Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Свєтлов Віктор Олександрович. Філософія математики. Основні програми обгрунтування математики XX століття: Навчальний посібник. - М.: КомКнига. - 208 с., 2006 - перейти до змісту підручника

Символічна логіка (основні припущення та визначення)

Сучасна логіка - це символічна логіка124. Її призначення висловлює наступне визначення:

Символічна логіка - це теорія числень.

Обчисленням прийнято називати формальний алгоритм побудови нових символічних об'єктів із заданих. Знаки і правила оперування з ними в кожному обчисленні ретельно визначаються. Кожен введений знак має свій точний сенс. Кожне правило трактується однозначно, завдяки такій визначеності вдається точно виражати логічну структуру міркувань, логічні зв'язки між ними, ефективно, перетворювати одні міркування в інші. Саме ці особливості забезпечили широке використання символічної логіки в дослідженнях з підстав математики, штучного інтелекту, інформатики, лінгвістики та багатьом іншим областям наукового знання.

В даний час символічна логіка представляє досить велику і диференційовану сукупність теорій і досліджень. Тим не менш, можна виділити логіку висловлювань (ЛВ) та її розширення - логіку предикатів (ЛП) в якості загального базису.

Класична символічна логіка включає: (1)

синтаксис - правила побудови формалізованої мови; (2)

семантику - правила інтерпретації виразів побудованого мови як осмислених, (3)

правила виводу - правила, що дозволяють з посилок умовиводів виводити необхідні слідства.

Відзначимо, що ці частини є канонічними не тільки для класичної, а й усіх некласичних логік.

Відрізняють обидва види логік один від одного наступні два припущення: - (1)

Значення істинності некваліфікованих висловів однозначно визначається значенням істинності утворюють їх простих (атомарних) висловлювань. (2)

Висловлювання, що мають одне і те ж розширення (один і той же об'єм або одне і те ж значення істинності), вважаються еквівалентними.

Якщо логіка виконує обидва допущення, значить, вона є класичною. В іншому випадку, тобто коли не виконується хоча б одне із зазначених припущень, логіка повинна бути віднесена до розряду некласичних.

Логіка висловлювань

Основні визначення і допущення

логіки висловлювань

Логіка висловлювань заснована на певних базисних поняттях і припущеннях. Розглянемо їх послідовно. Вихідним в ЛВ є поняття висловлювання.

Висловлювання ЛВ - пропозиція, що виражає просте чи складне судження.

Затвердження «Безсмертна любов, народжуючись знову, нам неминуче здається другою» (В. Шекспір) володіє суб'єктом, предікей-том, зв'язкою і знаком кількості і тим самим виражає (просте) судження. Отже, воно є висловлюванням ЛВ. Вираз «безсмертна любов» не володіє атрибутами судження і тому не є висловлюванням ЛВ.

На відміну від традиційної логіки і логіки предикатів, субь-ектно-предикатна структура висловлювань в ЛВ не береться до уваги як що не має ніякого значення для формалізації доказів.

Суб'єктно-предикатна структура висловлювань в ЛВ не враховується.

Єдина властивість висловлювань ЛВ, яке приймається до уваги - це їх здатність бути істинними або помилковими судженнями. Істину і брехню прийнято називати логічними значеннями, або значеннями істинності висловлювань ЛВ.

Висловлювання Л В істинно, якщо і тільки якщо істинно виражається їм судження. В іншому випадку вислів ЛВ вважається хибним.

Пропозиція «5 більше 3» - справжнє висловлювання, тому що виражається їм судження істинно. Пропозиція «3 більше 5», навпаки, хибне висловлювання, тому що виражається їм судження помилкове.

Другим за значенням і логіці висловлювань є поняття логічного союзу (зв'язки).

У природній мові логічні союзи виражаються словами «не», «якщо те», «або», «або ..., або», «якщо і тільки якщо», «ні ні» і їх численними синонімами. За допомогою логічних спілок з простих висловлювань утворюються складні висловлювання.

Висловлювання ЛВ вважається складним, якщо і тільки якщо воно містить входження хоча б одного логічного союзу. В іншому випадку висловлення є простим.

Вислів «Сьогодні середа» - просте. Вислів «Сьогодні середа або четвер) - складне, тому що складається з двох простих висловлювань« Сьогодні середа »,« Сьогодні четвер », з'єднаних союзом« або ». Складним буде висловлювання «Неправильно, що сьогодні середа», бо вона представляє заперечення простого висловлювання «Сьогодні середа», за допомогою логічного союзу «невірно, що».

У логіці висловлювань щодо угоди допускається, що кожне просте висловлювання або істинно, або хибно. При цьому деякі складні висловлювання, саме суперечливі висловлювання, можуть бути одночасно істинними і помилковими.

Допущення бівалентності. Кожне просте висловлювання ЛВ або істинно, або хибно.

