|
Одним з найбільш фундаментальних і разом з тим дивовижних властивостей математики називають необхідність її тверджень. Пояснюючи це властивість, Лейбніц вказав на чотири особливості логічних і математичних суджень, які відіграли згодом вирішальну роль в становленні програми логіцізма. По-перше, логічні і математичні істини необхідні, тому що їх логічне заперечення веде до протиріччя. Заперечувати, що «холостяки є неодружені чоловіки» або «2 + 2 = 4», означає стверджувати протиріччя. По-друге, логічні і математичні істини як істини розуму допускають у кінцеве число кроків редукцію до «тотожним істинам» 38. Наприклад, довести судження «2 + 2 = 4» означає звести його до тотожності виду «1 = 1». Ненеобходімие (випадкові) істини подібні несумірним відрізкам, і їх редукція до істин тотожності потребує тому в нескінченному числі кроків і доступна тільки Богу. По-третє, редукція логічних і математичних істин до істин тотожності вимагає побудови формального числення для виведення наслідків з прийнятих аксіом. «Мені ж, неспокійного, вже давно з усією очевидністю представилося і щось важливіше, а саме, що всі людські думки цілком вирішуються на деякі, як би первинні; що якби цим останнім були поставлені у відповідність характери (сімволи. - В. С .), то з них могли б утворюватися характери похідних понять, з яких завжди могли б вилучатись всі їх реквізити і вхідні в них первинні поняття, і те, що я називаю визначеннями або значеннями, а рівним чином і слідства, доказові з цих визначень. Якби все це було здійснено, то кожен, хто користувався б у процесі міркування і писання такого роду характерами, або ніколи не помилявся б, або сам не гірше інших за допомогою нескладних викладок виявляв свої помилки; до того ж, він приходив би до відкриття істини, оскільки вона випливає з даних.
.. »39По-четверте, будучи аналітичним за своєю суттю, критерій необхідності Лейбніца надає логіці і математиці автономний характер, принципово відокремлює їх від всіх інших наук. Проблема обгрунтування логіки і математики, на відміну від всіх інших наук, стає суто внутрішньою справою даних дисциплін. Вони не потребують зверненні до досвіду, інтуїції, психології сприйняття (пізнання). Ідеї Канта про синтетичному характері математичних суджень, конструктивної природу математичного знання, незалежності математики від логіки не похитнули впевненості логи-цист кінця XIX і початку XX ст. в аналітичному характері математики і логіки, але зажадали від них додаткового прояснення питання про співвідношення між собою логічних і математичних істин. Враховуючи сумісність останніх, можливі три варіанти їх відносин. Або логічні і математичні істини утворюють один і той же клас, або логічні істини є підкласом математичних істин, або, навпаки, математичні істини утворюють підклас логічних істин. Згідно логицистами перший і другий варіанти відпадають, тому що, на їх думку, не кожна логічна істина є математичною. Залишається третій варіант: математичні істини суть логічні істини; вони - наслідки правильно побудувати-енного логічного числення. Виведення нових математичних істин відбувається механічно за допомогою маніпуляції символами з раніше відібраних, названих аксіомами. Всі етапи отримання нового знання контрольовані, виникнення парадоксів виключається за визначенням. Помилки можливі лише через відсутність належної уваги і легко ісправляеми. Програллма логіцізма: математика як прололженіе логіки Припущення про суто внутрішньому, т.
е. чисто логічному, підставі необхідності математики становить ідейну основу логіцізма як особливої програми обгрунтування математики. Ця ідея об'єднує логицистами з Лейбніцем. Відрізняє їх ретельність логічної розробки цієї ідеї. Тотожну істину Лейбніца, тобто судження, в якому обсяг суб'єкта повністю включений в обсяг предиката, Фреге перетворює на аналітичне висловлювання. Висловлення - аналітичне, якщо воно виводиться із загальних законів логіки і пов'язаних з ними визначень. Відповідно редукція Лейбніца до тотожної істині замінюється Фреге доказом аналітичного характеру розглянутого висловлювання. Довести, що математика є частина логіки, з логіцістской точки зору означає показати, що всі поняття і судження математики суть. Аналітично істинні сутності.Спроби докази аналітичного характеру математики привели логицистами до створення нової логіки. Саме це слід вважати найважливішим результатом реалізації логицистами своєї програми. Деталі цієї логіки (у сучасному оформленні) викладені у додатку до даної роботи. Вона суттєво відрізняється від традиційної логіки і дозволяє вирішувати завдання якісно іншого рівня. Основні тези програми логицистами: - Всі поняття математики визначаються в термінах понять логіки. - Все теореми математики виводяться з логічних аксіом.
