Виявлення принципових кордонів програАлми формалізації математики Гільберта

Стаття Геделя містить два результату. Спочатку Гедель доводить, що будь-яка формальна система типу Principia Mathematica, що включає арифметику, принципово неповна. Це означає, що існують справжні арифметичні висловлювання, які проте не виводяться з аксіом подібних систем. Припущення про збільшення числа аксіом або про їх модифікації ніяк не може змінити цього негативного висновку. Навіть якби формалізована арифметика містила нескінченне число аксіом, все одно існували б істинні арифметичні твердження, які не були б її теоремами.

Потім Гедель доводить, що неможливо дати доказ несуперечності системи, що формалізує всю арифметику, якщо правила цього доказу задовольняють вимозі фініта-ності. Відразу ж напрошується пропозиція використовувати більш сильні, ніж фінітні, методи доказу. Однак застосування більш сильних методів доказу, по-перше, несумісне з одним з основних принципів програми Гільберта і, по-друге, воно тільки переводить вирішення проблеми на більш високий рівень. У будь-якому випадку програма фінітного доказу несуперечності не тільки всієї математики, але навіть арифметики виявляється принципово нездійсненним.

Основні кроки міркування Геделя такови116. Спочатку він будує арифметичне обчислення, яке дозволяє переводити все метаматематичних висловлювання про його властивості на мову арифметичних тверджень про натуральних числах. Це робиться за допомогою приписування кожному знаку, формулою та доведенню формалізованої арифметики певного (геделева) номера. Нумерація (кодифікація) починається з логічних і математичних констант. Знак заперечення кодується цифрою один, знак диз'юнкції - цифрою два і т. д. Знак Е позначає квантор існування, s - знак «число, наступне безпосередньо за». Ітерація знака s (приписування його зліва до цифри 0) дозволяє конструювати натуральні числа. Наприклад, $ 0 відповідає числу 1, ssO - числу 2 і т. д.

-і v Z) Е ~ 0 s (), 123456789 10

Для кодифікації констант використовуються перші десять чисел натурального ряду, виключаючи число 0. Кодифікації підлягають також змінні для числових висловів, змінні для висловлювань і змінні для предикатів. Процес кодифікації повинен задовольняти наступним правилам: (1)

кожної числової змінної (jc, у, z, ...) відповідає просте число, більше десяти: 11,13,17, (2)

кожної змінної для висловлювань (А, В, С, ...) відпо-, яття квадрат простого числа, більшого десяти: 11 лютого, ІЗ2, 172, (3)

кожної предикатной змінної (Р, Q, R, ...) відповідає куб простого числа, більшого десяти: II3, ІЗ3, 173,

Розглянемо висловлювання «існує число х таке, що х є послідовник у ». Символічно воно виглядає так: (Ех) (х = sy), У формулу входять константи і одна змінна для чисел (двічі). Тому вона кодується геделевимі номерами елементарних знаків:

{& x) (x = sy) 4 серпня і 9 8 А 5 липня 13 вересня

Однак це тільки проміжний результат, тому що мета Геделя полягала в тому, щоб з кожною формулою і кожним доказом зв'язати один єдиний номер. Для розглянутої формули таким номером буде результат твори перших десяти простих чисел, кожне з яких береться в ступені, відповідної коду елементарного знака:

Код (Геделя номер) формули (Ех) (х ~ sy) дорівнює числу

28 х З4 х 5 "х f х II8 х 13п х 175 х 197 х 2313 х 299.

Нехай т позначає Геделя номер формули (Ех) (х = Як обчислити Геделя номер кінцевої послідовності формул, що представляє доказ? Це робиться за аналогією з обчисленням геделева номера окремої формули. Припустимо, дана наступна послідовність, в якій нижня формула представляє висновок верхній:

(Ех) (х = sy);

{Ех) (х =.? 0).

Геделя номер першої формули (посилки) відомий і дорівнює числу від. Нехай число п позначає Геделя номер другий формули (висновку). Тоді результат твори перших двох простих чисел (по числу формул, що утворюють доказ), кожне з яких береться в ступені, відповідної геделеву номером формули, буде геделевим номером розглянутого докази:

к = 2т у. 3 *.