Слід зазначити, що на відміну від простих висловлювань деякі складні, саме суперечливі висловлювання, одночасно істинні і помилкові. Нижче пояснюється, чому такі висловлювання називають логічно помилковими.

У логіці висловлювань також допускається, що логічне значення будь-якого складного висловлювання однозначно визначається значеннями істинності утворюють його простих висловлювань. Отже, значення істинності будь-якого складного висловлювання представляє певну функцію істинності значень істинності утворюють його простих висловлювань.

Значення істинності складного висловлювання ЛВ являє функцію істинності значень істинності складових його простих висловлювань.

Опції істинності представляють різновид функцій у звичайному розумінні - як правил, що пов'язують змінні, звані аргументами функції, з іншими, званими її значеннями. Аргументами і значеннями функцій істинності служать логічні значення - істина і брехня. Наприклад, логічне заперечення являє одноаргументную функцію істинності в наступному сенсі. Якщо вислів «Сьогодні середа» (аргумент функції заперечення) істинно (помилково), то помилково (істинно) вислів «Невірно, що сьогодні середа» (значення функції заперечення). Крім одноаргументних функцій в ЛВ зустрічаються двох-, трьох-, ..., «-аргументної функції істинності. Логіку висловлювань часто визначають як теорію подібних функцій істинності.

Синтаксис логіки висловлювань

Як і всякий язик, мова логіки висловлювань має певний алфавіт і правила побудови з його допомогою послідовностей знаків, званих (правильно побудованими) формулами.

Синтаксис ЛВ - алфавіт і правила, що визначають: (1)

які знаки входять в безліч символів алфавіту логіки висловлювань; (2)

які послідовності знаків є (правильно побудованими) формулами ЛВ.

Правильно побудована формула ЛВ - послідовність знаків, яка може бути інтерпретована як істинного або помилкового висловлювання. Для стислості надалі термін «формула» скрізь вживається в сенсі «правильно побудована формула».

Алфавіт логіки висловлювань

Алфавіт логіки висловлювань

Таблиця 1 січня Знаки для позначення простих висловлювань (атомарних формул) - прописні початкові літери латинського алфавіту. А В, С, 2 Знаки для позначення логічних спілок. 2.1. Знак логічного заперечення: «невірно, що». -І 2.2. Знак кон'юнкції: «і». & 2.3. Знак слабкою диз'юнкції: «або». V 2.4. Знак імплікації: «якщо ..., то». z> 2.5. Знак еквівалентності: «якщо і тільки якщо». = 2.6. Знак сильної диз'юнкції: «або ..., або». ? Повний алфавіт ЛВ, необхідний для побудови формул логіки висловлювань, задається наступним визначенням (табл. 1).

Закінчення таблиці 1 березня Ліва і права дужки (для вказівки області дії логічних спілок). О 4 Кома (для поділу формул в посилках). > 5 Знак для позначення відношення логічного проходження: «виводиться, слід». ь 6 Знак для позначення логічної брехні і замкнутою гілки дерева формули. ? 7 Інших знаків, крім зазначених у п. 1-6, в логіці висловлювань немає. Нехай ф, (р, у; ... позначають (мета) змінні, що пробігають по всій множині висловлювань JIB171. Це означає, що замість кожної з букв грецького алфавіту можна підставляти будь-яке просте або складне висловлювання. Наприклад, замість змінної ф можна підставити висловлювання А чи висловлення-А, або висловлювання (A z> В) і т. д. Аналогічно для (р, у, ... Якщо у виразі-іф змінну ф замінити на висловлювання А, то вийде-А, а якщо на -А, то виникне висловлювання з подвійним запереченням-і-А (яке еквівалентно А). Замінюючи в -, ф змінну ф на (А = В), отримуємо висловлювання ~ л {А = В).

Правила освіті формул логіки висловлювань

Правила побудови формул логіки висловлювань

Таблиця 1 лютого Прості висловлювання А, В, С, ... - формули ЛВ. 2 Якщо ф-(не обов'язково атомарна) формула, то-іф-теж формула ЛВ. 171 Читається як «фе», «пси», «гамма».

У термінах заданого алфавіту JIB конструюються формули - символічні еквіваленти простих і складних висловлювань, згідно з наступним визначенням (табл. 2).

Закінчення таблиці 2 березня Якщо ф і <р - (не обов'язково атомарні) формули, то висловлювання (ф & <р), (ф v ф \ (ф з <р), (ф = <р), (ф? (р) - теж формули ЛВ. 4 4.1. Атомарні формули ЛВ зі знаком заперечення або без нього в дужки не укладаються. 4.2. В кожній формулі ЛВ з дужками число лівих і правих дужок має бути однаковим. 5 Інших формул, крім зазначених у п. 1-4, в логіці висловлювань немає. Поняття подформули

Деякі частини формули самі є формулами. У цьому випадку говорять про подформулах даної формули. Наприклад, подформуламі формули ({A & Я) з (Л v В)) є формули (А & В) і (A v В), формули А і В, а також вся дана формула , так як вважається, що вона є частиною самої себе.

