рассела, самореференції певних понять. Пуанкаре назвав поняття, не здатні до несуперечливої самореференції, непредікатівнимі. Оприлюднення парадоксу Рассела і йому подібних протиріч спонукали математиків до пошуку непредікатівних понять не тільки в теорії множин, а й в інших розділах математики. Незабаром одне з таких понять було виявлено в підставах класичної математики - поняття «найменшою верхньої межі». Виявилося, що воно включає серед інших значень і те, яке покликане позначити, тобто найменшу верхню межу. Оскільки ніхто не міг гарантиро-вагь, що якщо досі то чи інше непредикативне поняття не приводило до суперечностей, то їх не буде і в майбутньому, у деяких математиків виникло відчуття, що математика стоїть не просто на хиткому, а логічно суперечливому підставі.

Якщо парадокс Рассела і йому подібні парадокси стимулювали математиків до пошуку і виключенню непредікатівних понять з усіх розділів математики і тим самим - до обгрунтування її несуперечності в. цілому, то аксіома вибору, явна формулювання якої належить Е. Цермело (1871-1953), породила серед них іншу хвилю проблем і тривог Аксіома вибору має багато варіантів. Один з найбільш зрозумілих такий. Нехай дано безліч М, підмножини якого - непорожні множини. Тоді всевда можна вибрати по одному елементу з кожного підмножини і утворити з них нове підмножина. Так, з кожної квартири багатоквартирного будинку, в якій проживає хоча б одна людина, згідно аксіомі вибору, можна відібрати по одному представнику для загальних зборів мешканців даного будинку. Аксіома вибору неявно використовувалася Кантором для доведення теореми про те, що будь-яке нескінченна безліч містить підмножина з кардинальною числом к0. Аналогічно чинили багато інших математики при вирішенні своїх приватних проблем. У 1923 р. Гільберт назвав аксіому вибору принципом, без якого неможлива теорія математичного виводу. Водночас саме ця аксіома на початку XX в. стала об'єктом жорстокої критики з боку провідних математиків Європи (Ф. Бернштейна, Е. Бореля, Р. Бера, А. Лебега). «Суть критики зводилася до того, що якщо не вказано правило, по якому з кожного безлічі вибирається по елементу, то реально вибір не виробляється і тому насправді нове безліч не утворюється.

 В цілому на початку XX в. склалася наступна ситуація. Теорія множин Кантора, хоча і не без суперечок і заперечень, була визнана підставою всієї математики. Кожен математичний об'єкт міг бути сформульований в термінах теорії множин, тобто представлений як теоретико-множинний об'єкт. Разом з тим парадокси транс фінітних множин Кантора, Рассела і споріднені їм, неконструктивний характер аксіоми вибору і так званих доказів існування, безконтрольне використання математиками непредікатівних понять і пов'язана з цим потенційна загроза виникнення нових протиріч, нарешті, відсутність достатніх логічних засобів для точного вираження та аналізу математичних міркувань - все це створювало враження якщо не фундаментальної хибності, то, принаймні, ненадійності теоретико-множинного обгрунтування математики. Стали говорити про (третьому) кризі математики. 

 Але чи був насправді криза математики? Жодна з існуючих в той час математичних теорій не була визнана формально суперечливою. Жодна з фундаментальних теорем арифметики, геометрії, алгебри, аналізу і топології була визнана помилковою, і не було ніякого приводу сумніватися в достовірності самих цих наук. Усі спори звелися винятково до того, як інтерпретувати незвичайні теоретико-множинні об'єкти канторовской теорії, засновані на допущенні актуальної нескінченності, у звичних методологічних схемах і абстракціях. Отже, на початку XX в. виник криза не математики, а її методології: знайшовся черговий різке невідповідність пояснювальних засобу якими розташовували математики в розглядається час у тих нових теоретико-множинним об'єктам, які вони ж самі і створювали. Зокрема, абстракція актуальної нескінченності, якої так вільно поль- поклику Кантор, суперечила прийнятим в той час уявленням про обмежені пізнавальних здібностях людини і кінцевому характері доступного йому досвіду. 

