|
Ні актуальної нескінченності. Кантор-анци (послідовники засновника теорії множин Г. Кантора. - В. С.) забули це і впали в протиріччя, А. Пуанкаре. Наука і метод Усіх некласичних математиків об'єднує загальне переконання, що надійність математичних побудов гарантується тільки тоді, коли математика досліджує доступні нашій свідомості кінцеві об'єкти, що допускають кінцеві та ефективні операції над ними. Найвідомішим варіантом некласичної математики першої половини XX в. є интуиционистская математика Брауера. У другій половині цього століття з'явилися концепції некласичної математики, або частково, або повністю незалежні від інтуїционізма Брауера, - школи А. А. Маркова і Е. Бішопа відповідно. Відкриття парадоксів класичної теорії множин змусило одних математиків шукати рішення виниклої проблеми в її аксиоматизации, інших - у вдосконаленні її логічних методів, третій - в доказі логічної несуперечності всієї математики. При цьому математика розглядалася як наука, загальні принципи якої правильні і не можуть піддаватися сумніву. Але знайшлися дослідники, які отримали пізніше ім'я неокласиків, які порахували парадокси теорії множин симптомом не окремих приватних «неполадок», а ознакою хибності всієї класичної математики. «Математики, які дотримуються цієї позиції, стверджують, що в математиці - особливо в сучасній математиці - недостатньо обгрунтовані поняття нескінченності і витікаючі з нього слідства; в той же час вони визнають, що для математики - на відміну від майже всіх інших наук - це поняття є настільки життєво необхідним, що величезна більшість математичних фактів, що не мають відношення до нескінченності, чи не тривіально. На думку цих математиків, в аналізі і геометрії по ходу їх розвитку з XVII століття, а особливо з початку XIX століття, особливий характер поняття нескінченності і його наслідків абсолютно ігнорувався, так що слившіе строгими методи теорії дійсних чисел і аналізу, введені в математику в XIX столітті - від Коші до Вейерштраса і Кантора, - не тільки не досягали поставлених перед ними цілей, але привели до створення розробленої системи, заснованої на абсолютно помилковою тенденції звертатися з нескінченністю за допомогою засобів, вироблених для кінцевих сукупностей. Таким чином, виникла якась помилкова концепція математики в цілому »61. Незаконна нескінченність, що перетворила математику в помилкову науку, - поняття актуальної нескінченності, введене Кантором. Всяка спроба висловити і оперувати закінченою нескінченністю в кінцевому словнику символів неминуче призводить до суперечностей. Ніяка логіка не здатна запобігти їх появі. Іншими словами, актуальна нескінченність принципово несумісна з кінцевим характером наших розумових процедур.
Пуанкаре висловив цю несумісність найбільш яскраво. «Чи можна міркувати про об'єкти, які не можуть бути визначені кінцевим числом слів? Чи можна навіть говорити про них, знаючи, про що говорять, і вимовляючи щось інше, ніж порожні слова? Або ж, навпаки, їх слід розглядати як непізнавані? Що стосується мене, то я не вагаюся відповісти, що вони просто не існують. Всі об'єкти, які ми зможемо коли-небудь собі уявити, або будуть визначені кінцевим числом слів, або ж будуть визначені тільки недосконале і залишаться невіддільними від маси інших об'єктів; і ми не можемо досліджувати їх логічно строго до того, як ми їх відділимо від цих інших об'єктів, з якими вони залишаються пов'язаними, тобто до того, як ми прийдемо до визначення їх кінцевим числом слів »62.У ширшому розумінні поняття актуальної нескінченності суперечить кінцевої природі людини як пізнає істоти. Прийняття цього поняття змушує його міркувати про завершені бесконечностях, даних разом з усіма своїми елементами, в термінах свого конечної-о досвіду, мови і здібностей. Замість того щоб припускати нескінченність як змінюється кількість, потенційно здатне збільшуватися або зменшуватися вище або нижче будь-якого встановленого рівня, актуальна нескінченність змушує прийняти допущення, що вищий чи нижчий рівні зміни кількості насправді вже подолані. Іншими словами, актуально завершена нескінченність самосуперечності. З одного боку, як завершена нескінченність, вона включає в якості власних елементів вищу і нижню межі, З іншого боку, за визначенням, у нескінченності таких елементів існувати не повинно. Адже якби вони існували, тоді розглянута нескінченна сукупність виявилася б кінцевої. Це пояснює, чому всі логічні визначення актуальної нескінченності приречені на помилку, відому під назвою «порочне коло», і отже, внутрішньо протиріччя. Протиріччя, властиве поняттю актуальної нескінченності, можна дозволити, тільки відмовившись від цього поняття. Значить, хибність математики, перебудованої на теоретико-множинному підставі, випливає з-за нав'язаного Кантором самосуперечності і тим самим помилкового підстави. Якщо виходити з кінцевої природи людини, кінцевого характеру скоєних ним розумових операцій, то новою підставою математики може бути, на думку неокласиків, тільки поняття потенційної нескінченності. За своїм визначенням це поняття припускає наявність як завгодно великий, але завжди кінцевої сукупності об'єктів і тим самим завжди кінцевого безлічі дій над цими об'єктами. Тим самим дане поняття забезпечує ефективність і принципову проверяемость всіх математичних тверджень, а значить, і неможливість виникнення в математиці парадоксів і антиномій.