Подформула - формула Л В, що входить до складу іншої формули Л В.

и Згідно з визначенням формули JIB, послідовність сім-; волів {{А & (А з В)) з В) є формулою, а послідовності и символів (A v & В), (А) і (= В) немає.

У виразі ((/ 4 & (А з В)) з В) до числа формул належать, по-перше, всі її атомарні подформули - А і В, по-друге, всі її неатомарние подформули - (А з В), (А & (А з В)), включаючи і саму формулу ((А & (А з В)) з В), так як вона також є подформулой самої себе.

Кількість лівих дужок відповідає числу правих дужок.

У виразі (A v & В) змінні А і В з'єднані поспіль логічними союзами v і &, що порушує п. 3 визначення формули ЛВ, згідно з яким всі зазначені там логічні спілки є бінарними. У виразі (А) атомарна формула А взята в дужки, що порушує п. 4.1 визначення формули ЛВ. Вираз (= В) порушує відразу два пункти визначення формули JIB - 3 і 4.1.

Головний логічний союз

У кожній неатомарной формулі є логічний союз, який вважається головним. Якщо у формулі один логічний союз, то він і є головним. Наприклад, у формулі-ла єдиним, і тому головним, логічним союзом є знак «-і». Відповідно формула А є подформулой формули У формулі (А з (A v В)) головним логічним союзом є знак імплікації, так як саме він при побудові цієї формули вводиться останнім.

Головний логічний союз неатомарной формули Л В - союз, який при її побудові вводиться останнім.

Область дії логічного союзу

Кожний логічний союз має певну область дії, в якості якої виступають всі підкоряються йому подформули. Наприклад, область дії знаку заперечення у формулі-ІА становить подформула А, у формулі-і (А & В) - подформула (А & В). У формулі (A (A v В)) область дії знаку нестрогой диз'юнкції утворюють формули А і В, область дії знаку імплікації - формули А і (A v В).

Очевидно, що область дії головного логічного союзу становлять усі подформули даної формули JIB.

Область дії логічного союзу утворюють всі подформули даної формули ЛВ, які він пов'язує.

Формалізація висловлювань

Типова синтаксична завдання - формалізація висловлювань. Алгоритм формалізації наступний. В аналізованому висловлюванні спочатку знаходять всі прості висловлювання. Кожне з них позначається новим символом, якщо воно не еквівалентно жодному з вже позначених висловлювань. Потім ол-ределяют логічні союзи, що зв'язують прості висловлювання. Нарешті, конструюється формула, кожна атомарна формула якої позначає деякий простий вислів, а сама вона виражає логічну структуру формализуемость висловлювання. Щоб зробити процес формалізації більш зрозумілим, розглянемо декілька прикладів.

 Приклад 

 «Оскільки всіх щасливішими в цьому світі той, хто задовольняється малим, то можновладців і честолюбців треба вважати самими нещасними людьми, тому що для щастя їм потрібно незліченна безліч благ» (Франсуа де Ларошфуко). 

 Прості висловлювання: А ~ «Всіх щасливішими в цьому світі той, хто вміє задовольнятися малим», В = «Влада імущих треба вважати самими нещасними людьми», С = «честолюбців треба вважати самими нещасними людьми», D = «Для щастя їм потрібно незліченна безліч благ ». 

 Логічні спілки: ге, &. 

 Формула: С))). 

 Семантика логіки висловлювань 

 Будь формула залишається не більше ніж послідовністю абстрактних знаків, якщо не можна встановити, який її логічний зміст. У логіці висловлювань формула вважається осмисленої, якщо їй можна приписати в якості логічного значення або «істину», або «брехня». Процедуру завдання значень істинності атомарних формул і обчислення значення істинності всієї формули прийнято називати інтерпретацією. 

 Інтерпретацією формули ЛВ називається таке приписування значень істинності всім її атомарним подформулам, при якому кожна з них отримує значення «істина» або значення «брехня» (але не обидва разом). 

 Аналіз понять «істина», «брехня», «значення», «сенс», обгрунтування правил інтерпретації формул - основні завдання семантики як загального розділу логіки. У цій роботі аналіз семантики 

 JIB обмежений формулюванням та обгрунтуванням правил інтерпретації формул. 

 Семантика ЛВ - правила інтерпретації формул ЛВ як осмислений 'них (істинних або помилкових) висловлювань. 

 Правила інтерпретації форм / л ЛВ 

 Інтерпретація довільній формули JIB вчиняється у два етапи. На першому визначаються значення істинності всіх її атомарних подформул. З цією метою кожній атомарної подформуле зіставляється певне простий вислів. На другому етапі обчислюється значення істинності всієї формули за певними правилами (таблицями істинності). 