Мета подібного кодування полягає в тому, щоб кожен знак арифметичного обчислення, кожна його формула, кожна послідовність його формул отримали відповідний, тільки їм притаманний Геделя номер. Якщо геделеву нумерацію провести повністю, логіко-математичне числення перетвориться на еквівалентне йому арифметичне обчислення, в якому кожна логіко-математична формула і послідовність таких формул приймуть вигляд певних арифметичних формул (точніше чисел).

Метод кодування дозволяє кожне метаматематичних вираз перевести в арифметичну формулу. Зворотній завдання полягає в тому, щоб з даної арифметичної формулою визначати, чи відповідає їй яке-небудь осмислений вираз або елементарний знак системи. Якщо число менше або дорівнює 10, то воно, за визначенням, представляє Геделя номер. Якщо число більше 10, то воно позначає Геделя номер, якщо його можна розкласти на множники, кожне з яких представляє просте число, взяте в деякій мірі. У цьому випадку воно є номером або формули, або послідовності формул.

Прикладом може служити декодування числа 243 ТОВ ООО117: 1)

243 ТОВ ТОВ;. 2)

64 х 243 х 15 625, 3)

26 х З5 х 56, 4)

6 травня 6, 5)

0 0; 6)

0 = 0.

Розглянуте число представляє результат твори трьох співмножників, кожен з яких є простим числом, узятим в певній мірі. Отже, воно - Геделя номер. Декодування доводить, що число 243 000 000 символізує формулу 0 = 0. Читання наведеного побудови знизу вгору показує етапи кодування формули певним геделевим номером. Читання його в зворотному порядку - етапи декодування пред'явленого числа. При цьому може трапитися так, що число може і не бути геделевим номером. Наприклад, число 100 більше 10 і має бути результатом добутку простих чисел, узятих в квадрат або куб. Дійсно, 100 можна представити як 22 х 52. Але, за визначенням, формула повинна бути результатом твори послідовно зростаючих простих чисел. Однак е. наведеної послідовності відсутній просте число 3. Значить , число 100 не є геделевим номером.

Наступний крок полягає в поясненні ключової фрази геделевского методу арифметизации: «Послідовність формул з геделевим номером х є доказ формули з геделевим номером у». Формально: Рг (х, у). Якщо л: і у не знаходяться в зазначений-ном відношенні докази, це символізується як -> Рг (х, у), що читається як «невірно, що х представляє доказ формули з геделевим номером у».

Припустимо, дано формули р і р з (р vq). Друга з них є тавтологією і може служити аксіомою. Так як формули складаються з змінних для висловлювань, вони отримують наступні геделеви номери:

2 дляр;

2112 х З3 х 58 х 7112 х 112 х 139 х 179 для р р »(р vq).

Легко побачити, що Геделя номер висловлювання р входить в якості першого співмножники в Геделя номер висловлювання р z> (р vq). Це дозволяє зробити важливий висновок. Одна формула є частиною іншої формули, якщо і тільки якщо Геделя номер першої формули складає частину (співмножник) геделевого номера другого формули . Значить, метаматематичних висловлювання Рг (х, у) істинно, якщо і тільки якщо Геделя номер висновку у входить в якості одного із співмножників в Геделя номер докази х. Повернемося до геделеву номеру докази к = 2т х третє. У новому записі воно виглядає так - Рг (&, і) - і означає, що до є геделевим номером докази формули під річним номером п. Так як формула з номером п входить в якості складової частини в номер докази до, то вислів Рг (к, п) істинно.

Сказаного достатньо, щоб зрозуміти сенс основних доказів Геделя. (1)

Спочатку Гедель показує, як в побудованому ним арифметичному обчисленні можна сконструювати формулу G, що кодує метаматематичних вислів «формула G не доказова ». Формально: G =-і (Ex) Pr (x, G) (Геделя номер висловлювання« не існує жодного числа х, що представляє Геделя номер докази формули G »дорівнює G). (2)

