| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
Основні поняття й допущення логіки предикатів |
||
|
Відповідно до одного з припущень JIB внутрішня структура простих висловлювань не враховується. Якщо це обмеження зняти, ми отримаємо важливе узагальнення логіки висловлювань, назване логікою предикатів. Логіка предикатів - логіка, створена для аналізу умовиводів, в яких істинність висновку залежить не тільки від істинності посилок, але також і від їх внутрішньої логічної структури. Для аналізу внутрішньої структури висловлювань в логіці предикатів додатково до основних понять ЛВ були введені поняття універсуму, імені власного, предметної константи, предметної змінної, предиката, терма, предметної функції, квантора. Крім того, використання ЧИ вимагає прийняття особливих припущень. Як і в традиційній логіці, в логіці предикатів всі обчислення прив'язані до поняття універсуму. Універсум U логіки предикатів - клас речей із заданими властивостями і відносинами. Універсум задає предметну область інтерпретації аналізованого міркування, дозволяє обчислити його логічне значення. Щоб обговорювати речі універсуму, необхідно для кожної з них мати власне ім'я - ім'я, яке позначає цю і тільки цю річ. Ім'я власне в логіці предикатів - термін, що позначає окрему річ універсуму. Логіка предикатів, як і традиційна логіка, пов'язана з допущенням неможливості існування порожніх імен, тобто таких термінів, яким в розглянутому универсуме нічого не відповідає (що не позначають жодної речі універсуму). Допущення іепустоти універсуму. Кожному імені власним повинна відповідати деяка річ універсуму. У логіці предикатів неважливо, яким ім'ям позначається та чи інша річ, важливо, яка річ позначається. Тому якщо два і більше різних імені позначають одну і ту ж річ, то незалежно від відмінності своїх іітенсіоналов (змістів) вони вважаються екстенсіонально взаємозамінними. Допущення екстенсіональності. Якщо два різних імені позначають одну і ту ж річ, вони вважаються взаємозамінними і володіють одним і тим же значенням істинності. Як і в логіці висловлювань, в логіці предикатів зберігається допущення бівалентності. Допущення бівалентності. Кожне просте висловлювання ЯП або істинно, або хибно. Через необхідність враховувати внутрішню структуру висловлювань атомарні формули ЛП значно відрізняються за своєю структурою від атомарних формул ЛВ. Нагадаємо, що в ЛВ атомарної формулою вважається знак (прописна буква латинського алфавіту), що позначає просте висловлювання. Припустимо, заданий певний універсум U. Щодо кожної його речі її ім'я власне може бути відомо або невідомо. Якщо ім'я власне речі відомо, то вона позначається однією з рядкових початкових букв латинського алфавіту a, b, с, ... і називається предметної константою. Значення, т. е, що позначається річ, кожної предметної константи фіксоване і не може бути довільно змінено. Якщо ж ім'я власне речі невідомо, то вона позначається однією з рядкових кінцевих літер латинського алфавіту х, у, z, ... і називається предметної змінної. Предметні змінні не мають фіксованого значення. Їх головна функція полягає в там, щоб позначати всі входження одного і того ж імені. Іншими словами, на місце кожної предметної змінної одне і те ж ім'я має підставлятися стільки разів, скільки є її входжень. Різниця між предметними константами і змінними пояснює наступний приклад. Припустимо, необхідно формалізувати твердження, що деяка річ з універсуму U має властивість Р. Нехай U = «харчові продукти», Р = «солодкий», а = «цукор», Ь ~ «сіль». Тоді вираз Ра = «Цукор солодкий» істинно, а вираз РЬ = «Сіль солодка» ложно. Сказати ж, що Рх = «Довільний харчовий продукт солодкий» істинно або хибно, безглуздо, тому що невідомо, про який саме харчовому продукті йдеться. Знак х позначає будь-яку їстівну річ або, як кажуть, «пробігає» по всім речам розглянутого універсуму. Значить, щоб вираз ЛП, що містить входження предметних змінних, можна було інтерпретувати як істинне або хибне висловлювання, їх необхідно замінити відповідними їм предметними константами. Припустимо, необхідно формалізувати твердження, що деяка річ знаходиться в певному відношенні до іншої речі. Тут також розрізняються зазначені вище два випадки. Вираз виду Rxy означає «Довільні речі jc і в з універсуму U перебувають у відношенні R один до одного». Сказати про ставлення Rxy, істинно воно або помилково, не можна до тих пір, поки не стане відомо, які саме речі позначають змінні х і у. Нехай U = «числа», а = 3, b-4, R = «більше». Тоді невизначений з істінностной точки зору вираз Rxy перетворюється на хибне висловлювання Rab = «3 більше 4». Традиційно предикатом називається думка, що позначає або властивість, якою володіє або не володіє дана річ, чи ставлення, в якому знаходиться чи не знаходиться розглянута річ до інших речей. У ЛП предикати інтерпретуються як логічні функції, що відображають імена власні як свої артументи в безліч значень