Оцінка програми Гільберта

Видатне значення цих теорем слід бачити в тому, що вони пояснюють принципові причини невдачі програми Гільберта і будь-який інший програми, яка передбачає формалізації елементарної арифметики. Теорема Геделя про неповноту в лапідарною формулюванні говорить про те, що будь-яка формалізована математична система, що включає арифметику, або суперечлива, або неповна, тобто містить деяку недоведену, але справжню формулу. Безпосередні наслідки цієї теореми хоча і стосуються насамперед формальних систем, що включають арифметику, але мають також і філософське значення.

По-перше, згідно з цією теоремою не можна сконструювати формальну систему, в якій безліч справжніх формул в точності збігалося б з безліччю доказових формул. Безліч доказових формул завжди буде власним підмножиною множини істинних формул. Значить, ніяка аксиоматизация (система аксіом) не здатна підпорядкувати всі істинні твердження даної формальної системи. Жодна аксиоматизация НЕ мо-же вважатися, отже, єдиною і вичерпною. Завжди можна сконструювати більш повну. І цей процес ніколи не може бути завершений, принаймні теоретично. Результати Геделя прямо підтверджують справедливість допущення потенційної нескінченності і конструктивності процесу математичного пізнання.

Аксіоматизації арифметики не охоплює всі істини арифметики. Значить, аксіоматичне доказ більш обмежено, ніж звичайне математичне доказ. Вимоги строгості і надійності математичного докази звужують творчий потенціал працюючих математиків.

По-друге, ні один вислів, що виражає несуперечливість арифметики, не може бути доведено засобами самої арифметики.

Результати Геделя не виключають метаматематичних доказу несуперечності арифметики. Вони тільки виключають можливість такого доказу засобами самої арифметики. Це ускладнює програму фінітного обгрунтування математики Гільберта, але не доводить її принципову нездійсненність. Крім іншого, обговорюване слідство говорить також про те, що застосовувана в доказах аналітика повинна бути в принципі більш багатою за своїми синтаксичним і семантичним властивостям, ніж синтаксис і семантика досліджуваної системи. Прогрес математики передбачає, таким чином, що розвиток аналітичних коштів має обганяти за певними параметрами розвиток самих формальних систем.

Результати Геделя були єдиними, які пояснювали причини обмежених можливостей формалізації. Серед них особливий інтерес представляє теорема А. Тарського про істину: безліч всіх істинних висловлювань несуперечливої формалізованої системи, що включає елементарну арифметику, визначити неможливо в цій сістеме120. Доказ цієї теореми, як зізнається Тарський, зобов'язане багато в чому теоремам про неповноту Геделя.

По-третє, існування нерозв'язних висловлювань в формалізованої арифметики піднімає загальний питання про нерозв'язності як фундаментальної особливості всіх формалізованих систем. У 1936 р. А. Черч довів, що елементарна арифметика неразрешіма121. Значить, і всяка теорія, що включає арифметику, також нерозв'язна. Інтерес до проблеми розв'язності не слабшає і зараз, коли математика поступово трансформується в науку про обчислювальному експерименті. Доказ нерозв'язності тієї чи іншої проблеми економить час і ресурси розробників різних комп'ютерних програм. У більш широкому контексті існування нерозв'язних теорій означає заборону «природи» на можливість конструювання універсального і абсолютно ефективного методу вирішення якогось одного класу задач.

Теореми Геделя також значно вплинули на що почався процес зміни пріоритетів символічної логіки в останній чверті минулого сторіччя.

Сучасна логіка створювалася під впливом ідей Дж. Буля про логіку як алгебрі законів мислі122 і логіцістскіх ідей Лейбніца і Фреге. Гільберт з ентузіазмом сприйняв ідею Буля про логіку як дослідженні законів думки. Як і Лейбніц, Гільберт вважав, що логіка висловлює структуру нашого мислення; підпорядковується суворо визначеними правилами; кожен знак формальної теорії висловлює деякий об'єкт нашої думки таким чином, що між знаками і думками існує точна відповідність, та операції з думками однозначно можуть бути замінені операціями зі знаками. Але чи справді закони символічної логіки є законами нашого мислення? Чи можна стверджувати з повною впевненістю, що математичне доказ є строго дедуктивна процедура - висновок теорем з аксіом? Що формалізація є гарантія не тільки від помилок, але і творчих рішень проблем? Відповідь, очевидно, негативний. Жодна з розглянутих програм обгрунтування математики, піклуючись виключно про надійність і строгості математичного міркування, нічого не запропонувала в якості обгрунтування власне творчої складової математичного мислення.

Після Геделя все більше число математиків і логіків схиляється до того, що «творчі та інтуїтивні аспекти математичної роботи не піддаються логічної формалізації» 123, що математика - це не діяльність ідеального, ніколи не робив помилок математика, а відкрита самоналагоджувальна і самокорегуюча система, яка б вимагала в безперервному інформаційному взаємодії із зовнішнім середовищем з усіма пов'язаними з цим ризиками і вигодами. Ідеал такої математики - НЕ формалізація всіх своїх теорій, а створення деякої евристичної недедуктивних процедури вирішення проблем. Логіка математики в такому розумінні - логіка не тільки обгрунтування, але і винаходи гіпотез. Але така логіка - поки що справа майбутнього.