|
- Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера
логіцизм). Йнтуіціоністи визнають як джерело точності математики людський інтелект, формалісти - папір. «У філософії Канта ми знаходимо стару форму інтуїционізма, нині майже відкинуту, в якій час і простір вважаються апріорними формами чуттєвості, природженими людському розуму. Для Канта аксіоми арифметики і геометрії - апріорні синтетичні судження, тобто
- Формалізм. Математика як створення формально несуперечливих конструкцій
логіцизм і інтуіціонізм (конструктивізм). Лейбніц шукав джерело самоочевидності математичних тверджень в логічних відносинах між судженнями і поняттями. Кант бачив таке джерело в апріорних формах чуттєвого споглядання. Якщо Лейбніц по праву вважається основоположником логіцізма, то Кант волею долі став основоположником одразу двох напрямків в обгрунтуванні математики - інтуїционізма
- ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
математики, а потім і у фізиці об'єктів і сутностей з неясним онтологічним статусом. Ці об'єкти були результатом спроб подолати традиційні протилежності спокою і руху, кінцевого і нескінченного, дискретності і континуальности. Так з'являються нескінченно мала швидкість Галілея, нескінченно мала величина Ньютона і Лейбніца, поняття сили. Без оперування цими сутностями зароджується
- 2. ЦЕЙ НОВИЙ ДРЕВНІЙ СВІТ
математики, в цілеспрямованій організації і навіть прямому провокуванні фінансово-економічних пертурбацій ... В результаті в смисловому полі світової економіки, поряд з настільки значущими для неї реаліями світової резервної валюти і глобального боргу, здається , сформувався третій, самостійний, досить значний феномен глобального ризику. Одночасно промальовувалися та інші вражаючі
- 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
математики, як і метафізика, містить не тільки чуттєві, а й надчуттєві об'єкти (сутності). Розум при цьому, виробляючи судження про них, не виходить за межі можливого досвіду не тільки при конструюванні математичних понять, як це вважав Кант, але і при їх сімволізірованія. Аналогічно йде справа при сімволізірованія надчуттєвих об'єктів метафізики і теології. У процесі
- Емпіричне і теоретичне.
Математиці це "число"; у фізиці - "поле" і т.д. , На основі яких будується її теоретична система. Має власну понятійну систему і філософія, ключові поняття якої відрізняються найбільш високим рівнем
- Теоретичні методи.
Математиці і логіці - це абстракція актуальної нескінченності і потенційної здійсненності; в кібернетиці - "чорної скриньки" та ін Вони володіють особливими рисами і водночас подібними властивостями з перерахованими вище видами абстракції. Звернемося до методам_аналіза та синтезу. Аналіз - це уявне розділення даного нас об'єкта або його аспектів на окремі частини з метою їх
- Інтуїционістськая математика
математики, - відзначає Вейль, - маються два оголених пункту, в яких вона, може бути, стикається зі сферою незбагненного (бесконечного. - В. С.). Це саме принцип побудови ряду натуральних чисел і поняття континууму. Все інше: перехід від натуральних чисел до негативних і дробовим, так само як і введення уявних і гіперкомплексних ве-личин, являє собою задачу формальної
- Проблема обгрунтування математики
логіцізма (підстава математики - в логіці), інтуїционізма (підстава математики - в апріорної інтуїції часу), конструктивізму (підстава математики - в точній приписі, званому алгорифм) і формалізму (підстава математики - у поданні її у вигляді обчислення), які докладно аналізі-руются нижче. Для повноти картини до них слід додати так званий платойістскій погляд на
- Інтуіціонізм і конструктивізм. Математика як створення інтутівно і алгоріфміческі очевидних конструкцій
математиків об'єднує загальне переконання, що надійність математичних побудов гарантується тільки тоді, коли математика досліджує доступні нашій свідомості кінцеві об'єкти, що допускають кінцеві та ефективні операції над ними. Найвідомішим варіантом некласичної математики першої половини XX в. є интуиционистская математика Брауера. У другій половині цього століття з'явилися
|