істинності. Якщо у висловленні «Цукор солодкий» замінити константу «цукор» предметної змінної, то результатом заміни стане функція <сс - солодкий ». Підстановка в дану функцію замість дс різних власних назв породжуватиме правдиві чи неправдиві висловлювання в якості її значень. Якщо виключити випадок, коли предикат має нульове безліч аргументів, предикатом у власному розумінні слова можна назвати будь-яке висловлювання, що містить принаймні одне входження предметної змінної. Нехай, як і колись, Т і F позначають значення істинності. Предикат - логічна функція, що відображає власні імена речей (предметні константи) в безліч логічних значень {Т. F} - Вирази виду Р1х прийнято називати одномісними (одноар-гументнимі) предикатами. Їх відмінна особливість в тому, що вони позначають властивості речей. Вирази виду Р * ху називають двомісними (двухаргументнимі) предикатами. Їх особливістю є те, що вони позначають бінарні відносини. Загалом вирази виду Рп прийнято називати п-місцевими предикатами, що позначають л-місні відносини, п> 0. У разі предикатна буква позначає просте висловлювання ЛВ, яке по допущенню бівалентності або істинно, або хибно. Так як атомарні формули ЛВ зводяться до виду Я0, то вони всі є атомарними формулами ЛП. Верхніми індексами для позначення місцевості предиката можна і не користуватися, так як число місць предиката легко визначається за кількістю предметних змінних, якими він управляє. Наприклад, Р * означає, що після предикатной букви Р повинні стояти три предметних змінних - Pxyz. Якщо необхідно формалізувати операцію, яка буде показувати безліч предметних констант в цей же безліч за певним законом, тоді використовують відповідну цієї операції предметну (тобто не логічну) п-місцеву функцію. Відомі арифметичні операції - додавання, віднімання, множення і ділення - представляють приватні випадки таких функцій. Двомісна функція складання J [a, b), визначена на множині натуральних чисел, ставить у відповідність парі певних натуральних чисел а і b нове число з з цього ж безлічі як результату їх суми: а + Ь = с. Наприклад, Чи 2) = XMU2), чи 2)) = / 3, 3) = 3 + 3 = 6. Предметні константи і предметні змінні прийнято об'єднувати загальним ім'ям - простий терм (від англ. Term). Поняття терма узагальнює поняття суб'єкта в традиційній логіці. До числа складних термів відносяться п-місцеві функціональні знаки, п> О, супроводжувані п предметними константами або змінними в якості простих термів. Об'єднання термів з предикатной буквою породжує атомарну формулу ЛП. Основним правилом у цьому процесі є наступне: п-місцевої предикатной букві має відповідати п термів. Таким чином, вираз Р1 не є атомарної формулою ЛП, так як предикатний символ не супроводжується трьома термами, а вираз виду Pabx - є. Якщо t \, tn - довільні терми, Р "- довільний«-місний предикат, то атомарна формула ЛП має наступний канонічний вид - Рц ..., ", п> 0. Тільки атомарним формулами ЛП і побудованим з них складних формулах можна приписувати те чи інше значення істинності. Деякі формули ЛП з входженнями предметних змінних можуть бути квантифікувати. Квантори в ЛП відіграють таку ж роль, як і знаки кількості - «все», «жоден», «деякі »- в традиційній логіці. Вони визначають кількісні межі властивостей і відносин, що позначаються предикатами. Нехай універсум складається з трьох речей, кожна з яких має своє власне ім'я, U - (а, Комерсант, с) . Якщо необхідно сказати, що всі речі даного універсуму мають властивість Р, то це можна зробити двома способами. По-перше, можна побудувати кон'юнкцію: (Ра & Р'& Рс), яка істинна, якщо і тільки якщо істинні всі її Кон'юнктів. Під -друге, можна використовувати спеціальне скорочення, зване квантором спільності та які ставлять перед тією формулою, Рх в даному випадку, кількісну характеристику якої вона визначає: (х) Рх. Формула Рх, перед якою поставлено квантор спільності, (х) Рх, читається: « Кожен ДГ має властивість Р »,« Для всіх х має місце властивість Р ». Формула - (ДГ) Рх читається« Невірно, що кожен х має властивість Р ». Формула [х) - ~ ЛРХ читається« Жоден х не має властивість Р ». Якщо необхідно сказати, що деякі речі розглянутого універсуму мають властивість Р, то це можна зробити також двома способами. По-перше, можна побудувати диз'юнкцію (Pa vPbv Рс), яка істинна, якщо і тільки якщо правдивий принаймні один її диз'юнкт. По-друге, можна використовувати спеціальне скорочення, зване квантором існування та які ставлять перед тим виразом, кількісну характеристику якого воно визначає: (Ех) Рх. Формула Рх, перед якою поставлено квантор існування, (Ех) Рх, читається «Існує такий х, який має властивість Р», «Принаймні для одного х має місце Р». Формула-і (Ех) Рх читається «Невірно, що існує такий х, який має властивість Р». Формула (Ех)-Рх читається «Деякі х не мають властивість Р».
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "Основні поняття й допущення логіки предикатів" |
||
|
||