Інформація, релевантна " Оцінка програми Гільберта "

1. Москва.
   Археологічні розкопки в Москві мають давню традицію. Великі розміри середньовічного міста, збіг сучасного центру з найдавнішою територією Москви і значні масштаби будівництва визначили необхідність охоронних археологічних розкопок. У 80-90-ті роки археологічні розкопки і розвідки в Москві вели експедиції Музею історії та реконструкції Москви, Державного
   
2. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
   Реальна картина суспільно-політичному житті Росії 60-90-х років XIX в. була до невпізнання перекручена і в історичній науці, і в шкільних підручниках, і в громадській думці. Це відбувалося від того, що революційний рух, революційна боротьба показувалися, по-перше, єдино вірним напрямком суспільно-політичного життя, а, по-друге, превалюючим над іншими напрямками,
   
3. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
   Тема, якій присвячено цей параграф, воістину неосяжна. Можна досить впевнено сказати, що серйозних, об'єктивних, вільних від кон'юнктури досліджень не так багато. У дореволюційній історіографії переважала, як правило, апо-логетіческая або вкрай негативна точка зору, причому консерватори піддавалися запеклої критики як з боку лібералів, так і з боку революціонерів всіх
   
4. 2. Революція 1905-1907 рр..
   Так що ж таке революція? Яке її вплив на життя суспільства? Сучасне, на наш погляд, досить змістовне визначення революції як суспільно-історічес-кого феномена дано в філософській праці М.Л. Тузова «Революція і історія» (Казань, 1991). Виходячи з досягнутого у вітчизняній і зарубіжній революціологіі і враховуючи наявні різночитання у визначенні революції, автор під
   
5. 3. Початок II російської революції. Лютий 1917
   Перебудова нашої історичної науки в світлі нових можливостей для історичних досліджень дала чимало підстав для критичної оцінки праць радянських істориків з названої проблеми. Визначився цілий ряд «білих плям», догматичних уявлень і застарілих схем, низький теоретичний рівень багатьох робіт, прагнення згладити гострі кути в історії другої російської революції. Було б
   
6. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
   Жовтневі події 1917 року стали подіями світового значення, але історики ще довго будуть сперечатися і розходитися в їх оцінках. Жовтень 1917 опинився в центрі гострої ідейної та політичної боротьби, що розгорнулася зараз в нашій країні. Більшість дослідників представляє жовтня 1917 революцію * не тільки як найважливіша подія XX століття, відбивало вікові устремління людства до свободи,
   
7. 5. Громадянська війна. Політика «воєнного комунізму» (1917-1921 рр..)
   До середини 80-х років у радянській історіографії історія громадянської війни незмінно розглядалася з позицій звитяжних переможців - «червоних» над «білими» та іноземними інтервентами . А в сталінський час вона була наповнена чималим числом міфів і легенд і одночасно умовчаннями про дійсні події, полководців і воєначальників. У військово-історичних дослідженнях, як правило, не
   
8. 2. Проблеми науки і культури
   У роки панування марксистсько-ленінської ідеології духовність розумілася як особливий вищий результат суспільно-історичної практики людей, як відображення буття, а головним завданням соціалістичної культури оголошувалося формування нової людини, будівника комунізму. Тому все духовне життя суспільства була ідеологізована і політизована. Особливо яскраво ця тенденція проявилася в післявоєнні
   
9. Микита Сергійович Хрущ єв (1894-1971 рр..)
   Після відходу з політичної сцени двох вождів (Леніна і Сталіна) ще близько 40 років країною керуватимуть лідери, яким влада дістанеться в результаті вирішення вузького кола осіб - Політбюро правлячої партії. Так отримав всю повноту влади і Микита Сергійович Хрущов у вересні 1953 року народження, ставши Першим секретарем ЦК КПРС, а в 1958 році Головою Ради Міністрів СРСР. Хрущов належав до другого,
   
10. СЛОВНИК найчастіші КРИМИНАЛИСТИЧЕСКИХ ТЕРМІНІВ
    Анатомічні ознаки - опис голови, шиї, плечей, спини і грудей, рук і ніг, обличчя в деталях (зачіски, лоба, брів, носа, очей, рота, губ, зубів, підборіддя і вушної раковини). Балістика (судова) - галузь криміналістичної техніки, що вивчає вогнепальну зброю, боєприпаси до неї, сліди їх дії, методи і засоби збирання і дослідження цих об'єктів. Балістична експертиза - вид
    
11. 2.2. Формування системи управління реформуванням Збройних Сил
    Як вказує професор А.П. Лончаков, для успішності проведення реорганізації будь-якої структури або організації держави необхідне створення спеціального механізму, за допомогою якого держава планує провести дослідження і організацію управління їх реформуванням. Однією з основних причин низької ефективності реформи ЗС РФ є відсутність комплексного, злагодженого механізму