Математичні аксіоми

але самому собі).

Аю. a ~ bi> (. Аа z> Ab) (рівні натуральні числа про

ладают рівними властивостями).

Ац.а '* 0 (ні одне натуральне число,

безпосередньо наступне за натуральним числом а, не дорівнює 0).

А12. Л (0) & (x) (/ 4x zd Ах ') zd Аа (аксіома повної індукції).

Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А -іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення кон'юнкція (А & - <А). 1. (Наслідок закону протиріччя). 2. (А & ~ пА) (допущення). 3. (А & ~ ла) гз А (теорема логіки). 4. А (з 2 і 3 за правилом ПЗ). 5. (Л &-Л) е (теорема логіки). 6. -Л (з 2 і 5 за правилом ПЗ). 7. (З 1 і 4 за правилом ПЗ). 8. В (з 6 і 7 за правилом ПЗ).

Формула В носить довільний характер. Отже, вона може позначати все, що завгодно. Наприклад, В може бути нерівністю 0 * 0. Тому якщо деяка система аксіом суперечлива, то це означає, що з неї випливає будь-яка формула (слід все, що завгодно). Зворотне судження не менш цікаво. Якщо існує формула, яка не виводиться з даної системи аксіом, то ця система несуперечлива. Цінність зворотного судження у тому, що воно вказує загальний напрямок доказу несуперечності. Для цього необхідно спочатку вказати характеристичне властивість, яке задовольняє наступним двом умовам. Така властивість: (1)

має бути притаманне всім аксіомам без винятку і всім виведеним з них формулами, які отримують статус теорем; (2)

має існувати принаймні одна правильно побудована формула, яка цим властивістю не володіє, тобто не є теоремою.

Властивість «бути тавтологією (логічно істинною формулою)» задовольняє зазначеним вимогам. Всі аксіоми Гільберта і виводяться їх них формули (теореми) - тавтології. Це випливає з того, що заперечення кожної з них породжує логічну і математичну брехня. Але така правильно побудована формула, як (A d В), не виведена з аксіом, тобто не є теоремою елементарної арифметики. Справді, її заперечення не породжує логічної брехні. Нехай А = «дане число просте», В = «дане число ділиться на 3». Тоді формула (А з В) читається «якщо дане число просте, то воно ділиться на 3». Запереченням цього судження буде висловлювання (А & В), яке читається «дане число просте і не ділиться на 3». Якби судження (А &-В) було логічної брехнею, то мало б місце протиріччя і Ас-Л не могли б бути одночасно істинними чи хибні. Однак розглядається заперечення не утворює протиріччя: висловлювання А і-В можуть бути одночасно як істинними, так і помилковими. Наприклад, А і-ІВ разом істинні, якщо взяти число 5, і разом помилкові, якщо взяти число 6.

Наявність хоча б однієї формули, що не виведеної з розглянутих аксіом, достатньо для твердження, що арифметика несуперечлива. Доказ несуперечності елементарної арифметики в цілому відповідає логічній схемі докази, званої в логіці modus tollens:

Якщо арифметика суперечлива, то в ній доказова (виведена) довільна формула.

Існують формули, які недоказові за допомогою даних аксіом. Значить, арифметика несуперечлива.

Милково переконання завдяки тому, що він не відрізняв один від одного ці два абсолютно різних індукційних методу ... Авторитет Пуанкаре значною мірою однобічно вплинув на юне покоління »112.

Логіцістскую програму обгрунтування математики Рассела і Уайтхеда Гільберт звинуватив у тому, що вона включає аксіоми нескінченності і редукції. Але ці аксіоми представляють «в повному сенсі слова гіпотези, змістовно необгрунтовані доказом їх несуперечності, гіпотези, загальна справедливість яких під сумнівом і в яких моя теорія, у всякому разі, не потребує».

