Проблема обгрунтування математики

Добре, що існують логіки і інтуїтивісти; хто ризикне стверджувати, що він волів би, щоб [логік] Вейерштрасс ніколи не пісая або щоб [Інтуїтивіст] Рімана не було? Таким чином, ми повинні примиритися з різноманітністю умів або, ще краще, ми повинні йому радіти.

А. Пуанкаре. Наука і метод

Основной принцип наукового дослідження полягає в тому, що жодне висловлювання, жодна теорія не приймаються науковим співтовариством без достатніх підстав. Однак у ряді всіх наук математика займає особливе місце. Її твердження не просто істинні, а необхідно істинні. У чому джерело необхідності математичних тверджень? Що може служити достатньою підставою їх прийняття? - Відповіді на ці принципові питання утворюють зміст проблеми обгрунтування математики. Було запропоновано безліч відповідей, більшість яких джерело необхідності математичних істин бачить в особливостях математичного знання і відповідно до цього розвиває особливу програму обгрунтування математики. Це насамперед програми логіцізма (підстава математики - в логіці), інтуїционізма (підстава математики - в апріорної інтуїції часу), конструктивізму (підстава математики - в точній приписі, званому алгорифм) і формалізму (підстава математики - у поданні її у вигляді обчислення), які докладно аналізі-руются нижче. Для повноти картини до них слід додати так званий платойістскій погляд на природу та особливості математичних об'єктів, концепцію самоочевидності математичних теорій і змпірістскую доктрину необхідності математичного знання.

Згідно платоністов, які не утворюють самостійного напрямку і можуть належати до різних шкіл обгрунтування математики, математика має справу з об'єктами особливого роду, реальність існування яких абсолютно не залежить від природної дійсності або принаймні не нижче рівня реальності природних об'єктів. На думку логицистами Фреге, завдання математика полягає у відкритті того, що вже існує насправді, а не в конструюванні того, чого не було раніше. «Математик в змозі створити що завгодно в настільки ж малою мірою, як і географ; він також може лише виявити те, що є, і дати цьому назву ... У арифметиці ми займаємося предметами, які не як щось чуже відомі нам ззовні через посередництво почуттів, але які дані безпосередньо розуму ... Немає нічого більш об'єктивного, ніж арифметичні закони »1.

Творець теорії множин Кантор розглядав нескінченні множини як об'єкти, як щось, подібне ідеям Платона. «... Під 'різноманіттям' або 'безліччю' я розумію взагалі всяке багато чого, яке можна мислити як єдине, тобто яку сукупність певних елементів, яка може бути пов'язана в одне ціле за допомогою деякого закону, і таким чином я думаю визначити щось, споріднене платоновскому 'ей-Досу' або 'ідеї * ... ».2 Платонізм Кантора був прямим наслідком прийняття допущення актуальної нескінченності.

У новітній час платоністскую позицію в математиці захищав Гедель, називаючи її математичним реалізмом. «... Класи і поняття можна мислити як реальні об'єкти, тобто класи як" безлічі речей ', або як структури, що складаються з безлічі речей, а поняття як властивості речей і відносини між ними, що існують незалежно від наших визначень і конструкцій .

Мені здається, що допущення таких об'єктів так само законно, як і допущення фізичних тіл, і є всі підстави вірити в їх існування. Вони необхідні для отримання задовільною системи математики в тому ж сенсі, в якому фізичні тіла необхідні для задовільної теорії наших чуттєвих сприйнять ... »2

Незадовільність платоністской точки зору на обгрунтування математики. полягає в тому, що вона не пояснює, а постулює необхідність існування певних об'єктів. Насправді будь-яка математична теорія залежить від безлічі припущень, що робить об'єкти, існування яких вона стверджує, не абсолютно, а тільки умовно необхідними.

Аксіоматичний характер багатьох 'математичних теорій, а також особливий статус аксіом в дедуктивної системі, їх незалежність від досвіду наштовхують деяких математиків на припущення, що необхідність математичних суджень є наслідком їх самоочевидності. Даний критерій сходить, по крайней міру, до Декарта, який стверджував, відповідаючи своїм опонентам: «Все, що я сприймаю ясно і чітко, по необхідності істинно» 3. Розгорнуту захист концепції самоочевидності математичних істин дав Лейбніц. На його думку, в основі самоочевидності лежить та обставина, що всі математичні істини суть тотожні, тобто необхідно істинні, справжні самі по собі, затвердження. Їх заперечення, отже, завжди брехливо. «Безперечно, що тотожні пропозиції є першими з усіх і не допускають ніякого докази, будучи тим самим істинними самі по собі ... І очевидно, що всі необхідні, або вічно істинні, пропозиції є віртуально тотожними, - ті, звичайно, які можуть бути доведені з одних тільки ідей або визначень ... тобто можуть бути зведені до перших істин, так що виявиться, що протилежне містить в собі протиріччя і приходить в зіткнення з яким-небудь тотожністю, або перший істиною »4.