 Правила інтерпретації формул ЛВ 1.

 Кожній атомарної формулою интерпретируемой формули ставиться у відповідність певне простий вислів ІЕ універсуму (області) інтерпретації. 2.

 Атомарної формулою приписується значення «істина» або «брехня» у відповідності з тим, істинно або хибно виражається нею простий вислів. 3.

 Значення істинності всієї интерпретируемой формули Л В обчислюється як функція значень істинності всіх своїх атомарних формул (всіх своїх аргументів). 

 Логічні союзи як функції істинності. Таблиці істинності 

 Припустимо, дано дві формули (^ з ^ і ^ ї (р). Щоб обчислити значення їх істинності, згідно п. 1 правил інтерпретації спочатку необхідно зіставити їх з простими висловлюваннями. Нехай універсумом інтерпретації служить безліч натуральних чисел і ф-«5 більше 2 », (р-« 3 більше 4 ". Тепер згідно п. 2 правил інтерпретації можна обчислити значення істинності атомарних формул фі <р.. Відомі правила арифметики однозначно змушують приписати формулою ф значення« істина », формулою q> - значення" брехня ". 

 Так як формули (ф з ф) і (ф? (Р) позначають складні висловлювання, то для обчислення остаточного значення їх істинності потрібно застосування п. 3 правил інтерпретації. Для цього необхідно знаггь сенс з'єднують їх логічних спілок. Цей сенс задається наступними визначеннями ( Т позначає істину, F - брехня). 

 Визначення логічного заперечення 

 Логічним запереченням формули ф називається суперечить їй формула-іф, яка істинна, якщо ф-помилкова, і помилкова, якщо ф-істинна. 

 Назвемо таблицею істинності формули ф функцію істинності ф всіх своїх атомарних подформул. При цьому формула ф може бути як простим, так і складним висловлюванням. 

 Таблиця істинності логічного заперечення довільній формули ф має наступний вигляд (для наочності вказані аргументи і значення кожної обумовленою функції): Аргумент Значення Ф ^ Ф Т F F Т Перший стовпець таблиці (аргумент функції логічного заперечення) вказує всі можливі логічні значення формули ф. Другий стовпець містить відповідні логічні значення формули-іф. З таблиці випливає, що логічно заперечують один одного формули не можуть бути разом ні істинні, ні помилкові. Якщо одна з них істинна, то інша помилкова, і навпаки. При цьому формула ф може позначати як просте, так і складне висловлювання. 

 Нехай ф = «Я читаю книгу». Тоді -> ф ~ «Невірно, що я читаю книгу». Одне їх цих висловлювань необхідно істинно, а інше необхідно хибно. 

 Наступні логічні союзи визначаються для двох довільних формул - ф і ф> так як всі вони представляють двухаргу-ментно функції істинності. 

 Визначення кон'юнкції 

 Кон'юнкція формул ф і q> називається формула {ф & <р), яка істинна, якщо істинні як ф, так і <р, і помилкова у всіх інших випадках. 

 Таблиця істинності кон'юнкції двох довільних формул ф і ф має наступний вигляд: Перший Другий Значення аргумент аргумент функції Ф <Р {Ф & <р) Т Т Т Т F F F Т F F F F Кожна формула може бути або істинною, або хибною. Отже, для двох формул'ми маємо чотири можливості: ф і <робі правдиві ^ істинна, але складна; Складна, але ^ істинна; фі <р обидві помилкові. Загалом, якщо є п формул, то існує 2 "можливостей їх істинності. Читаючи третій стовпець, ми бачимо, що формула (ф & ф) отримує значення« істина »тільки в разі спільної істинності формул фн <р. У всіх інших випадках вона отримує значення «брехня». 

 Формули, що з'єднуються знаком кон'юнкції, прийнято називати Кон'юнктів. 

 У формалізованому мовою перестановка місцями Кон'юнктів не веде до зміни логічного значення формули. Іншими словами, формули {ф & ф) w {(р 8l ф) еквівалентні (мають одне і те ж логічне значення). У природній мові Кон'юнктивна зв'язок часто висловлює упорядковану послідовність подію- тий, і перестановка місцями її членів спотворює сенс всього висловлювання. Висловлювання «Я почистив зуби і ліг спати» і «Я ліг спати і почистив зуби» навряд чи хто-небудь порахує еквівалентними. 

 Визначення слабкою диз'юнкції 

 Слабкою диз'юнкцією формул ф і <р називається формула (ф v <р), яка істинна, якщо істинна хоча б одна з них, і помилкова, коли помилкові як ф, так і <р. 