Відповідаючи на критику Брауера, що теореми про чистому існування нічого не варті, якщо не містять способу побудови доказуваного об'єкта, і що математика вироджується в гру з символами, Гільберт вказує, що доказ так званого чистого існування являє насправді важливе математичне узагальнення багатьох приватних випадків. Одне це обставина спростовує твердження Брауера про марність теорем про існування. «Цінність чистого докази існування у цьому якраз і полягає, що завдяки йому виключаються окремі побудови і багато різноманітні побудови об'єднуються однією основною ідеєю, внаслідок чого чітко виступає тільки те, що істотно для доказу: сенс докази існування полягає в скороченні та економії думки. Чисті теореми про існування служили в дійсності найважливішими віхами історичного розвитку нашої науки. Але подібні міркування не впливають на віруючих інтуіціоністи »113. Продовжуючи відповідати Брауер, Гільберт відкидає всі його звинувачення проти закону виключеного третього. Цей закон, вказує Гільберт, «ніколи не приводив ні до найменшої помилку», він «ні в найменшій мірі не винен у появі відомих парадоксів теорії множин ... докази існування, що використовують закон виключеного третього, мають здебільшого особливу принадність завдяки своїй стислості і витонченості »114.

Якийсь час здавалося, що програма фінітного обгрунтування математики Гільберта повинна ось-ось отримати тріумфальне завершення. Однак на початку 30-х рр.. XX в. були відкриті такі обмеження, які поставили під сумнів її здійснення в повному обсязі.

Інформація, релевантна " Математичні аксіоми "

1. фінітними обгрунтування математики
   Логіко-математичний сенс математики, побудованої відповідно до допущенням финитности, Гільберт пояснює так:« Основна думка моєї теорії докази така: все висловлювання, які складають разом математику, перетворюються у формули, так що сама математика перетворюється на сукупність формул. Ці формули ртлічаются від формул математики тільки тим, що в них, крім звичайних знаків,
   
2. 1. Моделювання ітеративного навчання: завдання і проблеми
   Справжня робота присвячена опису і дослідженню математичних моделей ітеративного навчання, тому насамперед необхідно визначити, що розуміється під "моделлю" і "ітеративним научением". Термін "модель" ми будемо використовувати в найширшому його розумінні як "аналог певного фрагмента природної чи соціальної реальності, ... заступник оригіналу в пізнанні і практиці",
   
3. Структура наукового пізнання
   Наукове пізнання має два рівні - емпіричний і теоретичний. На емпіричному рівні здійснюється встановлення та узагальнення наукових фактів, на теоретичному - їх пояснення. Основними методами емпіричного пізнання є спостереження, вимірювання та експеримент. Спостереження досліджує об'єкт в природних умовах. Воно може бути безпосереднє і опосередковане (за допомогою приладів та інших
   
4. ПОРІВНЯЛЬНИЙ ТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ НАВЧАЛЬНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ПО КУРСУ «КОНЦЕПЦІЇ сучасного природознавства»
   Досліджувана тема Підручник і його автори Особливості змісту теми в підручнику 1 ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА сучасного природознавства М.І. Потєєв. Концепції сучасного природознавства. Під предметом Природознавства розуміється Земля, всесвіт, матерія, життя і людина. Вказуються області наукового знання, що утворюють Е (під Є. розуміється розділ науки, заснований на відтворюваної емпіричної
   
5. § 3 Метафізичні аспекти проблеми сенсу життя людини
   Перш ніж приступати до аналізу метафізичних аспектів проблеми сенсу життя, необхідно позначити загальні методологічні посилки дослідження, його теоретичне поле з точки зору співвідношення: 1) філософії, науки і релігії; 2) онтології, гносеології та антропології; 3) трансцендентного (трансцендентального) і іманентного. Філософія здавна визначає своє місце і призначення по
   
6. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
   . Проти цієї тези можна сформулювати такі типи аргументації. А. Аргументація від здорового глузду. Ймовірно, тільки живі істоти, що не мають другої сигнальної системи - мови, - такі, як риби, миші, ящірки та інші тварини, живуть у світі твердого, сухого, гарячого, холодного і т.д., тобто живуть лише у світі емпіричних предметів, а людина вже в звичайному житті визнає
   
7. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
   Науковість позитивної теоретичної метафізики обумовлена не тільки реальним існуванням об'єктів, які вона описує. У ній є ефективна процедура обгрунтування необхідної істинності вихідних принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів,
   