Потім Гедель встановлює, що формула G доказова, якщо і тільки якщо її логічне заперечення-ІG також доказовою. Це означає, що якщо, скажімо, формула G виведена з аксіом арифметичного обчислення, то повинна бути виведеної і формула - » G як їй еквівалентна. Зворотне також вірно. До-Доказ формули-iG означало б існування докази G. Але арифметичне обчислення несуперечливо, і наявність у ньому двох суперечать один одному формул неможливо. Значить, формули G і - »G обидві не виводяться з аксіом арифметичного обчислення, тобто вони обидві - нерозв'язні арифметичні висказиванія118. (3)

Гедель також доводить, що хоча G і не доказова як арифметичне висловлювання, вона все ж дійсне метаматематичних твердження. Раз формула G сама стверджує про саму себе, що вона недовідна, і це дійсно так, то вона поза всяким сумнівом справжнє висловлювання. (4)

Таким чином, арифметичне обчислення містить не тільки нерозв'язне, а й справжнє висловлювання G . Значить, аксіоми арифметики неповні в тому сенсі, що з них не можна дедуціровать всі арифметичні істини. Крім того, аксіоми арифметики неповні суттєво. Навіть якщо до арифметичного підрахунку додати нові аксіоми, щоб вивести формулу G, в розширеному обчисленні з'являться нові нерозв'язні висловлювання. (5)

Отже, якщо арифметичне обчислення несуперечливо, то воно неповно. Формула G, яка стверджує свою власну недоказовність, еквівалентна вислову «ця система аксіом неповна», тому що являє приклад істинного і нерозв'язного пропозиції. Значить , вірно «якщо система аксіом несуперечлива, то випливає, що формула G істинна».

Нехай А - вислів «існує формула, яка недовідна», яке еквівалентно твердженням «система аксіом арифметики несуперечлива». Тоді істинна формула A z> G, з якої при допущенні існування докази А слід доказ G. Але, як було вже показано, формула G недовідна. Цього достатньо, щоб зробити вирішальний висновок: Метам-тематичними засобами, переведеними на мову арифметичних формул, неможливо довести несуперечність арифметики. Іншими словами, несуперечність арифметики не можна довести арифметичними засобами.

Інформація, релевантна "Виявлення принципових кордонів програАлми формалізації математики Гільберта"

1. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
   виявлення прийомів, засобів, методів відображення дійсності в науковому пізнанні. Після чого вони перетворюються на свідомо використовувані прийоми, засоби і методи, які можна розвивати й удосконалювати. Таким чином, методологія вирішує завдання раціоналізації, вдосконалення наукової діяльності. Методологія науки є вченням про методи наукового пізнання, теоретичних засобах
   
2. ГЛОСАРІЙ
   виявлення цілей, завдань і компонентів роботи, а також умов її ефективного виконання. Інформація, отримана в процесі аналізу, використовуються для складання опису роботи і особистісної специфікації. Аналіз роботи - це процедура, за допомогою якої визначаються обов'язки і характер робіт, а також тип людей (у термінах знань і умінь), яких слід найняти. Аналіз дозволяє отримати
   
3. Структура наукового пізнання
   виявлення загального, повторюваного, типового. Емпіричне узагальнення фактів дозволяє перейти до теоретичного дослідження. Перший його крок - висунення гіпотези. Гіпотезою називають більш-менш обгрунтоване наукове припущення, покликане пояснити встановлені факти і вимагає подальшої перевірки. Сформулювавши гіпотези, вчені знову повертаються на емпіричний рівень дослідження,
   
4. 1. Сутність, завдання та функції неполітичних громадських об'єднань
     виявленні та реалізації інтересів їх членів у сфері та рамках, проголошених у їх статутних і програмних документах. На це нерідко прямо вказують конституційні норми. Так, ч. 1 ст. 12 Конституції Болгарії говорить: «Об'єднання громадян служать задоволенню і захисту їх інтересів». Соціально-економічні та соціально-культурні громадські об'єднання мають риси, характерними для
   
5. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
     виявлення сенсу і вважав, що є тільки один спосіб осмислити безглузде, плинне, нерозчленованим і ірраціональне - звести їх до граничної спільності, якій завжди притаманна осмислена структура, в силу того що спільність ця конструюється. Іншим істотним елементом європейської трактування знання є поділ «чистого» мислення і чуттєвого сприйняття. Образ знання в
   