 Таблиця істинності слабкої диз'юнкції двох довільних формул ф \ \ <р має наступний вигляд: Перший Другий Значення аргумент аргумент функції Ф <Р (ФЧ <р) Т Т Т Т F Т F Т Т F F F Формули, що з'єднуються знаком (слабкої і сильної) диз'юнкції, прийнято називати диз'юнктів. 

 Формула (ф v <р) помилкова, якщо і тільки якщо помилкові всі її диз'юнктів. У всіх інших випадках вона істинна. На відміну від кон'юнкції диз'юнктів можуть переставлятися в будь-якому порядку без втрати сенсу як у формалізованому, так і в природній мові. 

 Визначення імплікації 

 Импликацией формул ф і q> називається формула (ф з ф), яка помилкова тоді, коли істинна ф і помилкова <р, і істинна ва всіх інших випадках. 

 Таблиця істинності імплікації двох довільних формул ф і (р має наступний вигляд: Перший Другий Значення аргумент аргумент функції Ф <Р (Ф ^ ф) Т Т Т Т F F F Т Т V F т У формулі (ф z> (р) подформулу ф прийнято називати антецедентом (лат. antecedens - попередній), подформулу <р - консі-Квента (лат. consequens - наслідок). 

 У природній мові союз «якщо.,., То», крім причинного зв'язку, може виражати временною послідовність подій, зв'язок умови і засоби її досягнення, умова будь-якого договору або угоди. Однак в логіці висловлювань даному союзу надається тільки те значення, яке зафіксоване таблицею: антецедент є тільки достатня умова істинності консі-Квента, консеквент є тільки необхідна умова істинності антецедента. Через такої асиметрії перестановка місцями членів імплікації в загальному випадку неправомірна.

 Визначення еквівалентності 

 Еквівалентністю формул ф і р називається формула (ф = <р), яка істинна тоді, коли формули ф і <р обидві істинні або помилкові одночасно, і помилкова у всіх у всіх інших випадках. 

 Таблиця істинності еквівалентності двох довільних формул ф і (р має наступний вигляд: Перший Другий Значення аргумент аргумент функції Ф <Р ш 

 і і Т Т Т Т F F F Т F F F Т 

 З таблиці випливає, що формули ф і (р еквівалентні, якщо і тільки якщо кожна з них необхідна і достатня для істинності іншої формули. Або, що те ж, якщо істинні як пряма імплікація (ф з <р), так і їй зворотна ( <р з ф). Значить, еквівалентні формули JIB одночасно або всі істинні, або всі помилкові. Якщо істинно (помилково), що сьогодні понеділок, значить, істинно (помилково), що завтра буде вівторок, післязавтра середу, вчора була неділя, позавчора була субота і т. п. 

 Еквівалентні формули можуть переставлятися місцями без втрати сенсу висловлювання, яке вони утворюють. 

 Визначення сильної диз'юнкції 

 Сильної диз'юнкцією формул ф \ л q> називається формула {ф? <Р), яка істинна тоді, коли або формула ф істинна і формула <р помилкова, або формула ф помилкова і формула <р істинна, і яка помилкова у всіх інших випадках. 

 Таблиця істинності сильної диз'юнкції двох довільних формул ф і (р має наступний вигляд: Перший Другий Значення аргумент аргумент функції Ф <Р (Ф * <Р) Т Т F Т F Т F Т Т F F F Диз'юнктів формули (ф? (Р) часто називають альтернативами, маючи на увазі, що один і тільки один диз'юнкт істинний, або що логічна сума альтернатив утворює повне безліч. 

 Сильна диз'юнкція являє собою логічне заперечення еквівалентності. На відміну від слабкої, сильна диз'юнкція забороняє одночасну істинність всіх або деяких диз'юнктів, крім одного, а також забороняє їх одночасну хибність. 

 Якщо значення істинності простих висловлювань невідомі, будують таблицю істинності досліджуваної формули. Така таблиця нічим не відрізняється від таблиць істинності логічних спілок. Вона являє функцію істинності всіх своїх атомарних подформул. 

 Таблиця істинності формули-і (А &-і (В з С)) має наступний вигляд: А У З & - (В DQ) Т Т Т т F F Т Т Т; F F т Т F Т F Т т F F Т т F F т F F т F Т Т т F F т F Т F т F Т F F F Т т F F Т F F F т F F Т 1 2 3 7 6 5 4 Пояснення. У досліджуваній формулі є три простих висловлювання - А, В і С. Значить, існує 23 = 8 можливих інтерпретацій (рядків) їх значень лстінності. Перші три стовпці (три аргументи функції) символізують ці можливості. Наприклад, перший рядок таблиці говорить про те, що всі три висловлювання разом правдиві восьма рядок - що вони всі разом помилкові. 