 Як завжди, було запропоновано безліч виходів із кризової ситуації, починаючи від закликів Кронекера повністю заборонити теорію трансфінітних множин Кантора, спроб її істотній ревізії, зроблених інтуіціоністи і конструктивистами, і до сподівань побудувати логічно бездоганне підставу цієї теорії логицистами і формалістами. 

 Як буде показано, жодна із запропонованих програм порятунку теорії множин Кантора не досягла своєї мети. Однією з причин такої невдачі можна вважати поділяє вся фахівцями, які працюють в області обгрунтування математики, загальне оману, що математика повинна мати єдине і достовірне підстава - джерело, з якого вона могла б гарантовано отримувати свої істини. Математика не тільки не має такої підстави, але вона також не має раз і назавжди заданого універсуму своїх об'єктів та операцій над ними. Створення неевклідових геометрій ясно показало, що математика має справу з безліччю можливих моделей, жодна з яких не є для неї більш фундаментальною, ніж інша. Математика, як ніяка інша наука, - в дуже високого ступеня замкнута і незалежна від безпосереднього впливу практичних потреб, саморозвивається і самодетермінірующаяся область знання, зовнішні (психологічні, культурні, соціальні ^) причини для якої є важливими, але не визначальними. ' 

 Іншою причиною невдач робіт в області обгрунтування математики можна назвати відсутність ясного розуміння, що таке математична нескінченність. Основний результат, до якого зазвичай приходять в процесі обговорення цієї проблеми, - це неприпустимість актуальної нескінченності через її принципової ненаблюдаемости і непроверяема в нашому кінцевому досвіді. Але чи не є такий виняток свідомої або несвідомої поступкою старої зжитої позитивістської догмі про реальність виключно кінцевих об'єктів і ілюзорності нескінченного? Адже абсолютно очевидно, що потенційна нескінченність протиставляється актуальною 8 як істинної тільки тому, що вона, як пояснював ще Кантор, і не залишає межі звичайно- го, тобто, по суті, і не є нескінченністю. Таким чином, реальна проблема, що лежить в основі суперечок про законність актуальної нескінченності, полягає в тому, що до цих пір відсутня загальноприйняте і задовільне пояснення зв'язку кінцевого і нескінченного. 

 Третьою причиною методологічної кризи математики на початку XX в. стало виявили невідповідність використовуваних більшістю математиків логічних засобів - аристотелевой логіки - задачам конструювання нових математичних об'єктів і теорій. Аналіз трансфінітних множин зажадав уточнення не тільки закону виключеного третього, але і меж застосовності всієї класичної логіки. Зусиллями Фреге, Рассела і Уайтхеда була створена символічна логіка - один з найбільш значних результатів математичної думки цього часу. 

 Таким чином, розглянутий криза не похитнула побудовану будівлю математики. Навпаки, він сприяв більш швидкій розробці необхідних концептуальних засобів для асиміляції нових відкриттів і більш швидкому прогресу математики як науки. 

 Інформація, релевантна "Криза математики на початку XX століття"

1. Глава перша. ТЕОРІЯ ДЕРЖАВИ І ПРАВА ЯК про-громадської НАУКА
     Предмет теорії держави і права. Місце і функції тео-рії держави і права в системі наук, які вивчають державу і право. Сучасний стан теорії держави і права. Загальна теорія держави як частина теорії держави і права. Еволюція вітчизняної теорії держави і права. Сучасна методологія теорії держа-ви і права. Значення теорії держави і права для формування
   
2. Глава шоста. ФУНКЦІЇ І забезпечує їх СТРУКТУРНА ОРГАНІЗАЦІЯ ДЕРЖАВИ
     Поняття, зміст і ознаки функції держави. Общесоциальное, класове і національне у функціях держави. «Вічні питання» життя суспільства і функції держави. Еволюція функцій держави. Класифікація функцій. Структура держави, що забезпечує виконання функцій. Система органів держави. Державний апарат. Бюрократія і функції держави. Функції держави,
   