На жаль, незважаючи на всі зусилля раціоналістів, критерій самоочевидності сам не є самоочевидним. Як добре знають вивчали математику, не всі математичні істини самоочевидні. Зовсім не очевидно, чому квадратний корінь з двох не є раціональним числом. Крім того, деякі істини, особливо пов'язані з теорії нескінченних множин, не тільки не самоочевидні, але і вступають в явне протиріччя з нашою інтуїцією кінцевого. Нескінченний досвід поколінь переконує, що частина завжди менше целого5. Проте визначення нескінченності вимагає прийняття прямо протилежної допущення: безліч нескінченно, якщо і тільки якщо існує власне підмножина (не рівне всього безлічі), яке знаходиться у взаємно однозначній відповідності зі всім безліччю.

Усім зазначеним поглядам на причину математичної необхідності протистоїть точка зору, згідно з якою математика, якщо не за походженням своїх абстракцій, то за своїм методом, «- емпірична наука. Д. С. Мілль6 в XIX в., Л. Кальмі & р7і І, Лакатос8 в XX в. найбільш послідовно, хоча і з некото-римі відмінностями один від одного, відстоювали цю точку зору. Основні аргументи її захисників такі. Якщо математика - наука, то вона, як і всі інші науки, має бути досвідченою за походженням, її метод повинен бути подібний загальнонауковому і ступінь необхідності її положень не може перевершувати ступінь необхідності природничонаукових теорій. Математична необхідність є не більше ніж необхідність проходження теорем з посилок, званих аксіомами. Але це вже не онтологічна, а логічна необхідність. До математики у власному розумінні вона не має прямого відношення.

Незадовільність емпіричного обгрунтування математики випливає з того, що математичні судження не просто істинні, а істинні з необхідністю. Необхідність же може бути наслідком тільки необхідності . Але досвідчені судження не є необхідно істинними і не можуть служити формальною підставою істинності математичного знання.

Можна тому погодитися з наступною оцінкою перспективності емпіричного обгрунтування математики. «Вірно, що математика в кінцевому рахунку відображає об'єктивний світ, але вона (як наука) має свою специфіку в порівнянні з емпіричними науками, і тому не можна ототожнювати методи розвитку та обосно-вання математики з методами розвитку та обгрунтування емпіричних наук. Методи математики і природознавства в певній мірі подібні, але не ідентичні, що пов'язано насамперед з тим обставиною, що ідеальні моделі просторових форм і кількісних відносин дійсності, що є в кінцевому рахунку предметом математики, не дані нам безпосередньо емпірично »11.

Окрім необхідності, математичне знання володіє і іншими особливостями, також впливають на побудову програми обгрунтування.

Математична теорія - змістовна або формальна дедуктивна система, керована невеликим числом аксіом. Кожна математична аксіома - абстракція відносин між природними або соціальними об'єктами. Природа ідеалізації така, що ніякий досвід не відповідає їм з абсолютною точністю. Всяка спроба провести ідеально пряму лінію, скажімо на папері, приречена на невдачу. З одного боку, ідеалізації - продукти творчої уяви, але ніяк не результати спостереження, узагальнення та систематизації даних досвіду. З іншого боку, тільки завдяки ідеалізації математичне доказ стає необхідним і універсально придатним.

У дедуктивних системах аксіоми виконують функцію посилок, з яких за допомогою спеціальних правил виводяться слідства (теореми). На відміну від природничо-наукових теорій, в яких істинність посилок залежить від істинності їх наслідків, у математичних теоріях все навпаки - істинність теорем повністю обумовлена істинністю аксіом, з яких вони випливають. Значить, істинність математичних тверджень залежить не від досвіду, а від істинності аксіом. Останні обгрунтовуються або за допомогою інтуїції, або визнаються апріорними конструкціямі52. Таким чином, в переважній кількості випадків специфіку математики прийнято бачити в необхідності і незалежності її тверджень від досвіду, інтуїтивному або апріорному походження її аксіом. Залежно від того, які особливості математиче-ського знання виділяються в якості специфічних, будується конкретна програма обгрунтування математики.

Процедура обгрунтування математики формально має характер наступної нерозв'язною дилеми. Математичне знання, як і всяке інше знання, потребує зовнішнього обгрунтування. Бо ясно, що математика не є самодостатньою, самої себе обгрунтовує наукою. Але, будучи необхідною, математика не може бути обгрунтована нічим зовнішнім, емпіричним, бо останнім принципово не є необхідним. Вирішити цю дилему неформально означає довести, як математичне знання досягає необхідності (аподікгічності), хоча його передумови самі не є необхідно істинними.