 Стовпці з четвертого по п'яте вказують порядок і результат обчислення значення істинності подформули, керованої певним логічним союзом. Кожен стовпець розміщується під тим логічним союзом, в область дії якого входить анализируемая подформула. Наприклад, стовпець (4) містить значення істинності подформули (В з С); стовпець (5) - значення істинності подформули-і (В з С); стовпець (6) - значення істинності подформули (А & -> (В з С) ); заключний стовпець (7) - значення істинності всієї формули-п (А &-і (В з С)). Інтерпретація цієї формули завершена. Які її підсумки? 

 Правильно побудована таблиця істинності повинна містити всі можливі інтерпретації істинності і хибності розглянутої формули. Аналіз таблиці показує, що досліджувана формула помилкова тільки в тій інтерпретації, яку вказує другий рядок - атомарні формули А, В істинні, атомарна формула З помилкова. У всіх інших інтерпретаціях зазначена складна формула істинна. Найцікавішу інтерпретацію представляє восьма рядок: всі три атомарні формули помилкові, але формула в цілому, проте, істинна. Оскільки інших інтерпретацій немає і бути не може, ми отримуємо вичерпну інформацію про логічних властивостях досліджуваної формули. 

 Логічно істинні, логічно помилкові і логічно нейтральні формули 

 Всі формули ЛВ діляться на два взаємно виключають і спільно вичерпних класу - здійснимі і нездійсненні. Здійснимі формули діляться далі на логічно істинні і логічно нейтральні. Формули логіки висловлювань Здійснимі Нездійсненні Логічно істинні (тавтології) Логічно нейтральні (правдоподібні) Логічно помилкові (суперечливі) Формула ЛВ вважається здійсненним, якщо існує хоча б одна інтерпретація (набір значень істинності атомарних формул), в якій вона істинна, і нездійсненним в іншому випадку. 

 Формула називається логічно істинною, якщо вона істинна у всіх своїх інтерпретаціях, тобто за будь-яких наборах значень істинності своїх атомарних формул. Такі формули також часто називають тавтологіями (від грец. Tauto - те ж саме і logos - висловлювання), законами логіки, логічними істинами, загальнозначущими, тотожне істинними. Всі тавтології зводяться до виду v де на місце ф може підставлятися будь-яка формула ЛВ. 

 Формула називається логічно помилкової (нездійсненним, суперечливою, тотожне помилковою), якщо не існує жодної інтерпретації, тобто набору значень істинності її атомарних формул, в шторою вона була б істинна. Такі формула висловлюють логічні протиріччя. Всі логічно помилкові формули зводяться до вигляду (ф8с-ЛФ), де на місце ф може підставлятися будь-яка формула J1B. 

 Формула називається логічно нейтральною, якщо існує хоча б одна інтерпретація, в якій вона істинна, і хоча б одна інтерпретація, в якій вона помилкова. Це означає, що такі формули не можуть бути логічно істинними і логічно помилковими. Вони лише щодо правдиві та щодо помилкові. 

 Відношення логічного слідування в логіці висловлювань 

 Відношення логічного слідування лежить в основі всієї дедуктивної логіки. Сказане відноситься і до логіки висловлювань. 

 Нехай а і /? позначають відповідно безлічі формул, що утворюють посилки і висновок докази в JIB. Тоді справедливо наступне визначення. 

 Висновок (3 логічно випливає з посилок а, якщо і тільки якщо в кожній інтерпретації (у кожному рядку таблиці істинності формули (ае / S)), в якій істинно а, також істинно висновок Д 

 Основні закони логіки висловлювань 

 Одним з важливих властивостей логічних істин є те, що вони виражають закони логіки - принципи збереження істини. Хоча логічних істин і, тим самим, логічних законів існує нескінченне число, зазвичай виділяють деякий кінцевий підмножина в якості правил, що дозволяють перетворювати формули. 

 Закон зняття подвійного заперечення: 

 ^ Ф ^ ф. 

 Подвійне заперечення не змінює початкового значення істинності висловлювання: якщо воно було щирим (хибним), то в результаті подвійного заперечення воно і залишається істинним (хибним). Тому подвійне заперечення завжди може бути знято і замінено звичайним твердженням. 

 Закони коммутативности 

 (Перестановочне) & і v: 

 (Ф & <р) = (р & ф); 

 (Ф *

 Дані закони дозволяють переставляти місцями Кон'юнктів і диз'юнктів, так як це не змінює значення істинності вихідної формули. 

 Закони асоціативності (з'єднання) & і v: 

 ((Ф & ф) & у) = (<р & (ф & Я); ((^ v

 Дані закони дозволяють обчислювати значення істинності формул, що складаються лише з кон'юнктив або диз'юнктів, в будь-якому порядку, так як це не змінює значення істинності вихідної формули. Наприклад, байдуже, обчислюється Чи спочатку значення істинності висловлювання (А & В), а потім вислови {(А & 5) & С), або спочатку висловлювання (В & С), а потім вислови (А & (В & С)) . Аналогічно для діз'юнктівной формули. 