6. Евристичної розмови
     виявлення типів евристичної бесіди, ролі та місця її в навчальному процесі. Найбільш грунтовну розробку типологічного аспекту проблеми евристичної бесіди в дидактиці пропонує Н.М. Плескацевич. Взявши в якості вихідного підстави об'єкт пошуку в евристичної бесіді, автор виділяє три типи евристичної бесіди: 1) евристична бесіда, спрямована на пошук відповіді за умови, коли
   
7. ЗМІНА ФОРМ ДІАГНОСТИКИ ТА ОЦІНКИ ОСВІТНІХ РЕЗУЛЬТАТІВ ШКОЛЯРІВ
     виявлення труднощів учня всередині як предметної області, так і особистісного плану з метою надання допомоги у подоланні виявлених труднощів. Надання педагогічної підтримки школярів сприяють різні методики педагогічної діагностики: карти спостережень, карти діагностичного відстеження, педагогічні тести, запитальники (з вибором завдань), ситуаційні задачі, творчі
   
8. 1.2. Світова і вітчизняна політична географія: основні концепції та ідеї
     виявлення причинних відносин. Тому звернулися насамперед до сучасних філософсько-методологічним, політологічним, соціологічним і економічним концепціям. Перехід до політичної географії як чергового історичного етапу її розвитку був підготовлений впровадженням у неї структурно-функціонального аналізу, використанням теорії біхевіоризму, вдосконаленням «екологічного
   
9. 2. ЦЕЙ НОВИЙ ДРЕВНІЙ СВІТ
     принципово незбагненну, спонтанну версію реальності. Минає кудись в погану нескінченність "темна" світова конструкція створює між тим специфічну систему соціальної регуляції, засновану на скрупульозної грошово-фінансової фіксації поведінки індивіда і відповідної формалізації життя. Втім, новий соціальний проект володіє і власним світоглядним комплексом, і навіть,
   
10. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
      принципової важливості даної аргументації в обгрунтуванні можливості позитивної метафізики як науки в межах теоретичного розуму я повністю відтворюю цей аналіз. Отже, Кант в "Критиці чистого розуму" пише: "Філософське пізнання є пізнання розумом з понять, а математичне пізнання є пізнання з конструкцій понять. (Як показує аналіз прикладів Канта, мова у нього
    
11. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
      принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів, що будують філософські системи, - геометрія Евкліда, побудована на основі змістовного аксіоматичного методу ще в IV столітті до нашої ери в його знаменитих "Засадах" 78. У ній наочно продемонстрована
    
12. Емпіричні методи.
      виявлення помилок і похибок, пов'язаних з природою приладів і самого спостерігача (людини), розвинена спеціальна математична теорія помилок. Особливе значення в XX столітті придбали у зв'язку з розвитком техніки методи вимірювання в умовах швидкого протікання процесів, в агресивних середовищах, де виключається присутність спостерігача, і т.п. На допомогу тут прийшли методи авто-і електрометрії, а
    
13. Теоретичні методи.
      принципово не реалізуються на практиці, але без них неможливо теоретичне знання і його додатки. До їх числа відносяться точка, лінія, число, абсолютно тверде тіло, точковий електричний заряд, заряд взагалі, ідеальний газ, абсолютно чорне тіло і багато інших. Науку без них не можна уявити. Уявне конструювання таких об'єктів називається ідеалізацією. Щоб ідеалізація
    
14. Криза математики на початку XX століття
      принципово неконструктивний характер. Вона вказувала на можливість побудови нового безлічі, але нічого не говорила, як саме це можна зробити. В цілому на початку XX в. склалася наступна ситуація. Теорія множин Кантора, хоча і не без суперечок і заперечень, була визнана підставою всієї математики. Кожен математичний об'єкт міг бути сформульований в термінах теорії множин, тобто
    
15. Філософія метаматематики Гільберта
      принципове рішення проблеми законності системи аксіом математичної теорії в разі нескінченної області її об'єктів. Оскільки дослідження такої області з метою перевірки здійсненності аксіом стає безглуздим, то єдиний вихід у цій ситуації полягає в доказі неможливості виникнення протиріччя при припущенні, що теорія