Інформація, релевантна " Проблема обгрунтування математики "

1. Передмова
   проблема обгрунтування математики вважалася однією з найбільш пріоритетних, і кращі математичні уми витратили чимало часу на пошуки її адекватного рішення. У результаті були отримані фундаментальні результати, що мають видатне філософське значення. У посібнику подано докладний аналіз чотирьох провідних програм обгрунтування філософії XX століття - логіцізма, інтуїционізма, конструктивізму і
   
2. Поняття вікової неосудності.
   Проблема (зв'язок відставання в психічному розвитку з механізмом конкретного злочинного поведінки через неповне усвідомлення його суспільної небезпеки) вимагає поглибленої методичної опрацювання, що включає як кримінологічний аспект проблеми (аналіз механізму злочинної поведінки, мотивація цієї поведінки, ситуація вчинення злочину тощо), так і психологічний аналіз спроможності
   
3. Глава перша. ТЕОРІЯ ДЕРЖАВИ І ПРАВА ЯК про-громадської НАУКА
     проблематика прав і свобод людини, пріоритет прав окремого індивіда, особистості над правами колективних утворень - держави, нації, народу. У нових конкретно-історичних умовах відбулася зміна поглядів багатьох суспільствознавців на марксизм-ленінізм, в тому числі на його роль і значення в описі, поясненні і прогнозі державно-правових явищ і процесів. Такі, здавалося б,
   
4. А. В. ЛогіновК історико-філософський ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ТЕРМІНА "АНТРОПОЛОГІЯ"
     проблемою життєвого світу: вона не прагне тепер бути ні теоретико-пізнавальним інструментом математичних наук, ні способом традиційної шкільної метафізики. Оскільки цей двоїстий відмова заново реалізується як звернення до життєвому світу, оновлюється і конкуренція між філософією життєвого світу, філософією історії та антропологією. У певному наближенні альтернатива тут така:
   
5. Наука. Проблема демаркації наукового і ненаукового знання
     проблематізацію відносин людини і природи, забрудненням навколишнього середовища - плата людства за ті технічні досягнення, якими воно користується. У науці традиційно виділяють два напрями - фундаментальне і прикладне. Фундаментальна наука спрямована на отримання знання про найбільш загальні принципи устрою світу. Завдання прикладної науки - вирішувати конкретні завдання, пов'язані з
   
6. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
     проблему виправдання теоретичного знання. У міру формування науки як системи висловлювань, зафіксованих на особливому мовою і відносяться до предметів, що знаходяться в експліцитно умовах спостереження, складається особливий вид концептуалізації - побудова теорій. Перехід до цього нового виду концептуалізації пов'язаний з істотною перебудуй-кой менталітету вчених. Наукове свідомість набуває
   
7. Евристичної розмови
     проблемного навчання особливе місце займає евристична бесіда. Її творцем вважається Сократ, на честь якого бесіда іменується також сократіческой1. Евристична бесіда має двухтисяче-річну історію, однак найбільш продуктивний період її вивчення почався з середини 50-х років XX століття у зв'язку з розробкою концепції проблемного навчання. У загальній педагогіці її досліджували І.Я. Лернер, М.Н.
   
8. ПРЕДМЕТ, СТАТУС ФІЛОСОФІЇ РЕЛІГІЇ. ФІЛОСОФІЯ РЕЛІГІЇ І РЕЛИГИОВЕДЕНИЕ
     проблематика і сукупність методів. Важливе місце в релігієзнавчому комплексі займає історія релігії. У найпростішому вигляді, як збір фактів щодо конкретних вірувань, культів її можна звести ще до Геродоту, описуються особливості релігійного життя сучасних йому народів. Сьогодні історія релігії претендує на інший статус. Це велика область знань, що досліджує динаміку
   
9. Словник термінів
     проблем масового характеру. АРГУМЕНТ - логічний довід, службовець підставою докази. АСПЕКТ - точка зору, з якої розглядається предмет, явище, поняття. ВЕРИФІКАЦІЯ - перевірка, емпіричне підтвердження теоретичних положень науки шляхом зіставлення їх з спостерігаються об'єктами, чуттєвими даними, експериментами. ГЕРМЕНЕВТИКА - напрям у методології
   
10. ЗМІНА ТЕХНОЛОГІЙ І СПОСОБІВ Взаємодія СУБ'ЄКТІВ ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ
      проблем інформаційного суспільства. В якості технологій, що забезпечують підготовку школярів до життя в інформаційному суспільстві, виступають поряд з інформаційними технологіями нові гуманітарні технології: розвитку критичного мислення через читання та письмо, рефлексивного навчання, проектування, навчання за допомогою вирішення ситуаційних завдань; педагогічного супроводу, діалогу,