 Закони дистрибутивности (розподілу) & щодо v, і навпаки: 

 (Ф & (<рч = ((ф & ф) v (ф & 

 Закони дистрибутивности дозволяють «виносити за дужки» формули, що входять в усі Кон'юнктів або в усі диз'юнктів, а також здійснювати зворотну операцію. 

 Закони ідемпотентності (збереження ступеня): 

 Згідно з даними законам значення істинності складних висловлювань з багаторазовим входженням одного і того ж Кон'юнктів (диз'юнктів) повністю визначається значенням істинності одного Кон'юнктів (диз'юнктів). 

 Закони видалення =>, = і?: 

 = Ф). : (І?) & (*> => Л); 

 ІФ $ Ф) = ((Ф => - * <р) & (->? =) Ш = ((^ v->

 Згідно з наведеними законами формули, що містять логічні союзи з, = і можуть рівносильно замінюватися на формули, що містять тільки логічні союзи-і, & і V. 

 Закони де Моргана 

 (Заперечення кон'юнкції і диз'юнкції): 

 -Л (ф & ф) = 

 Згідно законам де Моргана вислів «Невірно, що сьогодні ясно і (або) тепло» еквівалентно висловленню «Сьогодні не ясно або (і) не тепліше». 

 Закони поглинання: 

 (Ф & (фчф)) = ф; (ФЧ (ф & ф)) = ф. 

 Відповідно до першого закону поглинання, Кон'юнктивна формула, в якій один Кон'юнктів ф логічно більш сильний, ніж інший (ф v ф), еквівалентна логічно більш сильному Кон'юнктів - ф. Згідно з другим законом поглинання, діз'юнктівная формула, в якій один диз'юнкт ф логічно слабше, ніж інший (ф & ф), еквівалентна логічно слабшому диз'юнктів - ф. Значить, всяка формула еквівалентна диз'юнкції своїх найслабших припущень і одночасно еквівалентна кон'юнкції своїх найсильніших наслідків. 

 Закони виключення 

 (Суперечать Кон'юнктів і диз'юнктів): 

 р) -, $>)) з? 

 ((0V р) -,?>)) = 

 Згідно законам винятку, формула, чиї диз'юнктів (кон'юнктив) мають загальний член ф і відрізняються один від одного тільки однією парою суперечать подформул <р і-еквівалентна загальної для них подформуле ф. 

 Перераховані закони логіки створюють базис для розвитку більш ефективного, ніж таблиці істинності, методу розв'язання логічних задач логіки висловлювань. Цей метод розвиває далі техніку аналізу, що застосовувалася при вирішенні силогізмів традиційної логіки. 