8. 2. Аналіз чисто філософських систематизаций світу на предмет ідентифікації однієї з них у якості адекватної систематизації світу
   Як зазначено, до числа чисто філософських систематизаций світу належать моністичні, дуалістичні та плюралістичні філософські системи, що не містять теологічної передумови, Обясняется першооснови світу існуванням Бога. Очевидно, що дуалістичні і плюралістичні філософські системи не задовольняють позначеному мною першому критерію достатньої обгрунтованості філософського зна-
   
9. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
   Є.Г. Плотникова, доктор педагогічних наук У процесі наукового пізнання, спрямованого на досягнення нових знань, виявляються загальні закономірності природи і характеру наукової діяльності, спеціальним вивченням яких займається методологія науки, тобто вчення про принципи побудови, форми, способи наукового пізнання та практичної перетворюючої діяльності. Методологія здійснює
   
10. 2.4. ПАРАДОКСИ «НЕГАТИВНОГО ГУМАНІЗМУ»
    Однією з робіт, знаменували появу «нової філософії», була стаття Ж.-Ф. Ревеля «Декарт безглуздий і непотрібний» 81, де Декарт фактично був зарахований до основоположників тоталітаризму. Згідно Ж.-Ф. Ревелю, Декарт є хронологічно першим філософом «сучасного типу», які поставили важливу проблему: як поєднати існування незалежної науки філософії і чужих науці філософських
    
11. Філософія Стародавньої Греції.
    Перш, ніж приступити до характеристики давньогрецької філософії, слід показати її відмінність від давньосхідної філософії. 1. Східна філософія розвивалася головним чином у лоні релігії. Антична філософія відразу зайняла по відношенню до релігії різко відокремлену позицію. 2. Східна філософія тяжіла, як правило, до морально-етичного напрямку, до повчань і настанов
    
12. Вчення про буття.
    Слово "буття" у всіх мовах від стародавніх до сучасних - це віддієслівний іменник, утворене від дієслова "бути, існувати". У своїй історії це поняття еволюціонувало в порядку, зворотному еволюції поняття матерії. Його розвиток ішов від гранично загальних і абстрактних уявлень до все більш конкретним і змістовним інтерпретаціям. Кожна епоха в історії філософії висувала свою
    
13. Об'єкт і суб'єкт пізнання.
    Вихідним в аналізі сутності пізнання як відображення (суб'єктивного образу об'єктивної дійсності) є розуміння обумовленості суб'єкта, його свідомості, об'єктивними відносинами, а також творчою активністю людини. У процесі активної взаємодії суб'єкта з об'єктом формуються пізнавальні проблеми, структура наукового дослідження, знання реалізується в сфері практики,
    
14. Теоретичні методи.
    Методи теоретичного пізнання - це абстрагування, аналіз і синтез, індукція і дедукція, ідеалізація, аналогія, формалізація, моделювання, методи гіпотез і аксіоматичний, системний метод і підхід та ін Сутність абстрагування полягає в уявному відволіканні від несуттєвих властивостей, відносин і зв'язків в об'єкті і між ними за одночасної фіксації окремих сторін, аспектів цих
    
15. Форми наукового пізнання.
    Далі ми зупинимося на основних формах, в яких представлено і організовано наукове і технічне знання. Серед них - факт, гіпотеза, закон, принцип, теорія. Факти утворюють живу тканину будь-якого знання. У науці і техніці - вони повітря, яким дихає вчений, дослідник. Але факти ще треба добути, описавши їх на мові теорії, передати їх зміст і оформити у вигляді істинних суджень. Суб'єкт
    
16. Поведінковий підхід до політики
      Глибинна взаємозв'язок політики і реальних людських дій досліджується в нашій науці в рамках так званого поведінкового підходу (англ. behavioral approach) - біхевіоризму. Мета цього напрямку, що виник в 1950-і рр.., - Послідовне проведення принципу обліку тільки піддаються спостереженню і реєстрації фактів політичної поведінки. 433
    
17. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
      Абрагам Макс - 246. Августин св. - 212-124. Аквінський Фома-74. 82, 84. 92, 172, 180, 517; критерії прийняття принципу - 75, 76; для. нижчого типу істини-227, 268; і теорія епіциклів - 82; нерухомий двигун - 176. Амальді Умберто - 162. Анакреон - 90. Аналогія - 62-65; аналогією повсякденного здорового глузду і сучасна фізика -366-369; інтелігібельний характер 'закону інерції -