«Всяка теорема математики повинна бути доступна перевірці. Коли я висловлюю ... теорему, я стверджую, що всі перевірки, які я випробую, приведуть до бажаного результату, і навіть якщо одна з цих перевірок вимагає праці, що перевершує людські сили, я стверджую, що якщо багато поколінь вважатимуть за потрібне зайнятися цією перевіркою, то і в цьому випадку вона вдасться. Теорема не має іншого сенсу; це залишається вірним і тоді, коли в її формулюванні йдеться про нескінченні числах, але так як перевірки можуть бути проведені тільки для кінцевих чисел, то звідси випливає, що всяка теорема, що відноситься до нескінченних множинам ... не може бути чим або іншим, як скороченим способом формулювання пропозицій, що відносяться до кінцевих числах. Якщо справа йде інакше, то ця теорема недовідна, а якщо вона недовідна, то вона не матиме сенсу »63.Поняття потенційної нескінченності забезпечує математики початок, внутрішньо властиве самій математиці, а не запозичене звідкись ззовні. Ніщо зовнішнє, включаючи досвід, мову і класичну логіку, не може служити таким початком. Тотальна реорганізація математики на основі даного початку - завдання, яке поставили перед собою нео-класики. Більш конкретно рішення цього завдання вимагало, висловлюючись словами Пуанкаре64: 1. Аналізувати тільки такі об'єкти, які можуть бути результатом кінцевих розумових побудов, тобто можуть бути визначені кінцевим числом слів. Такі об'єкти прийнято називати конструктивними. 2. Розглядати всі пропозиції, які стосуються нескінченності, як скорочене вираз пропозицій, що відносяться до кінцевих совокупностям об'єктів і дій. Сукупності утворювати допомогою послідовного додавання нових членів, рекомбінації старих і вважати їх нескінченними тільки через відсутність причин зупинитися. 3. Виключати в математичних побудовах непредикативні, тобто передбачають «порочне коло», класифікації та визначення. Отже, некласична математика - математика, що відмовляється від теорії 'множин Кантора, закону виключеного третього, поняття актуальної нескінченності і яка визнає поняття потенційної нескінченності як ідейний базис для своїх теорій. Основна ознака некласичної математики - конструктивність її побудов. Тому резонно іменувати її конструктивній математикою, або (математичним) конструктивізмом. Серед шкіл, складових некласичну математику, особливе місце займає інтуіціонізм Брауера. Історично він представляє першу і найбільш впливову концепцію конструктивної математики. Інші напрямки конструктивної математики виникли в спробі або поліпшити його (Д. ван Дален, А. С, Троелстра), або розвинути альтернативні версії конструктивізму (школи Маркова і Бішопа).
|
- Програма конструктивізму: математика як створення потенційно доказових конструкцій
Конструктивізм виник в останній чверті XIX в. в якості реакції на швидке поширення в цей період завдяки зусиллям Г. Кантора і Р. Дедекинда теоретико-множинних методів в математиці, заснованих на припущенні актуальної нескінченності. З самого початку конструктивісти відстоювали ідею про те, що це незаконно, протиприродно і що математичні об'єкти повинні бути
- Конструктивна математика Маркова і Бішопа
Зараз, коїда гігантська робота, виконана і самим Кантором, і рядом інших працювали слідом за ним видатних математичних мислителів, таких як JI. Е. Брауер, Д. Гільберт і А. А. Марков, відійшла в минуле і результати її стали загальним надбанням, нам все більш природною починає здаватися та - тепер уже дійсно проста - думка, що подібно кожному іншому складно влаштованому
- ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
Праобразом і первофеноменом людської культури є міфологія. Властиве їй поетично-казкове сприйняття світу зберігається і в раціонально-умоглядних системах ранньої філософії, на що не раз вказували дослідники. Але вже в первісній науці, зазначає А.Ф. Лосєв, «є деяка сума цілком певні устремлінь свідомості, які активно не хочуть бути міфологією, які
- Оцінка програми інтуїционізма і конструктивізму
Основна теза інтуіціоністи полягає в тому, що математика представляє збори інтуїтивно очевидних конструкцій, незалежних від математичної мови і логіки. Це піднімає питання про те, наскільки виправдано настільки жорстке протиставлення інтуїції логіці і мови, наскільки ефективний критерій інтуїтивної самоочевидності. Очевидно, що акцент на інтуїції був зроблений для введення в
- Проблема обгрунтування математики
Добре, що існують логіки і інтуїтивісти; хто ризикне стверджувати, що він волів би, щоб [логік] Вейерштрасс ніколи не пісая або щоб [Інтуїтивіст] Рімана не було? Таким чином, ми повинні примиритися з різноманітністю умів або, ще краще, ми повинні йому радіти. А. Пуанкаре. Наука і метод Основний принцип наукового дослідження полягає в тому, що жодне висловлювання, жодна
- 2. Проблеми науки і культури
У роки панування марксистсько-ленінської ідеології духовність розумілася як особливий вищий результат суспільно-історичної практики людей, як відображення буття, а головним завданням соціалістичної культури оголошувалося формування нової людини, будівника комунізму. Тому все духовне життя суспільства була ідеологізована і політизована. Особливо яскраво ця тенденція проявилася в післявоєнні
- Система управління кадрами.