 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "Символічна логіка (основні припущення та визначення)"
  1.  § 2. Набуття права власності
      символічна передача, коли, наприклад, вручені ключі від проданої автомашини, квартири, або при продажу речі між сторонами досягнуто згоди, що вона тимчасово залишається в користуванні відчужувача. Але і в цьому випадку набувач стає власником речі, хоча вона практично йому не передана. В якості самостійного способу придбання права власності необхідно вказати
  2.  II. Постмодерн і його "ізм".
      символічного опису. Власне, в цьому і укладений живий і насущний для людей сенс і філософії, і культури. І в цьому, з точки зору екзистенціальної філософії, яка, при всьому її антіессенціалізме, виступає як спадкоємиця культурних традицій Європи, проблема людської особистості завжди непорушна і насущна. Бо, будучи соціологічно вторинна по відношенню до групи, філософськи особистість
  3.  Від автора
      символічними жестами, демонстраціями. Ці акції наочно вказують на факти несправедливості, залучають до цих, як правило, маловідомим фактам суспільну увагу. Мета подібних дій? морально і політично впливати на осіб та групи, відповідальні за несправедливість, пробудити в різних соціальних шарах почуття солідарності з постраждалими, допомогти самим жертвам? в багатьох
  4.  3. Істина і гносеологічне відображення. Пізнаванності світу в позитивній теоретичної метафізиці
      символічній мові логіки предикатів. Тоді S в структурі даного судження можна представити у вигляді х (А (х) л! B (x)), тобто S = х (А (х) л B (x)), а Р - у вигляді х (А ( х) л! B (x)), тобто P = х (А (х) л! B (x)); структуру всього судження - у вигляді формули: V х ((А (х) л B (x)) з! (А (х) л! B (x ))). Шляхом нескладних перетворень цю формулу можна привести на основі принципу еквівалентності до наступного вигляду: V
  5.  3.3. Просторово-часової континуум загальності суб'єкта
      символічної логіки його виявлення та перебування в ньому художнього зображення перетворять образотворчих ряд в структуру, відкриту інтерактивного насильству користувача: я можу зупинити рух картинки, змінити послідовність її перегляду, змінити її оточення, використовувати як заставку для власного сайту. Таким чином, змінюється етика спілкування з твором ». Далі Шехтер
  6.  Авторитет, панування та їх визнання суспільством
      символічного посередника, що забезпечує взаємне виконання зобов'язань. Таким є вельми часте, але не цілком суворе використання понять легітимності і легітимізації, які в точному значенні відносяться насамперед до незрівнянно більш складних явищ сучасної політики, що передбачає не просто визнання підвладних, але їх процедурно закріплене участь у виробленні політичних рішень,
  7.  Криза математики на початку XX століття
      символічна логіка - один з найбільш значних результатів математичної думки цього часу. Таким чином, розглянутий криза не похитнула побудовану будівлю математики. Навпаки, він сприяв більш швидкій розробці необхідних концептуальних засобів для асиміляції нових відкриттів і більш швидкому прогресу математики як
  8.  Передмова
      символічної логіки. У другому міститься доступний аналіз «парадоксу брехуна», який зіграв значну роль у формуванні сучасних концепцій обгрунтування математики. Посібник відповідає вимогам нової програми підготовки аспірантів за темою «філософія математики» і розраховане на всіх, хто цікавиться філософськими питаннями математики, логікою і методологією сучасної
  9.  Виявлення принципових кордонів програАлми формалізації математики Гільберта
      логіко-математичне числення перетвориться на еквівалентне йому арифметичне обчислення, в якому кожна логіко-математична формула і послідовність таких формул приймуть вигляд певних арифметичних формул (точніше чисел). Метод кодування дозволяє кожне метаматематичних вираз перевести в арифметичну формулу. Зворотній завдання полягає в тому, щоб з даної
  10.  § 3. Англо-американська система
      основні різновиди юридичних осіб-товариства (partnerships) і компанії (у Великобританії) або корпорації (в США; публічні корпорації у Великобританії). Товариства мають кілька різновидів, які різняться в залежності від характеру відповідальності товаришів за боргами товариства. Повні товариства не визнаються юридичними особами. Інший вид товариств-командитні
  11.  Глава тринадцята. НОРМА ПРАВА
      символічне, а потім і буквене позначення приналежності тих чи інших товарів того чи іншого купцеві (зокрема спочатку використовувалися друку, які накладалися на амфори, глечики, мішки тощо тару, в якій перевозилися, продавалися товари, насамперед, зерно) поступово ставало письмовим способом спілкування. Писемність стала використовуватися для посвячення тих чи інших жертв
  12.  Глава вісімнадцята. ТЛУМАЧЕННЯ ПРАВОВИХ НОРМ
      логіки для з'ясування сенсу, змісту, норми права, її співвідношення з іншими нормами. У цей процес слід включати правила оперування поняттями, щоб мати правильні судження, робити правильні умовиводи. Абсолютно неприпустимі умовиводи помилкові, які можуть просто спотворювати правозастосування. Втім, іноді це відбувалося до історії вітчизняної правової системи
  13.  ГЛОСАРІЙ
      логіки (fuzzy logic), що дає математичні інструменти роботи з нечіткістю («хочемо продавати побільше кавунів» замість «підвищити продажі на 10% до 15 червня»). В особистому тайм-менеджменті нечіткий підхід дозволяє, наприклад, відмовитися від прив'язки завдань до жорстких термінів («25 вересня, 15:00») і замінити їх на більш адекватні життєвим реаліям нечіткі прив'язки («приблизно в кінці вересня»).
  14.  1. Моделювання ітеративного навчання: завдання і проблеми
      логіко-математичних положень "(ФЕС, М.: Радянська енциклопедія, 1983. с. 382). Научение у загальному випадку -" процес і результат придбання індивідуального досвіду "(Короткий психологічний словник, М.: ІПЛ, 1985. с. 201) . Ми будемо докладно розглядати лише один з видів навчання, а саме итеративное научение (iterative від лат. iterativus - повторюваний) - багаторазове повторення навченою
  15.  1.4. З історії логіки
      символічної) логіки. Починаючи з Лейбніца, в логіці використовується як методу дослідження метод формалізації. Математична логіка вивчає логічні зв'язки і відносини, що лежать в основі дедуктивного (логічного) висновку. При цьому в математичній логіці для виявлення структури виведення будуються різні логічні числення, насамперед числення висловлювань і числення предикатів в їх
  16.  5.2. Дедуктивні умовиводи
      символічній логіці дедукція - це умовивід, що дає істинне судження. Далі ми будемо використовувати цей термін в традиційному тлумаченні. Дедуктивні умовиводи залежно від кількості вихідних посилок діляться на безпосередні та опосередковані. Умовивід, отримане за допомогою перетворення одного судження, називається безпосереднім. Якщо ж у ньому дві або більше посилки,