3. А. В. ЛогіновК історико-філософський ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ТЕРМІНА "АНТРОПОЛОГІЯ"
     Слід відразу обмовитися, що в даній статті йде мова не про різноманітних навчаннях про людину, в яких не було недоліку, як на Заході, так і на Сході, а про історію самого терміна "антропологія" і про кристалізації, пов'язаної з цим терміном, науки про людину. Наука про людину, що з'явилася в Новий час (з XVIII в. - Мартін Бубер, наприклад, пов'язує заснування науки «антропологія» з Н.
   
4. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
     Праобразом і первофеноменом людської культури є міфологія. Властиве їй поетично-казкове сприйняття світу зберігається і в раціонально-умоглядних системах ранньої філософії, на що не раз вказували дослідники. Але вже в первісній науці, зазначає А.Ф. Лосєв, «є деяка сума цілком певні устремлінь свідомості, які активно не хочуть бути міфологією, які
   
5. МЕТОДОЛОГІЧНІ ПРОБЛЕМИ РОЗУМІННЯ ДУХУ І ДУХОВНОСТІ У метафізиці
     Сильною стороною метафізики є те, що вона не мислить духовності поза співвідношення душі і об'єктивного Духа, справедливо вважаючи, що лише через їх взаємодію в кожному конкретному випадку тільки і можна визначити її зміст. До тих пір поки Дух покладається свободнодействующім в людині, питання про духовність не виникає або, принаймні, не є таким актуальним.
   
6. 1. Теоретичні передумови формування філософсько-історичної концепції Вл. Соловйова
     Володимир Соловйов - найбільша фігура російської філософії та публіцистики II половини XIX століття. Він народився в м. Москві 16 січня 1853 в сім'ї найбільшого російського історика С.М. Соловйова, автора найвідомішого 29-томної праці «Історія Росії з найдавніших часів». Мати Вл. Соловйова, Поліксена Володимирівна, походила з українсько-польського роду і мала своїм предком чудового мислителя
   
7. Цивілізація Стародавньої Греції.
     Своєрідність грецької цивілізації полягає в появі такої політичної структури, як «поліс» - «місто-держава», що охоплює саме місто і прилеглу до нього територію. Поліси були першими республіками в історії всього людства. Численні грецькі міста були засновані і по берегах Середземного і Чорного морів, а також на островах - Кіпрі та Сицилії. У VIII-VII ст. до н.
   
8. Енергоінформаційні зв'язку в природі і самоізоляція людства
     Розглядаючи особливості тієї частини феноменів, яку допустимо віднести до прояву на Землі невідомих розумних сил, необхідно визнати, що природа цих феноменів залишається непізнаною. Точно так само невідомий механізм ще цілого ряду АЯ, в числі яких телекінез, телепатія, гіпноз, левітація, прімагнічіваніе предметів до тіла, ясновидіння, проскопія, геопатогенні зони, біолокація,
   
9. 2. ЦЕЙ НОВИЙ ДРЕВНІЙ СВІТ
     Філософія історії - непроста наука. Її численні загадки і парадокси прямо пов'язані з унікальним статусом людини в світі, свободою її волі. І в той же час - з набагато більш передбачуваними, хоча аж ніяк не елементарними, законами розвитку складних систем. Життєздатність же подібних систем, в свою чергу, багато в чому пов'язана з їхньою внутрішньою неоднорідністю, "квітучої складністю",
   
10. «Механізм» вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
      Проаналізувавши докладно особливості екологічного підходу Дж. Гібсона і припустивши існування механізму екологічного компоненту в соціальній установці, ми повинні обгрунтувати способи аналізу та вилучення можливостей навколишнього світу механізмом екологічного компоненту. Цей компонент повинен мати здатність аналізу можливостей і вибору можливостей для формування соціальної
    