Визначення Горо Морі: Управління персоналом - це систематичне, раціональне управління, яке підприємства-суб'єкти проводять, зрештою, для досягнення в довгостроковій перспективі цілей підприємства; безпосередньою метою є підтримка стабільного соціального порядку (організації) при веденні підприємством своєї господарської діяльності і як основи цього - ефективне
- 5.3. Індуктивні умовиводи І умовиводи ПО аналогії
Індуктивні умовиводи-це така форма мислення, за допомогою якої на основі повторюваного ознаки в окремих явищ робиться висновок про його приналежність всіх явищ даного класу; висновок в індуктивному висновку, як правило, носить імовірнісний характер. Лише повною індукції, коли повторюваний ознаку можна виявити у кожного явища даного класу, висновок про приналежність
- 2.Проблеми науки і культури
У роки панування марксистсько-ленінської ідеології духовність розумілася як особливий вищий результат суспільно-історичної практики людей, як відображення буття, а головним завданням соціалістичної культури оголошувалося формування нової людини, будівника комунізму. Тому все духовне життя суспільства була ідеологізована і полі-тизированной. Особливо яскраво ця тенденція проявилася в
- Структура наукового пізнання
Наукове пізнання має два рівні - емпіричний і теоретичний. На емпіричному рівні здійснюється встановлення та узагальнення наукових фактів, на теоретичному - їх пояснення. Основними методами емпіричного пізнання є спостереження, вимірювання та експеримент. Спостереження досліджує об'єкт в природних умовах. Воно може бути безпосереднє і опосередковане (за допомогою приладів та інших
- РОЗУМІННЯ ПЕРЕЖИВАННЯ У ФІЛОСОФІЇ І ПСИХОЛОГІЇ
На відміну від пізнавальної діяльності, де смислова сторона є домінуючою, в естетичному, моральному, релігійному досвіді саме переживання грає першорядну роль, так що аналіз цих форм духовного досвіду не може обійтися без дослідження емоцій, почуттів і переживань. Довгий час у філософії та психології панував погляд, згідно з яким у почуттях як
- § 1. Сутність проблемного завдання
У попередньому розділі ми говорили про те, що одночасно з дослідженнями проблемної ситуації йшли пошуки дидактичних засобів, що дозволяють з достатньою ймовірністю створювати проблемні ситуації в реальному процесі навчання. Одним з таких засобів стала проблемна задача. Вона і буде предметом обговорення в даній главі. Розглянемо кілька прикладів. У 3-му класі на уроках природознавства
- Проблемний виклад
Аналіз проблемної ситуації показує, що вона має широкі дидактичні можливості. Учитель повинен уміти цілеспрямовано створювати проблемні ситуації. Дидактика пропонує спеціальні засоби, які з великою ймовірністю гарантують їх штучне створення. Цими засобами є проблемна задача і проблемне питання. Однак проблемне навчання не буде реалізовано, якщо рішення
- ПРЕДМЕТ, СТАТУС ФІЛОСОФІЇ РЕЛІГІЇ. ФІЛОСОФІЯ РЕЛІГІЇ І РЕЛИГИОВЕДЕНИЕ
Те, у що люди вірять, є найважливішим аспектом реальності безвідносно до того, істинно воно чи ні. Н. Смарт, американський релігієзнавець Релігія - одна з найважливіших складових духовного досвіду людства - давно стала предметом пильної уваги і дослідницького інтересу. Сучасне релігієзнавство представляє собою великий комплекс дисциплін, предметом яких є
- ПРОЕКТУВАННЯ НАВЧАЛЬНОГО ПЛАНУ НА ОСНОВІ ІДЕЙ МОДЕРНІЗАЦІЇ ЗАГАЛЬНОГО ОСВІТИ
Модернізація системи освіти передбачає перехід освітніх установ на нові варіанти навчальних планів. Основними ідеями проектування навчальних планів, передбаченими документами з модернізації загальної освіти, є наступні: 1. Збереження і розвиток варіативної системи загальної освіти на різних рівнях - національно-регіональному, шкільному та індивідуальному.
- ЗМІНА ТЕХНОЛОГІЙ І СПОСОБІВ Взаємодія СУБ'ЄКТІВ ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ
Технології навчання розуміються в даній книзі як сукупність необхідної і відтворюваної послідовності педагогічних дій вчителя та учнів їх засобами, що викликає що передбачається механізм посилення змісту освіти, ведуча до успішності навчання учнів. Зміна технологій і способів взаємодії суб'єктів процесу навчання припускає використання технологій
|