11. 2.1. «НОВА ФІЛОСОФІЯ» В КОНТЕКСТІ постмодернізму
      Вступ людства в нове тисячоліття своєї історії супроводжувалося не тільки грандіозними урочистостями і очікуваннями змін, а й попередженнями про численні проблеми, які очікують цивілізацію і загрожують культурі. Сформована ситуація в деяких аспектах повторює те передчуття кризи, яке охопило частину інтелігенції на порозі XX в. Це передчуття незабаром підтвердилося:
    
12. Філософія Стародавньої Греції.
      Перш, ніж приступити до характеристики давньогрецької філософії, слід показати її відмінність від давньосхідної філософії. 1. Східна філософія розвивалася головним чином у лоні релігії. Антична філософія відразу зайняла по відношенню до релігії різко відокремлену позицію. 2. Східна філософія тяжіла, як правило, до морально-етичного напрямку, до повчань і настанов
    
13. 2. «Так чи знаєте Ви, що таке Росія?»
      Проблема держави, форми політичної влади, характер взаємини його з суспільством в цілому та окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
    
14. Микола II
      З усіх імператорів XIX століття Микола II (1868-1918), ймовірно, найменше відповідав ролі керівника великої Росії. Особу його мало підходила для складного часу рубежу XIX-XX ст., Часу соціальних, революційних і міжнародних бур. Зріст (1,7 м) і фігура Миколи II були далеко не царствені і набагато менш вражаючі, ніж у всіх попередніх імператорів. Зовні він справляв
    
15. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
      Реальна картина суспільно-політичному житті Росії 60-90-х років XIX в. була до невпізнання перекручена і в історичній науці, і в шкільних підручниках, і в громадській думці. Це відбувалося від того, що революційний рух, революційна боротьба показувалися, по-перше, єдино вірним напрямком суспільно-політичного життя, а, по-друге, превалюючим над іншими напрямками,
    
16. 9. Реформи і контрреформи в X IX столітті
      Розвиток Росії в XIX столітті йшов в зіткненні кількох альтернативних варіантів: збереження кріпосницьких порядків (застій, стагнація); реформування країни шляхом скасування кріпосного права, введення буржуазних свобод, конституційного обмеження самодержавства («революція згори»); революційний переворот силами демократичної інтелігенції при опорі на соціальний протест пригноблених мас або
    
17. 1.Економіка і соціальна структура
      Розвиток капіталізму в Росії та інших країнах породило проблему його типології. Сучасна методологія розгорнула цю проблему в концепцію трьох ешелонів. Відповідно до цієї концепції можна говорити про три моделі (ешелонах) розвитку світового капіталізму: - ешелон розвиненого, класичного капіталізму - Англія, Франція, США, Канада, Австралія; - ешелон становлення буржуазних відносин в переплетенні з
    
18. 2. Революція 1905-1907 рр..
      Так що ж таке революція? Яке її вплив на життя суспільства? Сучасне, на наш погляд, досить змістовне визначення революції як суспільно-історічес-кого феномена дано в філософській праці М.Л. Тузова «Революція і історія» (Казань, 1991). Виходячи з досягнутого у вітчизняній і зарубіжній революціологіі і враховуючи наявні різночитання у визначенні революції, автор під
    
19. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
      Жовтневі події 1917 року стали подіями світового значення, але історики ще довго будуть сперечатися і розходитися в їх оцінках. Жовтень 1917 опинився в центрі гострої ідейної та політичної боротьби, що розгорнулася зараз в нашій країні. Більшість дослідників представляє жовтня 1917 революцію * не тільки як найважливіша подія XX століття, відбивало вікові устремління людства до свободи,
    
20. 5. Громадянська війна. Політика «воєнного комунізму» (1917-1921 рр..)
      До середини 80-х років у радянській історіографії історія громадянської війни незмінно розглядалася з позицій звитяжних переможців - «червоних» над «білими» та іноземними інтервентами. А в сталінський час вона була наповнена чималим числом міфів і легенд і одночасно умовчаннями про дійсні події, полководців і воєначальників. У військово-історичних дослідженнях, як правило, не